接前面一章。

求\partial^2 E’_y /\partial t^2

计算 \(\frac{\partial^2 E’_y}{\partial t’^2}\) 的详细步骤

我们从运动参考系 \(S’\) 中的电场分量 \(E’_y\) 出发，计算其二阶时间导数。以下是分步推导：

1. 运动参考系 \(S’\) 中的 \(E’_y\) 表达式

在 \(S’\) 系中，电场 \(y\)-分量为： \[ E’_y = \gamma \frac{q y’}{4 \pi \epsilon_0 \left[ \gamma^2 (x’ + v t’)^2 + y’^2 + z’^2 \right]^{3/2}}. \] 为简化计算，定义： \[ R = \sqrt{\gamma^2 (x’ + v t’)^2 + y’^2 + z’^2}, \] 因此： \[ E’_y = \gamma \frac{q y’}{4 \pi \epsilon_0 R^3}. \]

2. 计算一阶时间导数 \(\frac{\partial E’_y}{\partial t’}\)

对 \(E’_y\) 关于 \(t’\) 求偏导： \[ \frac{\partial E’_y}{\partial t’} = \gamma \frac{q y’}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\partial}{\partial t’} \left( R^{-3} \right). \] 利用链式法则： \[ \frac{\partial}{\partial t’} \left( R^{-3} \right) = -3 R^{-4} \frac{\partial R}{\partial t’}. \] 而： \[ \frac{\partial R}{\partial t’} = \frac{1}{2 R} \cdot 2 \gamma^2 (x’ + v t’) \cdot v = \frac{\gamma^2 v (x’ + v t’)}{R}. \] 因此： \[ \frac{\partial E’_y}{\partial t’} = \gamma \frac{q y’}{4 \pi \epsilon_0} \left( -3 R^{-4} \cdot \frac{\gamma^2 v (x’ + v t’)}{R} \right) = -\frac{3 \gamma^3 v q y’ (x’ + v t’)}{4 \pi \epsilon_0 R^5}. \]

3. 计算二阶时间导数 \(\frac{\partial^2 E’_y}{\partial t’^2}\)

对 \(\frac{\partial E’_y}{\partial t’}\) 再求一次 \(t’\) 的偏导： \[ \frac{\partial^2 E’_y}{\partial t’^2} = -\frac{3 \gamma^3 v q y’}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\partial}{\partial t’} \left( \frac{x’ + v t’}{R^5} \right). \] 使用商的导数法则： \[ \frac{\partial}{\partial t’} \left( \frac{x’ + v t’}{R^5} \right) = \frac{R^5 \cdot v - (x’ + v t’) \cdot 5 R^4 \frac{\partial R}{\partial t’}}{R^{10}} = \frac{v R - 5 (x’ + v t’) \frac{\gamma^2 v (x’ + v t’)}{R}}{R^6}. \] 化简分子： \[ v R - \frac{5 \gamma^2 v (x’ + v t’)^2}{R} = \frac{v R^2 - 5 \gamma^2 v (x’ + v t’)^2}{R} = \frac{v \left( \gamma^2 (x’ + v t’)^2 + y’^2 + z’^2 - 5 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 \right)}{R}. \] 进一步化简： \[ = \frac{v \left( y’^2 + z’^2 - 4 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 \right)}{R}. \] 因此： \[ \frac{\partial^2 E’_y}{\partial t’^2} = -\frac{3 \gamma^3 v q y’}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{v \left( y’^2 + z’^2 - 4 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 \right)}{R^7}. \] 最终表达式： \[ \frac{\partial^2 E’_y}{\partial t’^2} = -\frac{3 \gamma^3 v^2 q y’ \left( y’^2 + z’^2 - 4 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 \right)}{4 \pi \epsilon_0 R^7}. \]

