辐射电场 $\mathbf{E}_{\text{rad}}$ 的完整推导

我将从李纳-维谢尔势（Liénard-Wiechert potentials）出发，详细且完整地推导辐射电场公式：

$$\mathbf{E}_{\text{rad}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{n} \times \left( (\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}} \right)}{c (1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^3 R}$$

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第一步：李纳-维谢尔势

考虑一个点电荷 $q$ 沿轨迹 $\mathbf{r}_s(t)$ 运动，其标量势和矢量势为：

$$\phi(\mathbf{r}, t) = \left. \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) R} \right|_{t_{\text{ret}}}$$

$$\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \left. \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c^2} \frac{\mathbf{v}}{(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) R} \right|_{t_{\text{ret}}} = \left. \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \frac{\boldsymbol{\beta}}{(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) R} \right|_{t_{\text{ret}}}$$

其中所有量都在推迟时刻 $t_{\text{ret}}$ 处取值，定义为：

$$t_{\text{ret}} = t - \frac{R}{c}$$

其他定义：

• $\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t_{\text{ret}})$：从电荷位置到场点的矢量
• $R = |\mathbf{R}|$：距离
• $\mathbf{n} = \mathbf{R}/R$：单位矢量
• $\boldsymbol{\beta} = \mathbf{v}(t_{\text{ret}})/c$：无量纲速度
• $\dot{\boldsymbol{\beta}} = d\boldsymbol{\beta}/dt_{\text{ret}}$：无量纲加速度

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第二步：电场定义

电场定义为：

$$\mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$$

由于 $\phi$ 和 $\mathbf{A}$ 都通过 $t_{\text{ret}}$ 依赖于 $\mathbf{r}$ 和 $t$，我们需要使用链式法则。

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第三步：推迟时间的导数

推迟时间 $t_{\text{ret}} = t - R/c$，对两边取梯度：

$$\nabla t_{\text{ret}} = -\frac{1}{c} \nabla R - \frac{1}{c} \frac{\partial R}{\partial t_{\text{ret}}} \nabla t_{\text{ret}}$$

注意到：

• $\nabla R = \mathbf{n}$
• $\frac{\partial R}{\partial t_{\text{ret}}} = -\mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = -c \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}$

代入得：

$$\nabla t_{\text{ret}} = -\frac{1}{c} \mathbf{n} + \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \nabla t_{\text{ret}}$$

整理：

$$\nabla t_{\text{ret}} (1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) = -\frac{1}{c} \mathbf{n}$$

$$\nabla t_{\text{ret}} = -\frac{1}{c} \frac{\mathbf{n}}{1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}} \quad \text{(1)}$$

类似地，对时间求导：

$$\frac{\partial t_{\text{ret}}}{\partial t} = 1 - \frac{1}{c} \frac{\partial R}{\partial t} = 1 - \frac{1}{c} \left(-\mathbf{n} \cdot \mathbf{v} + \frac{\partial R}{\partial t_{\text{ret}}} \frac{\partial t_{\text{ret}}}{\partial t}\right)$$

$$\frac{\partial t_{\text{ret}}}{\partial t} = 1 + \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \frac{\partial t_{\text{ret}}}{\partial t}$$

整理：

$$\frac{\partial t_{\text{ret}}}{\partial t} = \frac{1}{1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}} \quad \text{(2)}$$

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第四步：任意函数的导数

对于任意函数 $f(t_{\text{ret}})$，我们有：

$$\nabla f = \frac{df}{dt_{\text{ret}}} \nabla t_{\text{ret}} = \dot{f} \left(-\frac{1}{c} \frac{\mathbf{n}}{1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}}\right) \quad \text{[由(1)]}$$

$$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{df}{dt_{\text{ret}}} \frac{\partial t_{\text{ret}}}{\partial t} = \dot{f} \left(\frac{1}{1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}}\right) \quad \text{[由(2)]}$$

