求\nabla n \cdot beta

把n beta写成x,y,z,t’的形式

\(\boldsymbol{\beta}\) 是一个矢量，应该完整保留其方向性。让我们重新严谨地推导 \(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}\) 的表达式，并明确其矢量特性。

矢量形式的完整推导

1. 定义坐标系和变量

• 场点位置：\(\mathbf{r} = (x, y, z)\)（固定观测点）
• 电荷位置：\(\mathbf{r}_s(t’) = (x_s(t’), y_s(t’), z_s(t’))\)（依赖推迟时间 \(t’\)）
• 相对位移：\(\mathbf{R}(t’) = \mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t’) = (x - x_s, y - y_s, z - z_s)\)
• 距离：\(R(t’) = |\mathbf{R}(t’)| = \sqrt{(x - x_s)^2 + (y - y_s)^2 + (z - z_s)^2}\)
• 单位方向矢量：\(\mathbf{n}(t’) = \frac{\mathbf{R}(t’)}{R(t’)}\)
• 电荷速度：\(\mathbf{v}(t’) = \frac{d\mathbf{r}_s}{dt’}\)
• 无量纲速度矢量：\(\boldsymbol{\beta}(t’) = \frac{\mathbf{v}(t’)}{c} = (\beta_x, \beta_y, \beta_z)\)

2. 点积的显式表达式

\[ \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \frac{1}{R(t’)} \left[ (x - x_s)\beta_x + (y - y_s)\beta_y + (z - z_s)\beta_z \right] \]

3. 匀速直线运动的特例

若电荷沿 \(x\)-轴匀速运动： \[ \mathbf{r}_s(t’) = (v t’, 0, 0), \quad \boldsymbol{\beta} = (\beta, 0, 0) \] 则退化为： \[ \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \beta \frac{x - v t’}{\sqrt{(x - v t’)^2 + y^2 + z^2}} \]

4. 一般运动的完整形式

对于任意运动轨迹 \(\mathbf{r}_s(t’)\)：

\(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \dfrac{(x - x_s)\beta_x + (y - y_s)\beta_y + (z - z_s)\beta_z}{\sqrt{(x - x_s)^2 + (y - y_s)^2 + (z - z_s)^2}}\)

\( = \dfrac{(x - x_s)v_x + (y - y_s)v_y + (z - z_s)v_z}{c \sqrt{(x - x_s)^2 + (y - y_s)^2 + (z - z_s)^2}}\)

关键说明

1. 矢量性：结果明确显示了 \(\boldsymbol{\beta}\) 的矢量特性，各方向分量 \((\beta_x, \beta_y, \beta_z)\) 均参与运算。
2. 物理意义：表示电荷速度在观测方向上的投影，决定了多普勒效应和光行差。
3. 与推迟势的关系：此表达式是计算李纳-维谢尔势中 \(D = 1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}\) 的核心部分。

需要进一步展开其他相关量（如 \(\nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})\) 或 \(\frac{\partial}{\partial t’}(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})\)）时，可直接基于此矢量形式进行微分运算。

对上面的公式，求\nabla 为了计算标量场 \( \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \) 的梯度 \( \nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \)，我们需要系统地展开计算。以下是详细的推导过程：

1. 公式回顾

给定： \[ \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \frac{(x - x_s) v_x + (y - y_s) v_y + (z - z_s) v_z}{c \sqrt{(x - x_s)^2 + (y - y_s)^2 + (z - z_s)^2}} \] 其中：

• \( \mathbf{R} = (x - x_s, y - y_s, z - z_s) \) 是场点到推迟位置的位置矢量，
• \( R = |\mathbf{R}| = \sqrt{(x - x_s)^2 + (y - y_s)^2 + (z - z_s)^2} \) 是距离，
• \( \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) \) 是电荷的速度（可能依赖推迟时间 \( t’ \)），
• \( c \) 是光速。

为简化记号，记： \[ f(\mathbf{r}, t’) = \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \frac{\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}}{c R} \]

2. 梯度计算

梯度 \( \nabla f \) 是对场点坐标 \( \mathbf{r} = (x, y, z) \) 的偏导： \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \]

(a) 计算 \( \frac{\partial f}{\partial x} \)

利用商的导数法则： \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}}{R} \right) = \frac{1}{c} \left( \frac{(\partial_x (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v})) R - (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) (\partial_x R)}{R^2} \right) \]

展开各项：

1. \( \partial_x (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) = v_x \)（假设 \( \mathbf{v} \) 不显含 \( x \)），
2. \( \partial_x R = \frac{x - x_s}{R} \).

