问题描述
我们有以下关系：
- 在 \( y \)-方向上，\( x = v t \)，\( z = 0 \)。
- 距离关系： \[ R = \sqrt{(v t - v t’)^2 + y^2} \]
- 时间比例： \[ \frac{dt}{dt’} = 1 - \frac{v}{c} \frac{v t - v t’}{\sqrt{(v t - v t’)^2 + y^2}} \]
- 给定 \( t’ \) 的表达式： \[ t’ = \frac{c^2 t - x v - c \sqrt{(x - v t)^2 + (1 - v^2 / c^2)(y^2 + z^2)}}{c^2 - v^2} \] 由于 \( x = v t \)，\( z = 0 \)，代入后： \[ t’ = \frac{c^2 t - v^2 t - c \sqrt{0 + (1 - v^2 / c^2) y^2}}{c^2 - v^2} = \frac{t (c^2 - v^2) - c \sqrt{y^2 (1 - v^2 / c^2)}}{c^2 - v^2} \] 化简： \[ t’ = t - \frac{c y \sqrt{1 - v^2 / c^2}}{c^2 - v^2} = t - \frac{y \sqrt{1 - v^2 / c^2}}{c (1 - v^2 / c^2)} = t - \frac{y}{c \sqrt{1 - v^2 / c^2}} \] 记 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \)，则： \[ t’ = t - \frac{\gamma y}{c} \]
目标
将 \( t’ = t - \frac{\gamma y}{c} \) 代入 \( \frac{dt}{dt’} \)，看看是否能化简或验证其正确性。
步骤 1：计算 \( t - t’ \)
\[ t - t’ = \frac{\gamma y}{c} \]
步骤 2：计算 \( v t - v t’ \)
\[ v t - v t’ = v (t - t’) = \frac{v \gamma y}{c} \]
步骤 3：计算 \( R \)
\[ R = \sqrt{(v t - v t’)^2 + y^2} = \sqrt{\left(\frac{v \gamma y}{c}\right)^2 + y^2} = y \sqrt{\frac{v^2 \gamma^2}{c^2} + 1} \] 注意到 \( \gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2 / c^2} \)，所以： \[ \frac{v^2 \gamma^2}{c^2} + 1 = \frac{v^2}{c^2 (1 - v^2 / c^2)} + 1 = \frac{v^2 + c^2 (1 - v^2 / c^2)}{c^2 (1 - v^2 / c^2)} = \frac{c^2}{c^2 (1 - v^2 / c^2)} = \gamma^2 \] 因此： \[ R = y \gamma \]
步骤 4：计算 \( \frac{dt}{dt’} \)
原式： \[ \frac{dt}{dt’} = 1 - \frac{v}{c} \frac{v t - v t’}{R} = 1 - \frac{v}{c} \frac{v \gamma y / c}{y \gamma} = 1 - \frac{v^2}{c^2} \] 即： \[ \frac{dt}{dt’} = 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2} \]
验证 \( \frac{dt}{dt’} \) 的正确性
从 \( t’ = t - \frac{\gamma y}{c} \)，对 \( t’ \) 求导： \[ \frac{dt}{dt’} = \frac{1}{\frac{dt’}{dt}} = \frac{1}{1 - \frac{\gamma}{c} \frac{dy}{dt}} \] 如果 \( y \) 是常数（即 \( \frac{dy}{dt} = 0 \)），则： \[ \frac{dt}{dt’} = 1 \] 这与前面的结果 \( \frac{dt}{dt’} = \frac{1}{\gamma^2} \) 矛盾。因此，可能的问题在于：
- \( t’ \) 的表达式中 \( y \) 是否随时间变化？
- 原 \( \frac{dt}{dt’} \) 的推导是否假设了 \( y \) 是常数？
重新推导 \( \frac{dt}{dt’} \)
从 \( R = c(t - t’) \)，且 \( R = \sqrt{(v t - v t’)^2 + y^2} \)，对 \( t’ \) 求导： \[ \frac{dR}{dt’} = c \left(\frac{dt}{dt’} - 1\right) \] 同时： \[ \frac{dR}{dt’} = \frac{v^2 (t - t’) \left(\frac{dt}{dt’} - 1\right) + y \frac{dy}{dt’}}{R} \] 假设 \( y \) 是常数（\( \frac{dy}{dt’} = 0 \)），则： \[ c \left(\frac{dt}{dt’} - 1\right) = \frac{v^2 (t - t’) \left(\frac{dt}{dt’} - 1\right)}{R} \] 如果 \( \frac{dt}{dt’} \neq 1 \)，可以两边除以 \( \frac{dt}{dt’} - 1 \)： \[ c = \frac{v^2 (t - t’)}{R} \] 但 \( R = c(t - t’) \)，所以： \[ c = \frac{v^2 (t - t’)}{c(t - t’)} = \frac{v^2}{c} \] 即 \( c^2 = v^2 \)，这是不可能的（除非 \( v = c \)，但光速不可达）。因此，唯一可能是： \[ \frac{dt}{dt’} = 1 \]
结论
- 如果 \( y \) 是常数，则 \( \frac{dt}{dt’} = 1 \)。
- 如果 \( y \) 不是常数，则需要 \( \frac{dy}{dt’} \) 的信息。
- 原问题中 \( \frac{dt}{dt’} = 1 - \frac{v^2}{c^2} \) 的推导可能有误，正确的 \( \frac{dt}{dt’} \) 应为 1（当 \( y \) 是常数时）。
最终答案
在 \( y \) 是常数的条件下： \[ \frac{dt}{dt’} = 1 \]