4. 与空间二阶导数的关系

对比之前求得的空间二阶导数： \[ \frac{\partial^2 E’_y}{\partial x’^2} = -\frac{3 \gamma^3 q y’ \left( y’^2 + z’^2 - 4 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 \right)}{4 \pi \epsilon_0 R^7}, \] 可以发现： \[ \frac{\partial^2 E’_y}{\partial t’^2} = v^2 \frac{\partial^2 E’_y}{\partial x’^2}. \] 这符合波动方程的形式 \(\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}\)，验证了结果的正确性。

5. 结论

运动参考系 \(S’\) 中，电场 \(E’_y\) 的二阶时间导数为： \[ \boxed{ \frac{\partial^2 E’_y}{\partial t’^2} = -\frac{3 \gamma^3 v^2 q y’ \left( y’^2 + z’^2 - 4 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 \right)}{4 \pi \epsilon_0 \left[ \gamma^2 (x’ + v t’)^2 + y’^2 + z’^2 \right]^{7/2}} } \]

关键点总结

  1. 洛伦兹因子 \(\gamma\) 的影响：高速运动（\(v \to c\)）会显著增强场的时间变化率。
  2. 近场效应：当 \(y’\) 或 \(z’\) 很小（近场区域）时，二阶导数可能极大。
  3. 波动方程一致性：结果满足 \(\frac{\partial^2 E’_y}{\partial t’^2} = v^2 \frac{\partial^2 E’_y}{\partial x’^2}\)，符合电磁波的传播特性。

求求\partial^2 E’_x /\partial x^2

计算 \(\frac{\partial^2 E’_x}{\partial x’^2}\) 的详细步骤

我们从运动参考系 \(S’\) 中的电场分量 \(E’_x\) 出发，计算其二阶空间导数。以下是分步推导：

1. 运动参考系 \(S’\) 中的 \(E’_x\) 表达式

在 \(S’\) 系中，电场 \(x\)-分量为： \[ E’_x = \frac{q \gamma (x’ + v t’)}{4 \pi \epsilon_0 \left[ \gamma^2 (x’ + v t’)^2 + y’^2 + z’^2 \right]^{3/2}}. \] 为简化计算，定义： \[ R = \sqrt{\gamma^2 (x’ + v t’)^2 + y’^2 + z’^2}, \] 因此： \[ E’_x = \frac{q \gamma (x’ + v t’)}{4 \pi \epsilon_0 R^3}. \]

2. 计算一阶导数 \(\frac{\partial E’_x}{\partial x’}\)

对 \(E’_x\) 关于 \(x’\) 求偏导： \[ \frac{\partial E’_x}{\partial x’} = \frac{q \gamma}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\partial}{\partial x’} \left( \frac{x’ + v t’}{R^3} \right). \] 使用商的导数法则： \[ \frac{\partial}{\partial x’} \left( \frac{x’ + v t’}{R^3} \right) = \frac{R^3 \cdot 1 - (x’ + v t’) \cdot 3 R^2 \frac{\partial R}{\partial x’}}{R^6}. \] 计算 \(\frac{\partial R}{\partial x’}\)： \[ \frac{\partial R}{\partial x’} = \frac{\gamma^2 (x’ + v t’)}{R}. \] 因此： \[ \frac{\partial E’_x}{\partial x’} = \frac{q \gamma}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{R^3 - 3 (x’ + v t’) R^2 \cdot \frac{\gamma^2 (x’ + v t’)}{R}}{R^6} \right) = \frac{q \gamma}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{R^2 - 3 \gamma^2 (x’ + v t’)^2}{R^5} \right). \] 进一步化简分子： \[ R^2 - 3 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 = \gamma^2 (x’ + v t’)^2 + y’^2 + z’^2 - 3 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 = y’^2 + z’^2 - 2 \gamma^2 (x’ + v t’)^2. \] 最终： \[ \frac{\partial E’_x}{\partial x’} = \frac{q \gamma \left( y’^2 + z’^2 - 2 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 \right)}{4 \pi \epsilon_0 R^5}. \]

3. 计算二阶导数 \(\frac{\partial^2 E’_x}{\partial x’^2}\)