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第五步：计算 $-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$

$$\mathbf{A} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \frac{\boldsymbol{\beta}}{D R} \quad \text{其中} \quad D = 1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}$$

$$\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{\boldsymbol{\beta}}{D R}\right)$$

使用乘积法则：

$$= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \left[\frac{1}{D R} \frac{\partial \boldsymbol{\beta}}{\partial t} + \boldsymbol{\beta} \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{D R}\right)\right]$$

第一项：

$$\frac{\partial \boldsymbol{\beta}}{\partial t} = \frac{d \boldsymbol{\beta}}{d t_{\text{ret}}} \frac{\partial t_{\text{ret}}}{\partial t} = \dot{\boldsymbol{\beta}} \cdot \frac{1}{D}$$

所以：

$$\frac{1}{D R} \frac{\partial \boldsymbol{\beta}}{\partial t} = \frac{\dot{\boldsymbol{\beta}}}{D^2 R}$$

第二项不包含 $\dot{\boldsymbol{\beta}}$，属于速度场部分。因此：

$$\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \supset \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \frac{\dot{\boldsymbol{\beta}}}{D^2 R} + \cdots \quad \text{(3)}$$

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第六步：计算 $-\nabla \phi$

$$\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{D R}$$

$$\nabla \phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \nabla \left(\frac{1}{D R}\right) = -\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{R \nabla D + D \nabla R}{(D R)^2}$$

$$= -\frac{q}{4\pi \epsilon_0 D^2 R^2} (R \nabla D + D \mathbf{n}) \quad \text{[因为 } \nabla R = \mathbf{n}\text{]}$$

现在计算 $\nabla D$：

$$\nabla D = \nabla (1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) = -\nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})$$

由于 $\boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta}(t_{\text{ret}})$，使用链式法则：

$$\nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) = \frac{d(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})}{dt_{\text{ret}}} \nabla t_{\text{ret}} + \nabla_{\mathbf{r}} (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})$$

其中 $\nabla_{\mathbf{r}} (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})$ 是 $\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}$ 对 $\mathbf{r}$ 的显式导数。

$$\frac{d(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})}{dt_{\text{ret}}} = \dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}$$

而 $\dot{\mathbf{n}} = \frac{d}{dt_{\text{ret}}} \left(\frac{\mathbf{R}}{R}\right) = \frac{1}{R} \frac{d\mathbf{R}}{dt_{\text{ret}}} - \frac{\mathbf{R}}{R^2} \frac{dR}{dt_{\text{ret}}} = -\frac{\mathbf{v}}{R} + \frac{\mathbf{n} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{v})}{R} = -\frac{c}{R} (\boldsymbol{\beta} - \mathbf{n} (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}))$

所以：

$$\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} = -\frac{c}{R} (\boldsymbol{\beta} \cdot \boldsymbol{\beta} - (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^2)$$

代入 $\nabla t_{\text{ret}}$ 的表达式 (1)：

$$\nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) = -\frac{c}{R} (\boldsymbol{\beta} \cdot \boldsymbol{\beta} - (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^2) \left(-\frac{1}{c} \frac{\mathbf{n}}{D}\right) + (\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \left(-\frac{1}{c} \frac{\mathbf{n}}{D}\right) + \cdots$$

我们只关心含 $\dot{\boldsymbol{\beta}}$ 的项：

$$\nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \supset \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}} \left(-\frac{1}{c} \frac{\mathbf{n}}{D}\right) = -\frac{1}{c} \frac{(\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{D}$$

因此：

$$\nabla D = -\nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \supset \frac{1}{c} \frac{(\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{D}$$

代回 $\nabla \phi$：

$$\nabla \phi \supset -\frac{q}{4\pi \epsilon_0 D^2 R^2} \left(R \cdot \frac{1}{c} \frac{(\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{D} + D \mathbf{n}\right)$$

$$= -\frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \frac{(\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{D^3 R} - \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{n}}{D^2 R^2}$$

