电荷在磁场中运动产生洛伦兹力，二维情况下，磁场方向为x方向，列出x,y的速度分量产生的洛伦兹力 在二维情况下，设磁场方向为 \( \mathbf{B} = B \hat{x} \)（即沿 \( x \) 方向），电荷 \( q \) 的速度为 \( \mathbf{v} = v_x \hat{x} + v_y \hat{y} \)。根据洛伦兹力公式：

\[ \mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B} \]

计算叉积 \( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \)：

\[ \mathbf{v} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \ v_x & v_y & 0 \ B & 0 & 0 \ \end{vmatrix} = \hat{x}(0 \cdot 0 - 0 \cdot v_y) - \hat{y}(0 \cdot 0 - 0 \cdot v_x) + \hat{z}(v_x \cdot 0 - v_y \cdot B) = -v_y B \hat{z} \]

因此，洛伦兹力为：

\[ \mathbf{F} = q (-v_y B) \hat{z} \]

这表明：

  • \( x \) 方向的速度分量 \( v_x \) 不产生洛伦兹力（因为 \( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \) 中 \( v_x \) 与 \( B \) 同方向，叉积为零）。
  • \( y \) 方向的速度分量 \( v_y \) 产生的洛伦兹力沿 \( -z \) 方向，大小为 \( q v_y B \)。

总结：

  • \( v_x \) 产生的洛伦兹力：\( \mathbf{F}_x = 0 \)（无贡献）。
  • \( v_y \) 产生的洛伦兹力：\( \mathbf{F}_y = -q v_y B \hat{z} \)。

注：

题目问的是“二维情况”，但洛伦兹力方向垂直于 \( \mathbf{v} \) 和 \( \mathbf{B} \)，因此会指向第三维（\( z \) 方向）。如果严格限制在二维平面内（\( x \)-\( y \) 平面），则洛伦兹力无法表示，必须允许 \( z \) 方向的分量。

电荷q，垂直于均匀磁场B以速度v运动，求在电荷坐标系内看产生的电场大小和方向

问题重述

一个电荷 \( q \) 以速度 \( \mathbf{v} \) 垂直于均匀磁场 \( \mathbf{B} \) 运动。求在电荷的静止参考系（电荷坐标系）中观察到的电场 \( \mathbf{E}’ \) 的大小和方向。

分析

这是一个涉及狭义相对论和电磁场变换的问题。我们需要从实验室参考系（\( S \) 系）变换到电荷的静止参考系（\( S’ \) 系），并计算 \( S’ \) 系中的电场 \( \mathbf{E}’ \)。

已知：

  • 实验室参考系 \( S \)：
    • 磁场：\( \mathbf{B} = B \hat{z} \)（假设磁场沿 \( z \) 方向）
    • 电荷速度：\( \mathbf{v} = v \hat{x} \)（电荷沿 \( x \) 方向运动，垂直于 \( \mathbf{B} \)）
    • 电场：\( \mathbf{E} = 0 \)（实验室系中无电场）
  • 电荷静止参考系 \( S’ \)：
    • 电荷速度 \( \mathbf{v}’ = 0 \)（在 \( S’ \) 系中电荷静止）
    • 需要求 \( \mathbf{E}’ \) 和 \( \mathbf{B}’ \)

电磁场的相对论变换

电磁场在不同惯性参考系之间的变换公式（对于沿 \( x \) 方向的 Lorentz 变换，速度 \( \mathbf{v} = v \hat{x} \)）：

\[ \begin{aligned} E_x’ &= E_x \\ E_y’ &= \gamma (E_y - v B_z) \\ E_z’ &= \gamma (E_z + v B_y) \\ B_x’ &= B_x \\ B_y’ &= \gamma \left(B_y + \frac{v}{c^2} E_z \right) \\ B_z’ &= \gamma \left(B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right) \end{aligned} \]