对 \(\frac{\partial E’_x}{\partial x’}\) 再求一次 \(x’\) 的偏导： \[ \frac{\partial^2 E’_x}{\partial x’^2} = \frac{q \gamma}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\partial}{\partial x’} \left( \frac{y’^2 + z’^2 - 2 \gamma^2 (x’ + v t’)^2}{R^5} \right). \] 使用商的导数法则： \[ \frac{\partial}{\partial x’} \left( \frac{N}{R^5} \right) = \frac{R^5 \frac{\partial N}{\partial x’} - N \cdot 5 R^4 \frac{\partial R}{\partial x’}}{R^{10}}, \] 其中 \(N = y’^2 + z’^2 - 2 \gamma^2 (x’ + v t’)^2\)，且： \[ \frac{\partial N}{\partial x’} = -4 \gamma^2 (x’ + v t’), \quad \frac{\partial R}{\partial x’} = \frac{\gamma^2 (x’ + v t’)}{R}. \] 因此： \[ \frac{\partial^2 E’_x}{\partial x’^2} = \frac{q \gamma}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{R^5 (-4 \gamma^2 (x’ + v t’)) - \left( y’^2 + z’^2 - 2 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 \right) \cdot 5 R^4 \cdot \frac{\gamma^2 (x’ + v t’)}{R}}{R^{10}} \right). \] 化简分子： \[ -4 \gamma^2 (x’ + v t’) R^5 - 5 \gamma^2 (x’ + v t’) \left( y’^2 + z’^2 - 2 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 \right) R^3. \] 提出公因子 \(- \gamma^2 (x’ + v t’) R^3\)： \[ = -\gamma^2 (x’ + v t’) R^3 \left( 4 R^2 + 5 \left( y’^2 + z’^2 - 2 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 \right) \right). \] 展开并合并同类项： \[ = -\gamma^2 (x’ + v t’) R^3 \left( 4 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 + 4 y’^2 + 4 z’^2 + 5 y’^2 + 5 z’^2 - 10 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 \right), \] \[ = -\gamma^2 (x’ + v t’) R^3 \left( -6 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 + 9 y’^2 + 9 z’^2 \right). \] 最终： \[ \frac{\partial^2 E’_x}{\partial x’^2} = \frac{q \gamma}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{ -\gamma^2 (x’ + v t’) R^3 \left( -6 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 + 9 (y’^2 + z’^2) \right) }{R^{10}}. \] 约简后： \[ \frac{\partial^2 E’_x}{\partial x’^2} = \frac{q \gamma^3 (x’ + v t’) \left( 6 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 - 9 (y’^2 + z’^2) \right)}{4 \pi \epsilon_0 R^7}. \]

4. 最终表达式

将 \(R\) 的定义代回，得到： \[ \boxed{ \frac{\partial^2 E’_x}{\partial x’^2} = \frac{q \gamma^3 (x’ + v t’) \left[ 6 \gamma^2 (x’ + v t’)^2 - 9 (y’^2 + z’^2) \right]}{4 \pi \epsilon_0 \left[ \gamma^2 (x’ + v t’)^2 + y’^2 + z’^2 \right]^{7/2}} } \]

5. 关键点总结

  1. 洛伦兹收缩效应：\(\gamma\) 因子反映了运动对电场分布的相对论性压缩。
  2. 近场行为：当 \(y’^2 + z’^2 \ll \gamma^2 (x’ + v t’)^2\)（沿运动方向近场），二阶导数主要由 \(6 \gamma^5\) 项主导。
  3. 物理意义：该导数描述了电场 \(E’_x\) 在运动方向上的曲率变化，与电荷高速运动时的场梯度密切相关。

计算静电场的值：求\partial^2 E_x /\partial x^2，也就是变换前的电场

静电场 \( E_x \) 的二阶空间导数 \(\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}\) 的计算