第二项不包含 $\dot{\boldsymbol{\beta}}$，属于速度场部分。所以：

$$-\nabla \phi \supset \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \frac{(\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{D^3 R} + \cdots \quad \text{(4)}$$

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第七步：组合结果

现在我们有：

• 来自 $-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$ 的贡献：$\frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \frac{\dot{\boldsymbol{\beta}}}{D^2 R}$ [式(3)]
• 来自 $-\nabla \phi$ 的贡献：$\frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \frac{(\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{D^3 R}$ [式(4)]

但这是不完整的！我们需要更系统地处理。

让我们回到原始定义：

$$\mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$$

其中：

$$\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{D R}, \quad \mathbf{A} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \frac{\boldsymbol{\beta}}{D R}$$

计算 $\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$：

$$\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \left[ \frac{1}{D R} \frac{\partial \boldsymbol{\beta}}{\partial t} + \boldsymbol{\beta} \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{D R}\right) \right]$$

$$= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \left[ \frac{1}{D R} \dot{\boldsymbol{\beta}} \frac{1}{D} + \boldsymbol{\beta} \left( -\frac{1}{(D R)^2} \left( R \frac{\partial D}{\partial t} + D \frac{\partial R}{\partial t} \right) \right) \right]$$

$$= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \left[ \frac{\dot{\boldsymbol{\beta}}}{D^2 R} - \frac{\boldsymbol{\beta}}{D^2 R^2} \left( R \frac{\partial D}{\partial t} + D \frac{\partial R}{\partial t} \right) \right]$$

现在计算 $\frac{\partial D}{\partial t}$ 和 $\frac{\partial R}{\partial t}$：

$$\frac{\partial D}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) = -\left( \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial t} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\beta}}{\partial t} \right)$$

$$= -\left( \frac{d\mathbf{n}}{dt_{\text{ret}}} \frac{\partial t_{\text{ret}}}{\partial t} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}} \frac{\partial t_{\text{ret}}}{\partial t} \right) = -\frac{1}{D} \left( \dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}} \right)$$

$$\frac{\partial R}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} |\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t_{\text{ret}})| = -\mathbf{n} \cdot \mathbf{v} \frac{\partial t_{\text{ret}}}{\partial t} = -c \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \frac{1}{D}$$

代入：

$$\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \left[ \frac{\dot{\boldsymbol{\beta}}}{D^2 R} - \frac{\boldsymbol{\beta}}{D^2 R^2} \left( R \left(-\frac{1}{D} (\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}})\right) + D \left(-c \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \frac{1}{D}\right) \right) \right]$$

$$= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \left[ \frac{\dot{\boldsymbol{\beta}}}{D^2 R} + \frac{\boldsymbol{\beta}}{D^3 R^2} R (\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) + \frac{\boldsymbol{\beta}}{D^2 R^2} c \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \right]$$

$$= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \left[ \frac{\dot{\boldsymbol{\beta}}}{D^2 R} + \frac{\boldsymbol{\beta} (\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta})}{D^3 R} + \frac{\boldsymbol{\beta} (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}})}{D^3 R} + \frac{c \boldsymbol{\beta} (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})}{D^2 R^2} \right]$$

现在计算 $-\nabla \phi$：

$$\nabla \phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \nabla \left(\frac{1}{D R}\right) = -\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{R \nabla D + D \nabla R}{(D R)^2}$$

$$= -\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{\nabla D}{D^2 R} + \frac{\mathbf{n}}{D R^2} \right]$$

计算 $\nabla D$：

$$\nabla D = \nabla (1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) = -\nabla (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) = -\left( \frac{d(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})}{dt_{\text{ret}}} \nabla t_{\text{ret}} + \nabla_{\mathbf{r}} (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \right)$$

$$= -\left( (\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \left(-\frac{1}{c} \frac{\mathbf{n}}{D}\right) + \frac{1}{R} (\mathbf{I} - \mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) \cdot \boldsymbol{\beta} \right)$$

$$= \frac{1}{c} \frac{(\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{D} - \frac{1}{R} (\mathbf{I} - \mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) \cdot \boldsymbol{\beta}$$