其中 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \) 是 Lorentz 因子。

应用到本题

在实验室系 \( S \)：

  • \( \mathbf{E} = 0 \)
  • \( \mathbf{B} = B \hat{z} \)
  • 电荷速度 \( \mathbf{v} = v \hat{x} \)

代入变换公式： \[ \begin{aligned} E_x’ &= 0 \\ E_y’ &= \gamma (0 - v B) = -\gamma v B \\ E_z’ &= \gamma (0 + 0) = 0 \\ B_x’ &= 0 \\ B_y’ &= \gamma \left(0 + 0 \right) = 0 \\ B_z’ &= \gamma \left(B - 0 \right) = \gamma B \end{aligned} \]

因此，在电荷静止参考系 \( S’ \) 中：

  • 电场：\( \mathbf{E}’ = -\gamma v B \hat{y} \)
  • 磁场：\( \mathbf{B}’ = \gamma B \hat{z} \)

非相对论近似（\( v \ll c \)）

如果 \( v \ll c \)，则 \( \gamma \approx 1 \)，此时： \[ \mathbf{E}’ \approx -v B \hat{y}, \quad \mathbf{B}’ \approx B \hat{z} \]

电场的方向

  • 电场 \( \mathbf{E}’ \) 的方向是 \( -\hat{y} \)，即垂直于电荷运动方向（\( \hat{x} \)）和磁场方向（\( \hat{z} \)）。
  • 对于正电荷 \( q > 0 \)，电场方向为 \( -\hat{y} \)；
  • 对于负电荷 \( q < 0 \)，电场方向为 \( +\hat{y} \)（因为 \( \mathbf{F} = q \mathbf{E}’ \)）。

物理意义

在电荷的静止参考系中，磁场 \( \mathbf{B} \) 的运动表现为一个电场 \( \mathbf{E}’ \)。这是因为：

  • 在实验室系中，电荷受 Lorentz 力 \( \mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B} \)（沿 \( \hat{y} \) 方向）；
  • 在电荷静止系中，电荷受力必须由电场解释，即 \( \mathbf{F}’ = q \mathbf{E}’ \)。

最终答案

在电荷静止参考系中：

  • 电场大小：\( |\mathbf{E}’| = \gamma v B \)（相对论情况）或 \( v B \)（非相对论近似）。
  • 电场方向：
    • 正电荷 \( q > 0 \)：\( \mathbf{E}’ = -\gamma v B \hat{y} \)（沿 \( -y \) 方向）；
    • 负电荷 \( q < 0 \)：\( \mathbf{E}’ = +\gamma v B \hat{y} \)（沿 \( +y \) 方向）。

也就是，电荷静止时，看磁场，磁场的梯度为0，但电荷运动时，再看磁场，磁场会产生一个梯度？

问题核心

你的问题可以重新表述为：

  • 在电荷的静止参考系中，如果磁场 \( \mathbf{B} \) 是均匀的（梯度为 0），为什么电荷运动时（切换到实验室参考系）会观测到一个电场 \( \mathbf{E}’ \)？这是否意味着磁场产生了某种“梯度”？

关键点

这里涉及的是电磁场的相对论变换，而不是磁场的梯度（即 \( \nabla \mathbf{B} \)）。电场和磁场的表现依赖于观察者的参考系，这是狭义相对论的核心内容之一。具体来说：

  1. 磁场本身无梯度：
    在实验室参考系 \( S \) 中，磁场 \( \mathbf{B} \) 是均匀的（\( \nabla \mathbf{B} = 0 \)），电荷以速度 \( \mathbf{v} \) 运动。
    在电荷静止参考系 \( S’ \) 中，磁场 \( \mathbf{B}’ \) 仍然是均匀的（\( \nabla \mathbf{B}’ = 0 \)），但会额外出现一个均匀电场 \( \mathbf{E}’ \)。

