问题重述
给定洛伦兹变换的坐标变换公式： \[ x’ = \gamma (x - v t) \] 其中，\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)，且 \(x’ = x\)。求速度 \(v\) 的值。
解题步骤
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代入 \(x’ = x\)： \[ \gamma (x - v t) = x \]
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展开 \(\gamma\)： \[ \frac{x - v t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = x \]
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两边乘以 \(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\)： \[ x - v t = x \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \]
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两边平方（注意平方可能引入增根，需验证）： \[ (x - v t)^2 = x^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) \] \[ x^2 - 2 x v t + v^2 t^2 = x^2 - \frac{x^2 v^2}{c^2} \]
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消去 \(x^2\)： \[ -2 x v t + v^2 t^2 = -\frac{x^2 v^2}{c^2} \]
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整理方程： \[ -2 x v t + v^2 t^2 + \frac{x^2 v^2}{c^2} = 0 \] \[ v \left(-2 x t + v t^2 + \frac{x^2 v}{c^2}\right) = 0 \]
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解 \(v\)：
- 解1：\(v = 0\)
- 验证：\(\gamma = 1\)，\(x’ = x\) 成立。
- 解2：括号内为零：
\[
-2 x t + v t^2 + \frac{x^2 v}{c^2} = 0
\]
\[
v \left(t^2 + \frac{x^2}{c^2}\right) = 2 x t
\]
\[
v = \frac{2 x t}{t^2 + \frac{x^2}{c^2}} = \frac{2 x t c^2}{c^2 t^2 + x^2}
\]
- 验证：
- 代入 \(x’ = \gamma (x - v t)\)： \[ x - v t = x - \frac{2 x t^2 c^2}{c^2 t^2 + x^2} = \frac{x (c^2 t^2 + x^2) - 2 x t^2 c^2}{c^2 t^2 + x^2} = \frac{x^3 - x c^2 t^2}{c^2 t^2 + x^2} \] \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4 x^2 t^2 c^2}{(c^2 t^2 + x^2)^2}}} = \frac{c^2 t^2 + x^2}{\sqrt{(c^2 t^2 + x^2)^2 - 4 x^2 t^2 c^2}} \] \[ \gamma (x - v t) = \frac{c^2 t^2 + x^2}{\sqrt{(c^2 t^2 - x^2)^2}} \cdot \frac{x^3 - x c^2 t^2}{c^2 t^2 + x^2} = \frac{x (x^2 - c^2 t^2)}{|c^2 t^2 - x^2|} = x \cdot \frac{x^2 - c^2 t^2}{|x^2 - c^2 t^2|} \]
- 若 \(x^2 > c^2 t^2\)，则 \(x’ = x\)。
- 若 \(x^2 < c^2 t^2\)，则 \(x’ = -x\)（不满足 \(x’ = x\)）。
- 因此，只有当 \(x^2 > c^2 t^2\) 时，\(v = \frac{2 x t c^2}{c^2 t^2 + x^2}\) 是有效解。
- 验证：
- 解1：\(v = 0\)
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总结解：
- 平凡解：\(v = 0\)（对所有 \(x, t\) 成立）。
- 非平凡解：\(v = \frac{2 x t c^2}{c^2 t^2 + x^2}\)（仅当 \(x^2 > c^2 t^2\) 时成立）。
物理意义
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\(v = 0\)：
- \(S’\) 系与 \(S\) 系相对静止，显然 \(x’ = x\)。
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非平凡解：
- 当 \(x^2 > c^2 t^2\)（即事件与原点类空间隔），存在非零 \(v\) 使得 \(x’ = x\)。
- 此时 \(v\) 的表达式表明 \(S’\) 系以特定速度运动，使得 \(x\) 坐标不变。
验证非平凡解
假设 \(x = c t_0\)（\(t_0 > t\)），则： \[ v = \frac{2 c t_0 t c^2}{c^2 t^2 + c^2 t_0^2} = \frac{2 c t t_0}{t^2 + t_0^2} \] 检查 \(x’\)： \[ x’ = \gamma (c t_0 - v t) = \gamma \left(c t_0 - \frac{2 c t t_0}{t^2 + t_0^2} \cdot t\right) = \gamma \left(\frac{c t_0 (t^2 + t_0^2) - 2 c t^2 t_0}{t^2 + t_0^2}\right) = \gamma \left(\frac{c t_0 (t_0^2 - t^2)}{t^2 + t_0^2}\right) \] \[ \gamma = \frac{t^2 + t_0^2}{\sqrt{(t^2 + t_0^2)^2 - 4 t^2 t_0^2}} = \frac{t^2 + t_0^2}{t_0^2 - t^2} \] 因此： \[ x’ = \frac{t^2 + t_0^2}{t_0^2 - t^2} \cdot \frac{c t_0 (t_0^2 - t^2)}{t^2 + t_0^2} = c t_0 = x \] 验证成立。
排除 \(x^2 \leq c^2 t^2\) 的情况
- 若 \(x^2 = c^2 t^2\)（类光间隔），则 \(v = \frac{2 c t \cdot t c^2}{c^2 t^2 + c^2 t^2} = c\)，但 \(v = c\) 时 \(\gamma \to \infty\)，无意义。
- 若 \(x^2 < c^2 t^2\)（类时间隔），\(x’ = -x \neq x\)。
最终答案
满足 \(x’ = \gamma (x - v t) = x\) 的速度 \(v\) 的解为：
- 平凡解： \[ v = 0 \] （对所有 \(x, t\) 成立）。
- 非平凡解： \[ v = \frac{2 x t c^2}{c^2 t^2 + x^2} \] （仅当 \(x^2 > c^2 t^2\) 时成立，即事件与原点类空间隔）。