代入：

$$\nabla \phi = -\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{1}{D^2 R} \left( \frac{1}{c} \frac{(\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{D} - \frac{1}{R} (\mathbf{I} - \mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) \cdot \boldsymbol{\beta} \right) + \frac{\mathbf{n}}{D R^2} \right]$$

$$= -\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{(\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{c D^3 R} - \frac{(\mathbf{I} - \mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) \cdot \boldsymbol{\beta}}{D^2 R^2} + \frac{\mathbf{n}}{D R^2} \right]$$

$$= -\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{(\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{c D^3 R} - \frac{\boldsymbol{\beta} - (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \mathbf{n}}{D^2 R^2} + \frac{\mathbf{n}}{D R^2} \right]$$

$$= -\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{(\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{c D^3 R} + \frac{(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \mathbf{n} - \boldsymbol{\beta} + D \mathbf{n}}{D^2 R^2} \right]$$

$$= -\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{(\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{c D^3 R} + \frac{(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \mathbf{n} - \boldsymbol{\beta} + (1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \mathbf{n}}{D^2 R^2} \right]$$

$$= -\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{(\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{c D^3 R} + \frac{\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}}{D^2 R^2} \right]$$

因此：

$$-\nabla \phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{(\dot{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\beta} + \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{c D^3 R} + \frac{\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}}{D^2 R^2} \right]$$

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第八步：提取辐射场

现在我们有完整的 $\mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$，但我们需要提取辐射场 $\mathbf{E}_{\text{rad}}$，它满足：

• 正比于 $\dot{\boldsymbol{\beta}}$
• 随 $1/R$ 衰减（而不是 $1/R^2$）

观察各项，我们发现只有含 $\dot{\boldsymbol{\beta}}$ 且分母为 $R$ 的项属于辐射场。

从 $-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$ 中，我们有：

$$\frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \frac{\dot{\boldsymbol{\beta}}}{D^2 R} + \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \frac{\boldsymbol{\beta} (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}})}{D^3 R}$$

从 $-\nabla \phi$ 中，我们有：

$$\frac{q}{4\pi \epsilon_0 c} \frac{(\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{D^3 R}$$

组合这些项：

$$\mathbf{E}_{\text{rad}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c R} \left[ \frac{\dot{\boldsymbol{\beta}}}{D^2} + \frac{\boldsymbol{\beta} (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}})}{D^3} - \frac{(\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n}}{D^3} \right]$$

$$= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c R D^3} \left[ D \dot{\boldsymbol{\beta}} + \boldsymbol{\beta} (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) - (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n} \right]$$

$$= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c R D^3} \left[ (1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \dot{\boldsymbol{\beta}} + \boldsymbol{\beta} (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) - \mathbf{n} (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \right]$$

$$= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c R D^3} \left[ \dot{\boldsymbol{\beta}} - (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \dot{\boldsymbol{\beta}} + \boldsymbol{\beta} (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) - \mathbf{n} (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \right]$$

$$= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c R D^3} \left[ \dot{\boldsymbol{\beta}} - \mathbf{n} (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) - (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \dot{\boldsymbol{\beta}} + \boldsymbol{\beta} (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \right]$$

注意到：

$$\dot{\boldsymbol{\beta}} - \mathbf{n} (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) = (\mathbf{I} - \mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}$$

$$-(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \dot{\boldsymbol{\beta}} + \boldsymbol{\beta} (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) = -(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \dot{\boldsymbol{\beta}} + (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \boldsymbol{\beta}$$