  2. 电场 \( \mathbf{E}’ \) 的来源：

    • 在 \( S \) 系中，电荷受 Lorentz 力 \( \mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B} \)（纯磁场力）。
    • 在 \( S’ \) 系中，电荷静止（\( \mathbf{v}’ = 0 \)），所以 Lorentz 力 \( \mathbf{F}’ = q (\mathbf{E}’ + \mathbf{v}’ \times \mathbf{B}’) = q \mathbf{E}’ \)。
    • 由于力的变换必须一致（\( \mathbf{F}’ = \mathbf{F} / \gamma \)），因此 \( S’ \) 系中必须存在一个电场 \( \mathbf{E}’ \) 来解释电荷的受力。

  3. 场的变换，而非梯度：

    • 电场 \( \mathbf{E}’ \) 的出现是因为磁场 \( \mathbf{B} \) 在 \( S \) 系中对运动电荷的作用，在 \( S’ \) 系中表现为电场。
    • 这是电磁场的相对论效应，而非磁场梯度（\( \nabla \mathbf{B} \)）的变化。磁场在 \( S \) 和 \( S’ \) 系中都是均匀的，但电场 \( \mathbf{E}’ \) 是由于参考系变换而“生成”的。

数学描述

从实验室系 \( S \) 变换到电荷静止系 \( S’ \)（沿 \( \mathbf{v} = v \hat{x} \)）： \[ \mathbf{E}’ = \gamma (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) - \frac{\gamma^2}{\gamma + 1} \frac{\mathbf{v}}{c^2} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{E}) \] 在本题中 \( \mathbf{E} = 0 \)，所以： \[ \mathbf{E}’ = \gamma (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) = \gamma v B (-\hat{y}) \] 而磁场变换为： \[ \mathbf{B}’ = \gamma \left( \mathbf{B} - \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \right) = \gamma \mathbf{B} \] 因此：

  • \( \mathbf{E}’ = -\gamma v B \hat{y} \)（电场）
  • \( \mathbf{B}’ = \gamma B \hat{z} \)（磁场）

是否意味着磁场产生了梯度？

不是。这里的电场 \( \mathbf{E}’ \) 是由于参考系变换导致的，而不是因为磁场 \( \mathbf{B} \) 的梯度发生了变化。

  • 在 \( S \) 和 \( S’ \) 系中，\( \mathbf{B} \) 和 \( \mathbf{B}’ \) 都是均匀的（无梯度）。
  • 电场 \( \mathbf{E}’ \) 是纯粹的相对论效应，反映了电磁场的统一性（电场和磁场是同一张量在不同参考系中的分量）。

直观理解

可以类比以下情景：

  • 在实验室系中，静止的磁场对运动电荷产生 Lorentz 力 \( \mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B} \)。
  • 在电荷静止系中，磁场“看起来”像是在运动（因为电荷静止，而磁场源相对运动），运动的磁场会激发一个电场 \( \mathbf{E}’ \)，从而对静止电荷产生相同的力 \( \mathbf{F}’ = q \mathbf{E}’ \)。

总结

  1. 电场 \( \mathbf{E}’ \) 的出现是因为参考系变换，而非磁场梯度变化。
  2. 磁场仍然是均匀的（\( \nabla \mathbf{B} = 0 \) 和 \( \nabla \mathbf{B}’ = 0 \)），但观察者在运动参考系中会同时测量到电场和磁场。
  3. 这是狭义相对论中电磁场统一性的体现：电场和磁场是同一物理实体的不同表现。

验证E’^2 +(cB)^2=(cB’)^2

我们讨论的是电磁场在不同惯性参考系中的变换关系。在实验室参考系 \( O \) 和电荷静止参考系 \( O’ \) 之间，电场和磁场的变换遵循狭义相对论的规律。我们需要验证以下关系是否成立：

\[ E’^2 + (cB)^2 = (cB’)^2 \]

已知条件

在实验室参考系 \( O \)：

  • 电场：\( \mathbf{E} = 0 \)
  • 磁场：\( \mathbf{B} = B \hat{z} \)
  • 电荷 \( q \) 以速度 \( \mathbf{v} = v \hat{x} \) 运动