代入得： \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{c} \left( \frac{v_x R - (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) \frac{x - x_s}{R}}{R^2} \right) = \frac{1}{c R^3} \left( v_x R^2 - (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) (x - x_s) \right) \]

(b) 同理计算 \( \frac{\partial f}{\partial y} \) 和 \( \frac{\partial f}{\partial z} \)

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{c R^3} \left( v_y R^2 - (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) (y - y_s) \right), \quad \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{c R^3} \left( v_z R^2 - (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) (z - z_s) \right) \]

3. 合并梯度分量

将梯度写为矢量形式： \[ \nabla f = \frac{1}{c R^3} \left( R^2 \mathbf{v} - (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{R} \right) \]

进一步整理： \[ \nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) = \frac{1}{c R^3} \left( R^2 \mathbf{v} - (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{R} \right) \]

几何解释

• 第一项 \( R^2 \mathbf{v} \)：沿速度方向，
• 第二项 \( (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{R} \)：沿位移方向，
• 结果表示速度在垂直于观测方向的分量。

4. 匀速直线运动的特例

若电荷沿 \( x \)-轴匀速运动（\( \mathbf{v} = v \hat{x} \)，\( \mathbf{R} = (x - v t’, y, z) \)），则： \[ \mathbf{R} \cdot \mathbf{v} = v (x - v t’), \quad R^2 = (x - v t’)^2 + y^2 + z^2 \] 梯度为： \[ \nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) = \frac{v}{c R^3} \left( R^2 \hat{x} - (x - v t’) \mathbf{R} \right) \] 展开分量： \[ = \frac{v}{c R^3} \begin{pmatrix} R^2 - (x - v t’)^2 \\

• (x - v t’) y \\
• (x - v t’) z \end{pmatrix} = \frac{v}{c R^3} \begin{pmatrix} y^2 + z^2 \\
• (x - v t’) y \\
• (x - v t’) z \end{pmatrix} \]

5. 最终结果

一般形式的梯度： \[ \boxed{ \nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) = \dfrac{1}{c R^3} \left( R^2 \mathbf{v} - (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{R} \right) } \]

匀速直线运动的特例： \[ \boxed{ \nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) = \dfrac{v}{c R^3} \begin{pmatrix} y^2 + z^2 \\ - (x - v t’) y \\ - (x - v t’) z \end{pmatrix} } \]

验证与讨论

1. 量纲检查：

   • 左边：\( \nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \) 的单位是 \( \text{m}^{-1} \)（因为 \( \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \) 无量纲），
   • 右边：\( \frac{1}{c R^3} (R^2 \mathbf{v}) \) 的单位是 \( \frac{\text{m}^2 \cdot \text{m/s}}{\text{m/s} \cdot \text{m}^3} = \text{m}^{-1} \)，一致。

2. 物理意义：

   • 梯度方向表示 \( \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \) 随空间位置变化最快的方向，
   • 在辐射场计算中，此梯度用于求 \( \nabla \phi \) 的辐射部分。

3. 与推迟势的关系：

   • 若需要 \( \nabla (1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \)，直接取负号： \[ \nabla (1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) = -\nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \]

显式空间梯度\nabla_r f，不含对t’的求导，全空间梯度\nabla f，应该包括对t’的求导，使用链式法则 您的问题揭示了经典电动力学中梯度运算的关键细节。让我们彻底澄清全空间梯度 \(\nabla f\) 与显式空间梯度 \(\nabla_r f\) 的区别，并明确何时会出现加速度项 \(\dot{\boldsymbol{\beta}}\)。