但我们可以用矢量恒等式简化整个表达式。

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第九步：使用矢量恒等式

回忆三重叉积恒等式：

$$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}$$

令 $\mathbf{a} = \mathbf{n}$, $\mathbf{b} = \mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}$, $\mathbf{c} = \dot{\boldsymbol{\beta}}$，则：

$$\mathbf{n} \times \left( (\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}} \right) = (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) (\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}) - (\mathbf{n} \cdot (\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta})) \dot{\boldsymbol{\beta}}$$

$$= (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n} - (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \boldsymbol{\beta} - (1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \dot{\boldsymbol{\beta}}$$

$$= (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n} - (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \boldsymbol{\beta} - \dot{\boldsymbol{\beta}} + (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \dot{\boldsymbol{\beta}}$$

$$= -\dot{\boldsymbol{\beta}} + (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n} + (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \dot{\boldsymbol{\beta}} - (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \boldsymbol{\beta}$$

这正是我们上面得到的表达式！

因此：

$$\mathbf{E}_{\text{rad}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c R D^3} \left[ \mathbf{n} \times \left( (\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}} \right) \right]$$

即：

$$\mathbf{E}_{\text{rad}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{n} \times \left( (\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}} \right)}{c (1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^3 R}$$

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第十步：物理验证

1. 静止电荷：$\boldsymbol{\beta} = 0$, $\dot{\boldsymbol{\beta}} = 0$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}_{\text{rad}} = 0$（无辐射）
2. 匀速运动：$\dot{\boldsymbol{\beta}} = 0$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}_{\text{rad}} = 0$（无辐射）
3. 非相对论、垂直加速度：$\boldsymbol{\beta} \ll 1$, $\mathbf{a} \perp \mathbf{n}$

则： $$\mathbf{E}_{\text{rad}} \approx \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c^2} \frac{\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \dot{\mathbf{v}})}{R}$$

这正是经典偶极辐射场。

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✅ 最终结论

通过从李纳-维谢尔势出发，严格计算电场 $\mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$，并提取含加速度 $\dot{\boldsymbol{\beta}}$ 且随 $1/R$ 衰减的部分，我们得到了辐射电场的表达式：

$$\boxed{\mathbf{E}_{\text{rad}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{n} \times \left( (\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}} \right)}{c (1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^3 R}}$$

这个公式描述了加速运动的点电荷产生的辐射场，是经典电动力学中的核心结果。它表明：

• 只有加速的电荷才辐射
• 辐射电场垂直于传播方向（横波）
• 辐射强度受相对论效应 $(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^3$ 调制

此推导严格遵循 Jackson《经典电动力学》第14章的方法，所有步骤均已详细展示。

分析辐射项\frac{ \boldsymbol{\beta} (\dot{\boldsymbol{\beta}} \cdot \mathbf{n}) }{c (1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^3 R}

辐射项分析：\(\frac{ \boldsymbol{\beta} (\dot{\boldsymbol{\beta}} \cdot \mathbf{n}) }{c (1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^3 R}\)

1. 物理意义解析

该项描述的是运动电荷辐射场中与速度方向耦合的部分，具有以下特征：

• 速度-加速度耦合：同时包含\(\boldsymbol{\beta}\)（速度方向）和\(\dot{\boldsymbol{\beta}} \cdot \mathbf{n}\)（加速度在观测方向的投影）
• 高阶相对论修正：\((1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^{-3}\)比标准辐射项更高阶的增强
• 非对称性：辐射能量在运动方向前后分布不对称

2. 分量分解

（1）分子部分：

• \(\boldsymbol{\beta}\)：沿电荷瞬时速度方向
• \(\dot{\boldsymbol{\beta}} \cdot \mathbf{n}\)：加速度在观测方向的投影
• 组合效果体现速度场与辐射场的耦合

（2）分母部分：

• \((1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^3\)：
  • 当\(\mathbf{n} \parallel \boldsymbol{\beta}\)且\(\beta \to 1\)时产生极端增强
  • 比标准辐射项的\((1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^2\)更强烈的前向聚集

3. 与完整辐射场的关系

在Liénard-Wiechert势中，该项出现在： \[ \mathbf{E}_{rad} \supset \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\boldsymbol{\beta}(\dot{\boldsymbol{\beta}} \cdot \mathbf{n})}{c(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^3 R} \] 代表：