在电荷静止参考系 \( O’ \)（通过 Lorentz 变换）：

  • 电场：\( \mathbf{E}’ = -\gamma v B \hat{y} \)
  • 磁场：\( \mathbf{B}’ = \gamma B \hat{z} \)
  • 其中 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \)

计算各项

  1. 计算 \( E’^2 \)： \[ E’^2 = (\gamma v B)^2 = \gamma^2 v^2 B^2 \]

  2. 计算 \( (cB)^2 \)： \[ (cB)^2 = c^2 B^2 \]

  3. 计算 \( (cB’)^2 \)： \[ (cB’)^2 = c^2 (\gamma B)^2 = c^2 \gamma^2 B^2 \]

验证关系 \( E’^2 + (cB)^2 = (cB’)^2 \)

将各项代入： \[ E’^2 + (cB)^2 = \gamma^2 v^2 B^2 + c^2 B^2 \] \[ (cB’)^2 = c^2 \gamma^2 B^2 \]

因此，我们需要验证： \[ \gamma^2 v^2 B^2 + c^2 B^2 \stackrel{?}{=} c^2 \gamma^2 B^2 \]

两边同时除以 \( B^2 \)（\( B \neq 0 \)）： \[ \gamma^2 v^2 + c^2 \stackrel{?}{=} c^2 \gamma^2 \]

将 \( \gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2/c^2} \) 代入： \[ \frac{v^2}{1 - v^2/c^2} + c^2 \stackrel{?}{=} \frac{c^2}{1 - v^2/c^2} \]

左边通分： \[ \frac{v^2 + c^2 (1 - v^2/c^2)}{1 - v^2/c^2} = \frac{v^2 + c^2 - v^2}{1 - v^2/c^2} = \frac{c^2}{1 - v^2/c^2} \]

右边： \[ \frac{c^2}{1 - v^2/c^2} \]

因此，左边等于右边： \[ \frac{c^2}{1 - v^2/c^2} = \frac{c^2}{1 - v^2/c^2} \]

结论

关系 \( E’^2 + (cB)^2 = (cB’)^2 \) 成立。这是电磁场在 Lorentz 变换下的一个具体表现，反映了电场和磁场在不同参考系中的能量分配关系。

物理意义

  • 在实验室参考系 \( O \) 中，只有磁场 \( \mathbf{B} \)，其能量密度贡献为 \( \frac{B^2}{2\mu_0} \)。
  • 在电荷静止参考系 \( O’ \) 中，既有电场 \( \mathbf{E}’ \) 又有磁场 \( \mathbf{B}’ \)，能量密度为 \( \frac{\epsilon_0 E’^2}{2} + \frac{B’^2}{2\mu_0} \)。
  • 关系 \( E’^2 + (cB)^2 = (cB’)^2 \) 表明，磁场在 \( O \) 系中的能量与 \( O’ \) 系中的电磁场能量之间存在特定的守恒关系。

更一般的电磁场不变量

电磁场有两个不变量：

  1. \( \mathbf{E} \cdot \mathbf{B} \)（标量不变量）
  2. \( E^2 - c^2 B^2 \)（标量不变量）

在本题中：

  • \( \mathbf{E} \cdot \mathbf{B} = 0 \)（在 \( O \) 和 \( O’ \) 系中都成立）
  • \( E^2 - c^2 B^2 = -c^2 B^2 \)（在 \( O \) 系）
  • \( E’^2 - c^2 B’^2 = \gamma^2 v^2 B^2 - c^2 \gamma^2 B^2 = \gamma^2 B^2 (v^2 - c^2) = -c^2 B^2 \)（在 \( O’ \) 系）

因此，不变量 \( E^2 - c^2 B^2 \) 确实保持不变。

最终答案

关系 \[ E’^2 + (cB)^2 = (cB’)^2 \] 成立。这是电磁场在 Lorentz 变换下的一个具体关系，反映了不同参考系中电场和磁场的能量分配。