1. 两种梯度的严格定义

(1) 显式空间梯度 \(\nabla_r f\)

• 定义：仅对场点坐标 \(\mathbf{r} = (x,y,z)\) 求导，固定推迟时间 \(t’\)。
• 数学表示： \[ \nabla_r f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)_{t’ \text{固定}} \]
• 特点：
  • 不涉及 \(t’\) 的变化，因此 不含 \(\dot{\boldsymbol{\beta}}\)。
  • 适用于计算静态场或瞬时几何关系。

(2) 全空间梯度 \(\nabla f\)

• 定义：考虑 \(t’ = t - R/c\) 对 \(\mathbf{r}\) 的依赖，通过链式法则求导。
• 数学表示： \[ \nabla f = \nabla_r f + \frac{\partial f}{\partial t’} \nabla t’ \] 其中 \(\nabla t’ = -\nabla R/c = -\mathbf{n}/c\)。
• 特点：
  • 若 \(f\) 显含 \(t’\)（如含 \(\boldsymbol{\beta}(t’)\)），则第二项会引入 \(\dot{\boldsymbol{\beta}} = d\boldsymbol{\beta}/dt’\)。
  • 用于完整描述场随空间和时间的变化。

2. 以 \(f = 1 - \boldsymbol{\beta}(t’) \cdot \mathbf{n}\) 为例

(1) 显式空间梯度 \(\nabla_r f\)

\[ \nabla_r f = -\nabla_r (\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) = -\frac{1}{c R^3} \left( R^2 \mathbf{v} - (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{R} \right) \]

• 结果：仅含速度 \(\mathbf{v}\)，无加速度 \(\dot{\mathbf{v}}\)。

(2) 全空间梯度 \(\nabla f\)

\[ \nabla f = \nabla_r f + \frac{\partial f}{\partial t’} \left( -\frac{\mathbf{n}}{c} \right) \] 其中： \[ \frac{\partial f}{\partial t’} = -\frac{\partial}{\partial t’} (\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) = -\dot{\boldsymbol{\beta}} \cdot \mathbf{n} - \boldsymbol{\beta} \cdot \dot{\mathbf{n}} \]

• 加速度项：\(\dot{\boldsymbol{\beta}} \cdot \mathbf{n}\) 显式出现。
• 完整表达式： \[ \nabla f = -\frac{1}{c R^3} \left( R^2 \mathbf{v} - (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{R} \right) + \frac{ \dot{\boldsymbol{\beta}} \cdot \mathbf{n} + \boldsymbol{\beta} \cdot \dot{\mathbf{n}} }{c} \mathbf{n} \]

3. 关键结论

• 辐射场的起源：
  全空间梯度中的 \(\dot{\boldsymbol{\beta}}\) 项最终会贡献到电场的 \(\partial_t \mathbf{A}\) 部分，生成辐射场（\(\propto 1/R\)）。

4. 物理意义图解

        全空间梯度 ∇f
          /      \
         /        \
显式空间梯度 ∇ᵣf   时间依赖项 (含加速度)
(仅速度v相关)       (含∂f/∂t' → 引入a = dv/dt')

5. 验证匀速运动特例

若电荷匀速运动（\(\dot{\boldsymbol{\beta}} = 0\)）：

• 全空间梯度退化为显式空间梯度： \[ \nabla f = \nabla_r f = -\frac{1}{c R^3} \left( R^2 \mathbf{v} - (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{R} \right) \]
• 无辐射场（因无加速度项）。

总结

• 全空间梯度 \(\nabla f\) 通过链式法则自然包含对 \(t’\) 的导数，从而引入加速度 \(\dot{\boldsymbol{\beta}}\)。
• 显式空间梯度 \(\nabla_r f\) 是简化计算，忽略推迟时间的变化。
• 在辐射问题中，必须使用全空间梯度才能捕捉加速度效应。

使用前面的x,y,z,’t’格式的f函数求 为了计算全空间梯度 \(\nabla f\)（其中 \(f = 1 - \boldsymbol{\beta}(t’) \cdot \mathbf{n}\)），我们需要明确以下几点：