我们从一个静止的点电荷 \( q \) 产生的静电场出发，计算其 \( x \)-分量 \( E_x \) 的二阶导数。

1. 静电场的 \( x \)-分量表达式

在静止参考系 \( S \) 中，点电荷 \( q \) 位于原点，其电场为： \[ \mathbf{E} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(x, y, z)}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, \] 因此 \( x \)-分量为： \[ E_x = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}. \] 定义 \( r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)，则： \[ E_x = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{x}{r^3}. \]

2. 计算一阶导数 \(\frac{\partial E_x}{\partial x}\)

对 \( E_x \) 关于 \( x \) 求偏导： \[ \frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{r^3} \right). \] 使用商的导数法则： \[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{r^3} \right) = \frac{r^3 \cdot 1 - x \cdot 3 r^2 \frac{\partial r}{\partial x}}{r^6}. \] 计算 \( \frac{\partial r}{\partial x} \)： \[ \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}. \] 因此： \[ \frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{r^3 - 3 x r^2 \cdot \frac{x}{r}}{r^6} \right) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{r^2 - 3 x^2}{r^5} \right). \] 进一步化简分子： \[ r^2 - 3 x^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - 3 x^2 = -2 x^2 + y^2 + z^2. \] 最终： \[ \frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{q (-2 x^2 + y^2 + z^2)}{4 \pi \epsilon_0 r^5}. \]

3. 计算二阶导数 \(\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}\)

对 \( \frac{\partial E_x}{\partial x} \) 再求一次 \( x \) 的偏导： \[ \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-2 x^2 + y^2 + z^2}{r^5} \right). \] 使用商的导数法则： \[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{N}{r^5} \right) = \frac{r^5 \frac{\partial N}{\partial x} - N \cdot 5 r^4 \frac{\partial r}{\partial x}}{r^{10}}, \] 其中 \( N = -2 x^2 + y^2 + z^2 \)，且： \[ \frac{\partial N}{\partial x} = -4 x, \quad \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}. \] 因此： \[ \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{r^5 (-4 x) - (-2 x^2 + y^2 + z^2) \cdot 5 r^4 \cdot \frac{x}{r}}{r^{10}} \right). \] 化简分子： \[ -4 x r^5 + 5 x (-2 x^2 + y^2 + z^2) r^3 = -4 x r^5 + 5 x (-2 x^2 + y^2 + z^2) r^3. \] 将 \( r^2 = x^2 + y^2 + z^2 \) 代入： \[ = -4 x r^5 + 5 x (-2 x^2 + y^2 + z^2) r^3 = x r^3 \left( -4 r^2 + 5 (-2 x^2 + y^2 + z^2) \right). \] 展开括号： \[ -4 r^2 + 5 (-2 x^2 + y^2 + z^2) = -4 (x^2 + y^2 + z^2) - 10 x^2 + 5 y^2 + 5 z^2 = -14 x^2 + y^2 + z^2. \] 因此： \[ \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{x r^3 (-14 x^2 + y^2 + z^2)}{r^{10}} = \frac{q x (-14 x^2 + y^2 + z^2)}{4 \pi \epsilon_0 r^7}. \]

4. 最终表达式

将 \( r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \) 代回，得到： \[ \boxed{ \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} = \frac{q x (y^2 + z^2 - 14 x^2)}{4 \pi \epsilon_0 (x^2 + y^2 + z^2)^{7/2}} } \]

5. 物理意义

  1. 对称性：当 \( y = z = 0 \)（沿 \( x \)-轴），二阶导数为： \[ \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} = \frac{q x (-14 x^2)}{4 \pi \epsilon_0 |x|^7} = -\frac{14 q}{4 \pi \epsilon_0 |x|^5}. \] 负号表示电场曲率在 \( x \)-轴上为“凹向下”。

  2. 近场行为：当 \( x \to 0 \)（靠近电荷），二阶导数主导项为： \[ \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} \approx \frac{q x (y^2 + z^2)}{4 \pi \epsilon_0 (y^2 + z^2)^{7/2}} = \frac{q x}{4 \pi \epsilon_0 (y^2 + z^2)^{5/2}}. \] 在 \( x \)-轴附近（\( y, z \ll x \)），场变化剧烈。