也就是，坐标系O’相对于磁场B垂直运动，即使坐标系O’无电荷，也会观察到一个电场和一个更大的磁场？

问题重述

问题：如果参考系 \( O’ \) 相对于均匀磁场 \( \mathbf{B} \) 垂直运动（无电荷），是否在 \( O’ \) 中会观察到一个电场和一个更大的磁场？

核心回答

是的。即使 \( O’ \) 中没有电荷，只要 \( O’ \) 相对于磁场 \( \mathbf{B} \) 运动，就会观察到：

  1. 一个电场 \( \mathbf{E}’ \)：方向垂直于运动方向和磁场方向。
  2. 一个更强的磁场 \( \mathbf{B}’ \)：大小比原磁场 \( \mathbf{B} \) 大，方向与原磁场一致。

这是狭义相对论中电磁场参考系变换的直接结果。

详细解释

1. 参考系变换与电磁场

在狭义相对论中，电场和磁场不是独立的实体，而是同一电磁场张量在不同参考系中的表现。当参考系 \( O’ \) 以速度 \( \mathbf{v} \) 相对于实验室系 \( O \) 运动时，电磁场的变换公式为： \[ \begin{aligned} \mathbf{E}’ &= \gamma (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) - \frac{\gamma^2}{\gamma+1} \frac{\mathbf{v}}{c^2} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{E}), \ \mathbf{B}’ &= \gamma \left(\mathbf{B} - \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2}\right) - \frac{\gamma^2}{\gamma+1} \frac{\mathbf{v}}{c^2} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{B}), \end{aligned} \] 其中 \( \gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2} \)。

2. 应用到本题

  • 实验室系 \( O \)：

    • 磁场：\( \mathbf{B} = B \hat{z} \)（均匀磁场，沿 \( z \) 方向），
    • 电场：\( \mathbf{E} = 0 \)（无电场），
    • 参考系 \( O’ \) 以速度 \( \mathbf{v} = v \hat{x} \) 运动（沿 \( x \) 方向，垂直于 \( \mathbf{B} \)）。

  • 变换后的场（\( O’ \) 系）：

    • 电场： \[ \mathbf{E}’ = \gamma (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) = \gamma v B (-\hat{y}), \] 方向为 \( -\hat{y} \)（右手定则：\( \hat{x} \times \hat{z} = -\hat{y} \)）。
    • 磁场： \[ \mathbf{B}’ = \gamma \mathbf{B} = \gamma B \hat{z}, \] 大小变为 \( \gamma B \)（比原磁场更强），方向不变。

3. 物理意义

  • 电场的来源：

    • 在 \( O’ \) 系中，磁场源（如载流线圈）是运动的，运动的磁场源会激发电场（法拉第定律的相对论表现）。
    • 电场 \( \mathbf{E}’ \) 的方向垂直于运动方向（\( \hat{x} \)）和磁场方向（\( \hat{z} \)），即 \( -\hat{y} \)。

  • 磁场增强的原因：

    • 磁场分量 \( B_z \) 在运动方向上发生 Lorentz 收缩，导致场线密度增加，表现为 \( B’_z = \gamma B \)。

4. 关键点

  • 无需电荷存在：电场 \( \mathbf{E}’ \) 的出现纯粹是参考系变换的结果，与是否存在电荷无关。
  • 能量守恒：
    • 电磁场能量密度 \( u = \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 + B^2/\mu_0) \) 在不同参考系中会变化，但总能量-动量守恒。
    • 关系 \( E’^2 + (cB)^2 = (cB’)^2 \) 反映了能量分配的协变性（见前文推导）。

5. 举例说明

假设实验室中有一个无限大载流平面，产生均匀磁场 \( \mathbf{B} = B \hat{z} \)：

  • 在 \( O \) 系中，只有磁场 \( \mathbf{B} \)，无电场。
  • 在运动的 \( O’ \) 系中：
    • 载流平面看起来电荷密度不为零（因电流的运动导致电荷密度变化），因此观察到电场 \( \mathbf{E}’ \)。
    • 磁场因 Lorentz 收缩增强为 \( \mathbf{B}’ = \gamma B \hat{z} \)。