1. 定义与符号：

   • 场点坐标：\(\mathbf{r} = (x, y, z)\)
   • 推迟时间：\(t’ = t - R/c\)，其中 \(R = \sqrt{(x - x_s)^2 + (y - y_s)^2 + (z - z_s)^2}\)
   • 电荷位置：\(\mathbf{r}_s(t’) = (x_s(t’), y_s(t’), z_s(t’))\)
   • 速度：\(\mathbf{v}(t’) = \frac{d\mathbf{r}_s}{dt’}\)
   • 无量纲速度：\(\boldsymbol{\beta}(t’) = \mathbf{v}(t’)/c\)
   • 单位方向矢量：\(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}\)，其中 \(\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t’)\)

2. 标量场表达式： \[ f = 1 - \boldsymbol{\beta}(t’) \cdot \mathbf{n} = 1 - \frac{\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}(t’)}{c R} \] 展开为： \[ f = 1 - \frac{(x - x_s) v_x + (y - y_s) v_y + (z - z_s) v_z}{c \sqrt{(x - x_s)^2 + (y - y_s)^2 + (z - z_s)^2}} \]

3. 全空间梯度计算： 梯度 \(\nabla f\) 需要对场点坐标 \((x, y, z)\) 求导，同时考虑 \(t’\) 对 \((x, y, z)\) 的依赖关系（因为 \(t’ = t - R/c\)）。因此： \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) + \frac{\partial f}{\partial t’} \nabla t’ \] 其中： \[ \nabla t’ = -\frac{\nabla R}{c} = -\frac{\mathbf{n}}{c} \] 因此： \[ \nabla f = \nabla_r f - \frac{\mathbf{n}}{c} \frac{\partial f}{\partial t’} \] 这里 \(\nabla_r f\) 是显式空间梯度（固定 \(t’\)），而 \(\frac{\partial f}{\partial t’}\) 包含加速度项 \(\dot{\boldsymbol{\beta}}\)。

4. 显式空间梯度 \(\nabla_r f\)： \[ \nabla_r f = -\nabla_r (\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) = -\frac{1}{c R^3} \left( R^2 \mathbf{v} - (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{R} \right) \] 展开分量： \[ \frac{\partial f}{\partial x} \bigg|_{t’} = -\frac{v_x}{c R} + \frac{(x - x_s) (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v})}{c R^3} \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} \bigg|_{t’} = -\frac{v_y}{c R} + \frac{(y - y_s) (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v})}{c R^3} \] \[ \frac{\partial f}{\partial z} \bigg|_{t’} = -\frac{v_z}{c R} + \frac{(z - z_s) (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v})}{c R^3} \]

5. 时间导数项 \(\frac{\partial f}{\partial t’}\)： \[ \frac{\partial f}{\partial t’} = -\frac{\partial}{\partial t’} (\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) = -\dot{\boldsymbol{\beta}} \cdot \mathbf{n} - \boldsymbol{\beta} \cdot \dot{\mathbf{n}} \] 其中： \[ \dot{\boldsymbol{\beta}} = \frac{d\boldsymbol{\beta}}{dt’} = \frac{\mathbf{a}}{c}, \quad \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt’} \]

   \[ \dot{\mathbf{n}} = \frac{d}{dt’} \left( \frac{\mathbf{R}}{R} \right) = \frac{\dot{\mathbf{R}}}{R} - \frac{\mathbf{R} \dot{R}}{R^2} = \frac{-\mathbf{v}}{R} - \frac{\mathbf{R} (-\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})}{R^2} = \frac{(\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n} - \mathbf{v}}{R} \] 因此： \[ \frac{\partial f}{\partial t’} = -\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{n}}{c} - \boldsymbol{\beta} \cdot \left( \frac{(\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n} - \mathbf{v}}{R} \right) \]

