“波印廷矢量”(Poynting vector)是经典电动力学中描述电磁能量流动的核心概念。它的提出不是凭空而来的,而是有深刻的理论依据和物理基础。
✅ 简明回答:
波印廷矢量 \(\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}\) 的依据来自麦克斯韦方程组的能量守恒定律推导——它是电磁场能量流密度的自然结果,满足局域能量守恒(连续性方程)。
我们从麦克斯韦方程组出发,一步步推导出波印廷矢量,揭示其物理和数学依据。
一、出发点:麦克斯韦方程组(真空中)
$$ \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} & \text{(1)} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 & \text{(2)} \\ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} & \text{(3)} \\ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} & \text{(4)} \end{aligned} $$
二、目标:电磁场的能量守恒
我们想知道:电磁场的能量是如何在空间中变化和流动的?
设想一个体积 \(V\),其中的电磁场能量可能:
- 随时间减少
- 流出该体积(通过表面)
- 或转化为粒子动能(对电荷做功)
我们要建立一个能量守恒方程。
三、推导波印廷矢量(关键步骤)
考虑电磁场对带电粒子做功的功率(即能量转移率):
1. 场对电荷做功的功率密度(单位体积):
洛伦兹力:\(\mathbf{F} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}\)
只有电场对电荷做功(磁场不做功),所以功率密度为:
$$ \frac{dW}{dt} \bigg|_{\text{mech}} = \int_V \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} , dV $$
这部分能量来自电磁场。
2. 电磁场能量减少率:
设电磁场能量密度为:
$$ u_{\text{em}} = \frac{1}{2} \left( \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right) $$
则总场能为 \(\int u_{\text{em}} , dV\)
其减少率应等于:
- 对电荷做功的功率
- 加上能量流出的功率
即:
$$ -\frac{d}{dt} \int_V u_{\text{em}} , dV = \int_V \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} , dV + \oint_{\partial V} \mathbf{S} \cdot d\mathbf{a} $$
我们要找的就是这个 \(\mathbf{S}\)
3. 用麦克斯韦方程推导
从能量密度对时间求导:
$$ \frac{\partial u_{\text{em}}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2 \right) = \epsilon_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$
利用麦克斯韦方程:
- \(\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = -\nabla \times \mathbf{E}\)
- \(\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \frac{1}{\epsilon_0 \mu_0} \nabla \times \mathbf{B} - \frac{1}{\epsilon_0} \mathbf{J}\)
代入:
$$ \begin{aligned} \frac{\partial u_{\text{em}}}{\partial t} &= \epsilon_0 \mathbf{E} \cdot \left( \frac{1}{\epsilon_0 \mu_0} \nabla \times \mathbf{B} - \frac{1}{\epsilon_0} \mathbf{J} \right) + \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} \cdot (-\nabla \times \mathbf{E}) \\ &= \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) - \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} - \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) \end{aligned} $$
使用矢量恒等式: $$ \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) - \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) \Rightarrow \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) - \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = - \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$
所以:
$$ \frac{\partial u_{\text{em}}}{\partial t} = - \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} - \frac{1}{\mu_0} \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$
移项得:
$$ \frac{\partial u_{\text{em}}}{\partial t} + \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + \nabla \cdot \left( \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \right) = 0 $$
四、得到能量守恒方程(局域形式)
$$ \boxed{ \frac{\partial u_{\text{em}}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} + \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} = 0 } \quad \text{其中} \quad \boxed{ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} } $$
这就是电磁场的能量连续性方程:
- \(\frac{\partial u_{\text{em}}}{\partial t}\):电磁能量密度的变化率
- \(\nabla \cdot \mathbf{S}\):能量流出的通量
- \(\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}\):单位体积内场对电荷做功的功率(机械能增加)
✅ 物理意义
- \(\mathbf{S}\) 是电磁能量流密度矢量:表示单位时间通过单位面积的能量(方向和大小)
- 单位:瓦特/平方米(W/m²)
- 这个推导唯一确定了 \(\mathbf{S}\) 的形式,没有自由度
- 它是麦克斯韦方程组的直接结果,不是假设
五、实验验证(依据的实证支持)
波印廷矢量不仅是理论推导的结果,还被大量实验验证:
现象 | 验证内容 |
---|---|
📡 天线辐射 | 测得的辐射方向图与 \(\mathbf{S}\) 预测一致 |
☀️ 太阳光压 | 光照物体受到的力与 \(\mathbf{S}/c\) 一致 |
🔦 手电筒 | 能量沿传播方向流动,\(\mathbf{S} \parallel \mathbf{k}\) |
⚡ 电缆中的能量传输 | 能量主要在绝缘层中流动,\(\mathbf{S}\) 指向导线内部(非沿导线) |
🌟 经典例子:同轴电缆中,电场径向,磁场方位角方向 → \(\mathbf{S}\) 沿轴向,正确描述能量从电源流向负载
六、在辐射场中的表现
对于远场辐射:
- \(\mathbf{E} \perp \mathbf{B} \perp \mathbf{n}\)
- \(|\mathbf{B}| = |\mathbf{E}|/c\)
- \(\mathbf{S} \approx \frac{1}{\mu_0 c} E^2 \mathbf{n} = \frac{c \epsilon_0}{2} E_0^2 \langle \mathbf{n} \rangle\)(平均)
这正是平面电磁波的能量流,与实验完全一致。
✅ 总结:波印廷矢量的依据
依据类型 | 内容 |
---|---|
理论依据 | 从麦克斯韦方程组严格推导出能量守恒律,\(\mathbf{S}\) 是唯一满足该律的矢量 |
数学依据 | 唯一能构成 \(\nabla \cdot \mathbf{S}\) 项的合理矢量是 \(\frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}\) |
物理依据 | 正确描述能量如何从源(如天线)传输到远处(如接收器) |
实验依据 | 被辐射测量、光压、电路能量传输等广泛验证 |
📌 结论
波印廷矢量不是人为定义,而是电磁场能量守恒的必然结果。
它的依据是坚实的:来自麦克斯韦方程组的数学结构和物理世界的实验观测。
正如动量守恒导出力,能量守恒导出了波印廷矢量 —— 它是电磁场“流动的光”的数学表达。