  3. 与运动电荷的对比：

    • 静止电荷的 \( \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} \) 仅依赖空间坐标。
    • 运动电荷的 \( \frac{\partial^2 E’_x}{\partial x’^2} \) 还包含时间 \( t’ \) 和洛伦兹因子 \( \gamma \)，体现相对论效应。

6. 总结

  • 静电场 \( E_x \) 的二阶导数在 \( x \)-方向非零，反映了电场分布的曲率。
  • 结果与库仑定律的自洽性一致，且在远离电荷时（\( r \to \infty \)）以 \( r^{-5} \) 衰减。
  • 运动电荷的场导数需通过洛伦兹变换得到，静止电荷是其特例（\( v=0 \)，\( \gamma=1 \)）。

计算静电场的值：求\partial E_y /\partial x，也就是变换前的电场

静电场的 \(\frac{\partial E_y}{\partial x}\) 计算

我们从静止点电荷 \( q \) 的静电场出发，计算电场 \( y \)-分量 \( E_y \) 对 \( x \) 的偏导数。

1. 静电场的 \( y \)-分量表达式

在静止参考系 \( S \) 中，点电荷 \( q \) 位于原点，其电场为： \[ \mathbf{E} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(x, y, z)}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, \] 因此 \( y \)-分量为： \[ E_y = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}. \] 定义 \( r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)，则： \[ E_y = \frac{q y}{4 \pi \epsilon_0 r^3}. \]

2. 计算 \(\frac{\partial E_y}{\partial x}\)

对 \( E_y \) 关于 \( x \) 求偏导： \[ \frac{\partial E_y}{\partial x} = \frac{q y}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\partial}{\partial x} \left( r^{-3} \right). \] 利用链式法则： \[ \frac{\partial}{\partial x} \left( r^{-3} \right) = -3 r^{-4} \frac{\partial r}{\partial x}, \] 其中： \[ \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}. \] 因此： \[ \frac{\partial E_y}{\partial x} = \frac{q y}{4 \pi \epsilon_0} \left( -3 r^{-4} \cdot \frac{x}{r} \right) = -\frac{3 q x y}{4 \pi \epsilon_0 r^5}. \]

3. 最终表达式

\[ \boxed{ \frac{\partial E_y}{\partial x} = -\frac{3 q x y}{4 \pi \epsilon_0 (x^2 + y^2 + z^2)^{5/2}} } \]

4. 物理意义

  1. 对称性分析：

    • 当 \( x = 0 \) 或 \( y = 0 \) 时，\(\frac{\partial E_y}{\partial x} = 0\)，即在 \( x \)-轴或 \( y \)-轴上，\( E_y \) 不随 \( x \) 变化。
    • 最大值出现在 \( x = \pm y \) 且 \( z = 0 \) 时，此时场变化率最大。

  2. 场线曲率：

    • 负号表示在 \( x > 0, y > 0 \) 区域，\( E_y \) 随 \( x \) 增大而减小（场线向外弯曲）。

  3. 与高斯定律的一致性：

    • 对静电场，应有 \( \nabla \times \mathbf{E} = 0 \)，即： \[ \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = 0. \] 由对称性可知 \( \frac{\partial E_x}{\partial y} = -\frac{3 q x y}{4 \pi \epsilon_0 r^5} \)，与 \( \frac{\partial E_y}{\partial x} \) 相等，验证无旋性。

5. 总结

  • 静电场 \( E_y \) 对 \( x \) 的偏导数描述了电场 \( y \)-分量在 \( x \)-方向的变化率。
  • 结果与库仑定律和静电场的无旋性一致，且在远离电荷时以 \( r^{-5} \) 衰减。

前面我们得出，电荷运动时，其近场方程满足\frac{\partial^2 E’_y}{\partial t’^2} = v^2 \frac{\partial^2 E’_y}{\partial x’^2}，是否有\frac{\partial^2 E’}{\partial t’^2} = v^2 \Delta^2 E’