6. 全空间梯度 \(\nabla f\) 的最终表达式： \[ \nabla f = -\frac{1}{c R^3} \left( R^2 \mathbf{v} - (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{R} \right) + \frac{\mathbf{n}}{c} \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{n}}{c} + \boldsymbol{\beta} \cdot \left( \frac{(\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n} - \mathbf{v}}{R} \right) \right) \] 整理后： \[ \nabla f = -\frac{\mathbf{v}}{c R} + \frac{(\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{R}}{c R^3} + \frac{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n}}{c^2} + \frac{(\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) (\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n}}{c R} - \frac{(\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{n}}{c R} \]

7. 物理意义：

   • 前两项（\(\propto \mathbf{v}\)）是速度场贡献，随 \(1/R^2\) 衰减。
   • 后三项（含 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{v}\) 的高阶项）包含加速度 \(\mathbf{a}\)，是辐射场（\(\propto 1/R\)）的来源。

关键点总结

1. 显式空间梯度 \(\nabla_r f\)：仅对场点坐标求导，固定 \(t’\)，结果不含加速度。
2. 全空间梯度 \(\nabla f\)：通过链式法则引入 \(t’\) 的导数，显式包含加速度 \(\mathbf{a}\)。
3. 辐射场的起源：加速度项 \(\mathbf{a}\) 通过全空间梯度进入电场表达式，生成 \(1/R\) 辐射项。

最终答案

全空间梯度 \(\nabla f\) 的完整表达式为： \[ \boxed{ \begin{aligned} \nabla f = & -\frac{\mathbf{v}}{c R} + \frac{(\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{R}}{c R^3} \\ & + \frac{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n}}{c^2} + \frac{(\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) (\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n}}{c R} - \frac{(\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{n}}{c R} \end{aligned} } \]

此结果严格包含了加速度 \(\mathbf{a}\) 的贡献，是推导辐射电场的基础。

写成x,y,z,t’的形式 以下是全空间梯度 \(\nabla f\) 的显式表达式（含 \(x,y,z,t’\) 分量），其中 \(f = 1 - \boldsymbol{\beta}(t’) \cdot \mathbf{n}\)：

1. 基本定义（含 \(x,y,z,t’\) 变量）

• 电荷位置：\(\mathbf{r}_s(t’) = (x_s(t’), y_s(t’), z_s(t’))\)
• 相对位移： \[ \mathbf{R} = \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - x_s(t’) \\ y - y_s(t’) \\ z - z_s(t’) \end{pmatrix} \]
• 距离： \[ R = \sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2} \]
• 速度： \[ \mathbf{v}(t’) = \begin{pmatrix} v_x(t’) \\ v_y(t’) \\ v_z(t’) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{dx_s}{dt’} \\ \frac{dy_s}{dt’} \\ \frac{dz_s}{dt’} \end{pmatrix} \]
• 加速度： \[ \mathbf{a}(t’) = \begin{pmatrix} a_x(t’) \\ a_y(t’) \\ a_z(t’) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt’} \\ \frac{dv_y}{dt’} \\ \frac{dv_z}{dt’} \end{pmatrix} \]

2. 全空间梯度 \(\nabla f\) 的分量形式

\[ \nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix} + \frac{\partial f}{\partial t’} \begin{pmatrix} -\frac{X}{c R} \\ -\frac{Y}{c R} \\ -\frac{Z}{c R} \end{pmatrix} \]

(1) 显式空间梯度分量（固定 \(t’\)）

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{v_x}{c R} + \frac{X (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v})}{c R^3}, \quad \mathbf{R} \cdot \mathbf{v} = X v_x + Y v_y + Z v_z \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{v_y}{c R} + \frac{Y (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v})}{c R^3} \] \[ \frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{v_z}{c R} + \frac{Z (\mathbf{R} \cdot \mathbf{v})}{c R^3} \]

(2) 时间导数项（含加速度）

\[ \frac{\partial f}{\partial t’} = -\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{n}}{c} - \frac{(\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})^2 - v^2}{c R}, \quad \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = \frac{X v_x + Y v_y + Z v_z}{R} \]

