参考:

推迟势数学推理总结

假设一个光源,以匀速\(v\)沿着\(\hat{x}\)轴运动,

在空间一个观察点,相对于静止坐标系坐标\((x,y,z)\)

也就是此时静止坐标系内,\(A\)点在\(\hat{x}\),\(\hat{y}\)轴的的比例关系为\(x/y\)

光源在\(t_0\)时刻发射一个光子,观察点\(A\)在时间\(t\)时收到这个光子,

假设观察点\(A\)在**\(x\)轴**上,那么\(A\)收到光子时的观察点到光源的距离\(x’\)为:

\(x’=x-vt\),

光走的时间距离为:

\(x-vt’=c(t-t’)\)

图例如下:

假设观察点\(A\)在**\(y\)**轴上,那么\(A\)收到光源发射的光子的时候,

光子相对于静止坐标系走了距离\(y\)的时候,则在\(y’\)中实际走的距离为:

\(y’=y/\gamma\),

此时光源发射光子,必须是斜向发射,以角度\(v/c\)的方向发射,才能始终保证光子在光源的\(\hat{y}\)轴上滑动

图例如下:

所以,在静止坐标系里的坐标\(ct=(x,y,z)\),运动坐标系里就变成了:

\(ct’=(x-vt,y/\gamma,z/\gamma)\)

这就是推迟势从\(R(ct,x,y,z)\)到\(R’(ct’,x-vt,y/\gamma,z/\gamma)\)的由来,

也就是在运动坐标系内,在同一个\(t’\)内,\(\hat{x}\), \(\hat{y}\)轴的比例关系变成了\((x-vt)/(y/\gamma)\)

那么,怎么从这点推导出洛伦兹变换?

在狭义相对论中,有形式:

\((ct)^2 =x^2+y^2+z^2\), \((ct’)^2 =x’^2+y’^2+z’^2\),

在光源沿着x轴运动时,两个坐标的y,z值是不变的,

这就需要\(\hat{y}\)轴由\(y/\gamma\)扩大到\(y\), 则对应的\(x’\)也要扩大\(\gamma\)倍,由\(x-vt\)扩大到\(\gamma(x-vt)\),同时时间也要扩大\(\gamma\)倍,此时\(R’\)变成了:

\(R’(ct’, \gamma(x-vt), y, z)\),

也就是计算的时候,认为发射的光子的位置,不是接收到光子时光源的真实位置\(x’=x-vt\),而是\(x’=\gamma(x-vt)\),这个并非真实观察者的结果,而是为了计算转换方便,只要能保持光速不变就行。

变换的时候,由于使用的是\(\frac{dt}{dt’}=\frac{R’}{R}\),即\(\frac{R’}{dt}=\frac{R}{dt’}=c\),\(dt对应运动坐标系\),所以在不同坐标系内,这种变换都是光速,即使在洛伦兹变换中运动坐标系内时间和距离同时扩大了\(\gamma\)倍。

电磁势坐标变换中,遵循 \(R(ct,x,y,z)\)到\(R’(ct’,x-vt,y/\gamma,z/\gamma)\)的变换,对R’求梯度,则可得出y,z方向电场变大\(\gamma\)倍

静电场\(E_0\)的坐标变换中,可以使用洛伦兹变换变成\(E’_0\),并加上带\(\gamma\)的磁场B,则总电场E符合:

\(E^2 =E’_0^2+(cB)^2=E’_0^2(cos^2(\theta)+\gamma^2sin^2(\theta))\)

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通过对比发现,推迟势和狭义相对论在移动坐标系中的光线路径是相同的,

推迟势的路径公式为\(R’=\sqrt{(x-vt)^2+(y^2+z^2)/\gamma^2}\)

狭义相对论的路径公式为\(R’=\sqrt{\gamma^2(x-vt)^2+y^2+z^2}\)

它们的斜率是相同的,一个是\((y/\gamma)/(x-vt)\), 一个是\(y/(\gamma(x-vt)\)

只是它们采用的观察模式不同,

推迟势观察的是相同的x的情况,狭义相对论观察采用的是使用相同的y

如下图:

推迟势的计算认为,电磁波在x方向上密度没有变化,在y方向上有挤压,也就是在不同坐标系,相同x的时候的密度情况(图中\(\triangle Ox-ct\)和\(\triangle O’xp\))。

狭义相对论则认为,坐标变换,在y方向上没有变化,在x方向上才有变化,计算的是相同的y情况下的变换(图中\(\triangle Ox-ct\)和\(\triangle O’x’-ct’\)),如果在相同的y的位置测量,则可能测到移动电荷的电场只在x方向增强,y方向相同,磁场也小了\(\gamma\)倍。

类似下图,

圆球内的小椭圆,x方向没变,y方向压缩

圆球外的大椭圆,y方向没变,x方向变大

所以最终导致了两者的不同,导致了电磁场变换和狭义相对论变换的不同。