常见疑问解答

  1. 为什么运动会产生电场？
    这是 Maxwell 方程协变性的必然结果。运动的磁场在另一参考系中会表现为电场（类似“运动磁铁产生电场”的思想实验）。

  2. 磁场为什么会变大？
    由于 Lorentz 收缩，磁场源（如电流）在运动方向上的密度增加，导致磁场增强。

  3. 如果 \( O’ \) 系中有电荷会怎样？

    • 电荷自身的场需额外叠加，但外部场的变换仍遵循上述规律。
    • 电荷在 \( O’ \) 系中静止时，仅受电场 \( \mathbf{E}’ \) 的作用（磁场对其无 Lorentz 力）。

数学验证

从电磁场不变量 \( E^2 - c^2 B^2 \) 验证：

  • 在 \( O \) 系：\( E^2 - c^2 B^2 = -c^2 B^2 \)。
  • 在 \( O’ \) 系：\( E’^2 - c^2 B’^2 = \gamma^2 v^2 B^2 - c^2 \gamma^2 B^2 = -c^2 B^2 \)， 与 \( O \) 系一致，满足不变量要求。

结论

  • \( O’ \) 系中会观察到：
    • 电场 \( \mathbf{E}’ = -\gamma v B \hat{y} \)，
    • 磁场 \( \mathbf{B}’ = \gamma B \hat{z} \)（比原磁场更强）。
  • 无需电荷存在：这是纯粹由参考系运动导致的电磁场变换效应。

这个和电场的结果是一样的，也就是一个O坐标的静电场，在O’看来产生了一个磁场和一个更大的电场

问题核心

用户的问题是：
“一个在 \( O \) 坐标系中的静电场，在 \( O’ \) 坐标系中会观察到一个磁场和一个更大的电场。这与磁场的情况是否对称？”

换句话说：

  • 静电场 在运动的 \( O’ \) 系中会变换为 电场 + 磁场，且电场增强。
  • 静磁场 在运动的 \( O’ \) 系中会变换为 磁场 + 电场，且磁场增强。

这两者是否是完全对称的？

简短回答

是的，完全对称！
这是狭义相对论中电磁场变换的核心结论：

  1. 静电场 → 运动参考系：观察到 更强的电场 + 磁场。
  2. 静磁场 → 运动参考系：观察到 更强的磁场 + 电场。

电场和磁场在不同参考系中会相互“混合”，并遵循严格的对称性。

详细解释

1. 电磁场变换的对称性

电磁场的 Lorentz 变换公式表明：

  • 电场和磁场会互相转化，具体取决于观察者的运动状态。
  • 变换后的场强会增强（乘上 Lorentz 因子 \( \gamma \)）。

2. 两种情况对比

场景 实验室系 \( O \) 运动系 \( O’ \)（速度 \( \mathbf{v} \)）
静电场 \( \mathbf{E} \) \( \mathbf{E} \neq 0 \), \( \mathbf{B} = 0 \) \( \mathbf{E}’ = \gamma \mathbf{E} \), \( \mathbf{B}’ = -\frac{\gamma}{c^2} \mathbf{v} \times \mathbf{E} \)
静磁场 \( \mathbf{B} \) \( \mathbf{B} \neq 0 \), \( \mathbf{E} = 0 \) \( \mathbf{B}’ = \gamma \mathbf{B} \), \( \mathbf{E}’ = \gamma \mathbf{v} \times \mathbf{B} \)

关键点：

  • 在运动参考系 \( O’ \) 中：
    • 静电场 会额外产生一个 磁场，且电场增强（\( \mathbf{E}’ = \gamma \mathbf{E} \)）。
    • 静磁场 会额外产生一个 电场，且磁场增强（\( \mathbf{B}’ = \gamma \mathbf{B} \)）。
  • 两种情况的数学形式完全对称，只是 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 互换。