3. 最终全空间梯度（分量形式）

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= -\frac{v_x}{c R} + \frac{X (X v_x + Y v_y + Z v_z)}{c R^3} - \frac{X}{c R} \left( \frac{X a_x + Y a_y + Z a_z}{c R} + \frac{(X v_x + Y v_y + Z v_z)^2 - v^2 R^2}{c R^3} \right) \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= -\frac{v_y}{c R} + \frac{Y (X v_x + Y v_y + Z v_z)}{c R^3} - \frac{Y}{c R} \left( \frac{X a_x + Y a_y + Z a_z}{c R} + \frac{(X v_x + Y v_y + Z v_z)^2 - v^2 R^2}{c R^3} \right) \\ \frac{\partial f}{\partial z} &= -\frac{v_z}{c R} + \frac{Z (X v_x + Y v_y + Z v_z)}{c R^3} - \frac{Z}{c R} \left( \frac{X a_x + Y a_y + Z a_z}{c R} + \frac{(X v_x + Y v_y + Z v_z)^2 - v^2 R^2}{c R^3} \right) \end{aligned} } \]

4. 物理意义

• 前两项（含 \(v_x,v_y,v_z\)）：速度场贡献（\(1/R^2\) 衰减）
• 后两项（含 \(a_x,a_y,a_z\) 和 \(v^2\)）：加速度和相对论修正项（辐射场来源，\(1/R\) 衰减）

5. 匀速运动特例验证

若电荷匀速运动（\(\mathbf{a} = 0\)）且 \(v \ll c\)（忽略 \(v^2/c^2\) 项）： \[ \nabla f \approx -\frac{\mathbf{v}}{c R} + \frac{(\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{R}}{c R^3} \] 与静电场梯度形式一致，验证了表达式的正确性。

此结果为严格包含加速度效应的全空间梯度表达式，适用于任意运动电荷的电磁场计算。

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太好了！我们现在来完整计算全空间梯度：

\[ \nabla f = \nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \]

其中：

• \( f = \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \frac{1}{cR} \left[ (x - x_s) \dot{x}_s + (y - y_s) \dot{y}_s + (z - z_s) \dot{z}_s \right] \)
• 所有量都在推迟时刻 \( t’ = t_{\text{ret}} \) 取值
• 但 \( t_{\text{ret}} = t - \frac{R}{c} \) 依赖于 \( x, y, z \)，所以 \( f \) 通过 \( t’ \) 隐式依赖空间坐标

因此，全梯度必须用链式法则：

\[ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial t’} \cdot \nabla t’ + \nabla_{\mathbf{r}} f \Big|_{t’ \text{ fixed}} \]

我们已经算过第二项（显式梯度），现在要把第一项的时间导数也代入，并最终写出完整的 \(\nabla f\)，包含加速度项。

🔧 步骤 1：定义基本量（全部是 \(x, y, z, t’\) 的函数）

• \( R = \sqrt{(x - x_s)^2 + (y - y_s)^2 + (z - z_s)^2} \)
• \( n_x = \dfrac{x - x_s}{R},\ n_y = \dfrac{y - y_s}{R},\ n_z = \dfrac{z - z_s}{R} \)
• \( \beta_x = \dfrac{\dot{x}_s}{c},\ \beta_y = \dfrac{\dot{y}_s}{c},\ \beta_z = \dfrac{\dot{z}_s}{c} \)
• \( f = \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \dfrac{(x - x_s)\dot{x}_s + (y - y_s)\dot{y}_s + (z - z_s)\dot{z}_s}{cR} \)

✅ 第一部分：显式空间梯度（无加速度）

我们之前已算出：

\[ (\nabla_{\mathbf{r}} f)_x = \frac{\dot{x}_s}{cR} - \frac{f (x - x_s)}{R} \]

更清晰地写为：

\[ \nabla_{\mathbf{r}} f = \frac{1}{R} \left( \boldsymbol{\beta} - f \mathbf{n} \right) \]

分量形式（无矢量符号）：

\[ \boxed{ \begin{aligned} (\nabla_{\mathbf{r}} f)_x &= \frac{\dot{x}_s}{cR} - f \cdot \frac{x - x_s}{R} \\ (\nabla_{\mathbf{r}} f)_y &= \frac{\dot{y}_s}{cR} - f \cdot \frac{y - y_s}{R} \\ (\nabla_{\mathbf{r}} f)_z &= \frac{\dot{z}_s}{cR} - f \cdot \frac{z - z_s}{R} \end{aligned} } \]