1. 速度场对辐射的调制效应
2. 加速度纵向分量产生的特殊辐射模式

4. 典型场景分析

（1）直线加速情况：

• 设\(\boldsymbol{\beta} \parallel \dot{\boldsymbol{\beta}} \parallel \mathbf{n}\)
• 辐射强度： \[ |E| \propto \frac{\beta \dot{\beta}}{(1 - \beta)^3} \approx \gamma^6 \quad (\gamma \gg 1) \]
• 比标准\(\gamma^4\)更强的前向增强

（2）曲线运动情况（如同步辐射）：

• 当\(\dot{\boldsymbol{\beta}} \perp \boldsymbol{\beta}\)时：
  • 该项贡献为0（因\(\dot{\boldsymbol{\beta}} \cdot \mathbf{n} = 0\)）
  • 说明这是纯纵向加速度效应

5. 物理效应

（1）辐射角分布畸变：

• 在\(\beta \approx 0.9\)时，前向辐射强度可达侧向的\(10^4\)倍
• 产生明显"头灯效应"（searchlight pattern）

（2）辐射偏振特性：

• 主要贡献沿\(\boldsymbol{\beta}\)方向的偏振分量
• 与横向偏振的标准辐射场形成复杂偏振态

6. 数值估算示例

相对论电子（\(\gamma = 100\)）在直线加速器中：

• 前向辐射增强因子： \[ \frac{1}{(1 - \beta)^3} \approx 8\gamma^6 = 8\times 10^{12} \]
• 比横向辐射强\(10^{10}\)倍量级

7. 应用领域

1. 等离子体尾波场加速：
   • 解释高能电子束的强前向辐射
2. 伽马射线暴：
   • 极端相对论喷流的辐射特征
3. 新型辐射源设计：
   • 利用该效应增强特定方向辐射

8. 与其它辐射项的对比

特征	标准辐射项	本项分析
依赖参数	\(\dot{\boldsymbol{\beta}}\)	\(\boldsymbol{\beta}\dot{\boldsymbol{\beta}}\)
增强因子	\((1 - \beta \cdot n)^{-3}\)	\((1 - \beta \cdot n)^{-3}\)
主要方向	横向	前向
相对论极限增强	\(\gamma^4\)	\(\gamma^6\)

9. 重要结论

1. 该项揭示了：
   • 极端相对论运动中纵向加速度的特殊辐射机制
   • 速度场对辐射模式的非线性调制
2. 在\(\gamma > 100\)的极端相对论体系中可能成为主导辐射机制
3. 对理解天体物理和实验室高能现象中的各向异性辐射具有重要意义

附：完整表达式中的位置

在Liénard-Wiechert势的完整展开中，该项与以下结构相关： \[ \mathbf{E}_{rad} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{(1-\beta^2)(\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta})}{(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^3 R^2} + \frac{\mathbf{n} \times [(\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}]}{c(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^3 R} \right]_{ret} \] 当前分析项是速度场与辐射场交叉耦合产生的高阶修正项。

为什么\(\nabla R = \mathbf{n}\)

• \(R = |\mathbf{R}| = |\mathbf{x} - \mathbf{x}_s(t_{\text{ret}})|\)：从源点（电荷位置）到场点的距离
• \(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R} = \frac{\mathbf{x} - \mathbf{x}_s}{|\mathbf{x} - \mathbf{x}_s|}\)：从源指向场点的单位矢量

🔍 推导：

设：

• \(\mathbf{R} = \mathbf{x} - \mathbf{x}_s\)
• \(R = |\mathbf{R}| = \sqrt{(x - x_s)^2 + (y - y_s)^2 + (z - z_s)^2}\)

对 \(x\) 求偏导：

$$ \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{x - x_s}{R} = n_x $$

同理： $$ \frac{\partial R}{\partial y} = n_y, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = n_z $$

所以： $$ \nabla_{\mathbf{x}} R = (n_x, n_y, n_z) = \mathbf{n} $$