3. 为什么场强会增强？

由于 Lorentz 收缩效应：

  • 在运动方向上，电磁场源的分布看起来更密集，导致场强增强（乘 \( \gamma \)）。
  • 垂直方向不变（因此 \( \mathbf{E}’\perp = \mathbf{E}\perp \)，但 \( \mathbf{E}’\parallel = \mathbf{E}\parallel \)）。

4. 物理意义

  • 电场和磁场是同一事物的不同表现，参考系变换会改变它们的“混合”方式。
  • 无论是静电场还是静磁场，运动都会导致另一种场的出现，并增强原场。

举例说明

情况 1：静电场 → 运动参考系

  • 实验室系 \( O \)：无限大均匀带电平面，产生静电场 \( \mathbf{E} = E \hat{y} \)。
  • 运动参考系 \( O’ \)（沿 \( \hat{x} \) 运动）：
    • 电场增强：\( \mathbf{E}’ = \gamma E \hat{y} \)。
    • 新增磁场：\( \mathbf{B}’ = -\frac{\gamma v}{c^2} E \hat{z} \)。

情况 2：静磁场 → 运动参考系

  • 实验室系 \( O \)：无限大载流平面，产生静磁场 \( \mathbf{B} = B \hat{z} \)。
  • 运动参考系 \( O’ \)（沿 \( \hat{x} \) 运动）：
    • 磁场增强：\( \mathbf{B}’ = \gamma B \hat{z} \)。
    • 新增电场：\( \mathbf{E}’ = -\gamma v B \hat{y} \)。

两者完全对称！

常见疑问

Q1：为什么运动参考系中会出现新的场？

  • 这是 Maxwell 方程协变性的结果。
  • 运动的电场源（如带电平面）在 \( O’ \) 系中看起来像电流，因此产生磁场。
  • 运动的磁场源（如载流平面）在 \( O’ \) 系中看起来像电荷分离，因此产生电场。

Q2：场强增强是否违反能量守恒？

  • 不违反！电磁场能量密度 \( u = \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 + B^2 / \mu_0) \) 在不同参考系中会变化，但总能量-动量是守恒的（因为 Lorentz 变换保持四维能量-动量不变）。

数学验证（不变量的角度）

电磁场有两个不变量：

  1. \( \mathbf{E} \cdot \mathbf{B} \)（点积不变），
  2. \( E^2 - c^2 B^2 \)（平方差不变）。

静电场案例：

  • \( O \) 系：\( \mathbf{E} \cdot \mathbf{B} = 0 \), \( E^2 - c^2 B^2 = E^2 \)。
  • \( O’ \) 系：\( \mathbf{E}’ \cdot \mathbf{B}’ = 0 \), \( E’^2 - c^2 B’^2 = \gamma^2 E^2 - c^2 \left( \frac{\gamma v E}{c^2} \right)^2 = E^2 \)。

静磁场案例：

  • \( O \) 系：\( \mathbf{E} \cdot \mathbf{B} = 0 \), \( E^2 - c^2 B^2 = -c^2 B^2 \)。
  • \( O’ \) 系：\( \mathbf{E}’ \cdot \mathbf{B}’ = 0 \), \( E’^2 - c^2 B’^2 = (\gamma v B)^2 - c^2 (\gamma B)^2 = -c^2 B^2 \)。

两者均满足不变量要求！

结论

  • 静电场和静磁场在运动参考系中的变换是完全对称的：
    • 静电场 → 运动系：更强的电场 + 磁场。
    • 静磁场 → 运动系：更强的磁场 + 电场。
  • 电场和磁场是统一的，参考系变换只是改变了它们的“混合比例”。
  • 场强增强是由于 Lorentz 收缩，但不违反物理定律。

这就是狭义相对论下电磁场的优美对称性！