✅ 第二部分：时间导数 \(\frac{\partial f}{\partial t’} = \frac{d}{dt’}(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})\)

我们之前推导过：

\[ \frac{df}{dt’} = \dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}} \]

(a) \(\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta}\)

我们有：

\[ \dot{\mathbf{n}} = \frac{d}{dt’} \left( \frac{\mathbf{R}}{R} \right) = \frac{ \dot{\mathbf{R}} R - \mathbf{R} \dot{R} }{R^2} \]

• \(\dot{\mathbf{R}} = -\mathbf{v} = (-\dot{x}_s, -\dot{y}_s, -\dot{z}_s)\)
• \(\dot{R} = \frac{\mathbf{R} \cdot \dot{\mathbf{R}}}{R} = \frac{ -(x - x_s)\dot{x}_s - (y - y_s)\dot{y}_s - (z - z_s)\dot{z}_s }{R} = -c f\)

所以：

\[ \dot{\mathbf{n}} = \frac{ (-\mathbf{v}) R - \mathbf{R} (-c f) }{R^2} = -\frac{\mathbf{v}}{R} + \frac{c f \mathbf{n}}{R} = \frac{1}{R} \left( -\mathbf{v} + c f \mathbf{n} \right) \]

因此：

\[ \dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} = \frac{1}{R} \left( -\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\beta} + c f \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \right) = \frac{1}{R} \left( -c \beta^2 + c f^2 \right) = \frac{c}{R} (f^2 - \beta^2) \]

其中 \(\beta^2 = \beta_x^2 + \beta_y^2 + \beta_z^2 = \dfrac{\dot{x}_s^2 + \dot{y}_s^2 + \dot{z}_s^2}{c^2}\)

(b) \(\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}\)

\[ \dot{\boldsymbol{\beta}} = \frac{1}{c} \frac{d\mathbf{v}}{dt’} = \frac{1}{c} (\ddot{x}_s, \ddot{y}_s, \ddot{z}_s) \]

所以：

\[ \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}} = \frac{1}{c} \left( n_x \ddot{x}_s + n_y \ddot{y}_s + n_z \ddot{z}_s \right) = \frac{1}{cR} \left( (x - x_s)\ddot{x}_s + (y - y_s)\ddot{y}_s + (z - z_s)\ddot{z}_s \right) \]

记作：

\[ \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}} = \frac{1}{cR} \left[ (x - x_s)\ddot{x}_s + (y - y_s)\ddot{y}_s + (z - z_s)\ddot{z}_s \right] \]

合并：

\[ \frac{df}{dt’} = \frac{c}{R} (f^2 - \beta^2) + \frac{1}{cR} \left[ (x - x_s)\ddot{x}_s + (y - y_s)\ddot{y}_s + (z - z_s)\ddot{z}_s \right] \]

✅ 第三部分：\(\nabla t’\)

标准结果：

\[ \nabla t’ = -\frac{1}{c} \frac{\mathbf{n}}{D}, \quad D = 1 - f = 1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \]

所以：

\[ \nabla t’ = -\frac{1}{cD} \left( \frac{x - x_s}{R}, \frac{y - y_s}{R}, \frac{z - z_s}{R} \right) = -\frac{1}{cD} (n_x, n_y, n_z) \]

✅ 第四部分：全梯度 \(\nabla f = \frac{df}{dt’} \nabla t’ + \nabla_{\mathbf{r}} f\)

现在我们把两部分加起来：

\[ \nabla f = \underbrace{ \left( \frac{df}{dt’} \right) \cdot \nabla t’ }_{\text{含加速度}} + \underbrace{ \nabla_{\mathbf{r}} f }_{\text{不含加速度}} \]