关于运动电荷电磁场的波动方程

1. 运动电荷的波动方程推导

我们从之前的结果出发，已知在运动参考系 \( S’ \) 中，电场 \( y \)-分量满足： \[ \frac{\partial^2 E’_y}{\partial t’^2} = v^2 \frac{\partial^2 E’_y}{\partial x’^2}, \] 这是标准的 一维波动方程，其解描述以速度 \( v \) 沿 \( x’ \)-方向传播的波。但这是否可以推广到完整的 三维波动方程（即 \( \frac{\partial^2 \mathbf{E}’}{\partial t’^2} = v^2 \nabla’^2 \mathbf{E}’ \)）呢？

2. 三维推广的可行性分析

(1) 电场各分量的波动方程

  • \( E’_x \) 分量：
    通过类似推导可得： \[ \frac{\partial^2 E’_x}{\partial t’^2} = v^2 \frac{\partial^2 E’_x}{\partial x’^2}. \] 但 \( E’_x \) 还依赖 \( y’ \) 和 \( z’ \)，因此完整的拉普拉斯算子 \( \nabla’^2 E’_x \) 会包含 \( \frac{\partial^2 E’_x}{\partial y’^2} \) 和 \( \frac{\partial^2 E’_x}{\partial z’^2} \) 项，而这些项 未被波动方程包含。

  • \( E’_y \) 和 \( E’_z \) 分量：
    同理，它们的二阶时间导数仅与 \( \frac{\partial^2}{\partial x’^2} \) 相关，而与其他空间方向的二阶导数无关。

(2) 数学矛盾

若假设全局波动方程成立： \[ \frac{\partial^2 \mathbf{E}’}{\partial t’^2} = v^2 \nabla’^2 \mathbf{E}’, \] 则需满足： \[ \frac{\partial^2 E’_y}{\partial t’^2} = v^2 \left( \frac{\partial^2 E’_y}{\partial x’^2} + \frac{\partial^2 E’_y}{\partial y’^2} + \frac{\partial^2 E’_y}{\partial z’^2} \right). \] 但实际推导中仅出现 \( \frac{\partial^2 E’_y}{\partial x’^2} \) 项，额外项 \( \frac{\partial^2 E’_y}{\partial y’^2} + \frac{\partial^2 E’_y}{\partial z’^2} \) 未被平衡，因此假设不成立。

3. 物理本质

  • 一维波动性：运动电荷的场扰动沿运动方向（\( x’ \)）以速度 \( v \) 传播，但横向（\( y’, z’ \)）场变化由静态库仑场主导，不满足波动方程。
  • 场的各向异性：运动电荷的电场在 \( x’ \)-方向被压缩（Lorentz收缩），而横向场无此效应，导致波动行为仅体现在运动方向上。

4. 对比真空电磁波方程

在真空中，完整的电磁波方程为： \[ \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \mathbf{E}, \] 其成立条件是：

  1. 无源自由空间（\( \rho = 0 \), \( \mathbf{J} = 0 \)）；
  2. 场在所有方向上传播（各向同性）。

而运动电荷的场：

  1. 存在源（电荷本身）；
  2. 场扰动仅沿运动方向传播（各向异性），因此不满足全局波动方程。

5. 结论

\[ \boxed{ \text{运动电荷的电场 } \mathbf{E}’ \text{ 不满足全局波动方程 } \frac{\partial^2 \mathbf{E}’}{\partial t’^2} = v^2 \nabla’^2 \mathbf{E}’，\ \text{仅其沿运动方向的分量满足一维波动方程 } \frac{\partial^2 E’_y}{\partial t’^2} = v^2 \frac{\partial^2 E’_y}{\partial x’^2}。 } \]

关键区别：

  • 真空电磁波：各向同性，传播速度 \( c \)（光速）。
  • 运动电荷的场：各向异性，扰动速度 \( v \)（电荷速度），且仅沿运动方向波动。