代入：

\[ \nabla f = \left[ \frac{c}{R} (f^2 - \beta^2) + \frac{1}{cR} \sum (x_i - x_{s,i}) \ddot{x}_{s,i} \right] \cdot \left( -\frac{1}{cD} \mathbf{n} \right) + \frac{1}{R} (\boldsymbol{\beta} - f \mathbf{n}) \]

✅ 最终结果：全空间梯度 \(\nabla f\) 的分量形式

我们以 \(x\) 分量为例，完整写出：

\[ (\nabla f)_x = \left[ \frac{c}{R} (f^2 - \beta^2) + \frac{1}{cR} \left( (x - x_s)\ddot{x}_s + (y - y_s)\ddot{y}_s + (z - z_s)\ddot{z}_s \right) \right] \cdot \left( -\frac{1}{cD} \cdot \frac{x - x_s}{R} \right) + \left( \frac{\dot{x}_s}{cR} - f \cdot \frac{x - x_s}{R} \right) \]

化简第一项系数：

\[ = -\frac{1}{cD R} \left[ c (f^2 - \beta^2) + \frac{1}{c} \left( (x - x_s)\ddot{x}_s + (y - y_s)\ddot{y}_s + (z - z_s)\ddot{z}_s \right) \right] \cdot \frac{x - x_s}{R} \]

\[ = -\frac{1}{D R^2} (f^2 - \beta^2) (x - x_s) - \frac{1}{c^2 D R^2} \left( \sum (x_i - x_{s,i}) \ddot{x}_{s,i} \right) (x - x_s) + \frac{\dot{x}_s}{cR} - f \cdot \frac{x - x_s}{R} \]

📦 最终答案（全梯度分量形式）

\[ \boxed{ \begin{aligned} (\nabla f)_x &= \frac{\dot{x}_s}{cR} - \frac{f (x - x_s)}{R} \\ &\quad - \frac{(f^2 - \beta^2)(x - x_s)}{D R^2} - \frac{(x - x_s) \left[ (x - x_s)\ddot{x}_s + (y - y_s)\ddot{y}_s + (z - z_s)\ddot{z}_s \right]}{c^2 D R^2} \\ \ (\nabla f)_y &= \frac{\dot{y}_s}{cR} - \frac{f (y - y_s)}{R} \\ &\quad - \frac{(f^2 - \beta^2)(y - y_s)}{D R^2} - \frac{(y - y_s) \left[ (x - x_s)\ddot{x}_s + (y - y_s)\ddot{y}_s + (z - z_s)\ddot{z}_s \right]}{c^2 D R^2} \\ \ (\nabla f)_z &= \frac{\dot{z}_s}{cR} - \frac{f (z - z_s)}{R} \\ &\quad - \frac{(f^2 - \beta^2)(z - z_s)}{D R^2} - \frac{(z - z_s) \left[ (x - x_s)\ddot{x}_s + (y - y_s)\ddot{y}_s + (z - z_s)\ddot{z}_s \right]}{c^2 D R^2} \end{aligned} } \]

其中：

• \( f = \dfrac{(x - x_s)\dot{x}_s + (y - y_s)\dot{y}_s + (z - z_s)\dot{z}_s}{cR} \)
• \( \beta^2 = \dfrac{\dot{x}_s^2 + \dot{y}_s^2 + \dot{z}_s^2}{c^2} \)
• \( D = 1 - f \)

✅ 总结：为什么现在有加速度？

• ✅ 显式梯度部分：只有速度，无加速度
• ✅ 隐式时间依赖部分：通过 \(\frac{df}{dt’}\) 和 \(\nabla t’\) 耦合，引入了 \(\ddot{x}_s, \ddot{y}_s, \ddot{z}_s\)
• ✅ 所以全空间梯度包含加速度，尽管它不直接出现在 \(f\) 的表达式中

🎯 物理意义

这个全梯度出现在 Lienard-Wiechert 势的电场计算中：

\[ \mathbf{E} = \cdots + \text{辐射项} \propto \frac{ \mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \dot{\boldsymbol{\beta}}) }{R D^3} \]

而推导中正是通过 \(\nabla f\) 这类项，把加速度“带进来”的。