假设光源沿着x轴以速度v匀速运动，
先考虑x轴方向：
光源离原点走一段t’时间后，发射一个光子，在时间t时观察点收到光子，观察点离原点距离x，则：
\(c(t-t’)=x-vt’\)
即：
\(t=t’+\frac{x-vt’}{c}\)
求微分：
\(\frac{dt}{dt’}=1-\frac{v}{c}=\frac{c-v}{c}\)
表明光源在\(t_1\)时发射一个光子，然后再在\(t_2\)时发射另一个光子，如果光源不运动，那么在远处观察点收到两个光子的时间间隔应该是\(t_2-t_1\)，但如果光源以速度v运动，那么观察点收到的光子的时间差变成了\( \frac{c-v}{c}(t_2-t_1)\)。如果光源以光速运动，那么显然观察点收到的两个光子的时间差为0。在观察点处，光子密度变成了原来的\(\frac{c}{c-v}\)。
再考虑垂直方向：
光子沿着y轴发射，发射间隔和观察点收到的时间间隔是相同的。
考虑任意方向：
由 \(c(t-t’)=R=\vec{r}-\vec{v}t’\), \(R=\sqrt{(x-vt’)^2+y^2+z^2}\)
得：
\( \frac{dt}{dt’}=1-\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}}{c}=1-\frac{v}{c}\frac{x-vt’}{R}\)
由\(c(t-t’)=R\)求得t’：
\(t’ = \frac{c^2 t - x v - c\sqrt{(x - v t)^2 + (1 - v^2/c^2)(y^2 + z^2)}}{c^2 - v^2}\)
代入上式，则得：
\( \frac{dt}{dt’} =\frac{R’}{R} \)
\( R’=\sqrt{(x-vt)^2 + (y^2 + z^2)/\gamma^2 } \)
\( R=\sqrt{(x-vt’)^2 + y^2 + z^2} \)
\( =\gamma^2 \frac{v}{c}( x - v t ) + \sqrt{\gamma^2(x - v t)^2 + {y^2 + z^2}}\)
即：\(R’=R\frac{dt}{dt’}=R(1-\frac{\vec{n} \cdot \vec{v}}{c}) \)
则：
\(\frac{dt’}{dt}=\frac{R}{R’} = \gamma^2 \left( 1 + \frac{v (x - v t)}{c R’} \right)\)
同理，此时在观察点，由于接收到光子的间隔时间变化了，光子的密度变成了原来的\(\frac{dt}{dt’}\)的倒数倍
由\(R’=R(1-\frac{v(x-vt’)}{cR}\)，\(t=t’+\frac{R}{c}\)可得：
\( \gamma R’ =\frac{R}{\gamma}-\frac{v}{c}\gamma(x-vt)\)
可得：
\(y^2+z^2=(\gamma R’)^2-\gamma^2(x-vt)^2 \)
\(=R^2-(x-vt’)^2\)
\(=(c(t-t’))^2-(x-vt’)^2\)
令\(t’=0, x’=\gamma(x-vt)\)，则变为：
\( (\gamma R’)^2-x’^2 =(ct)^2-x^2 \)
\(\gamma R’=\sqrt{x’^2+y^2+z^2}\)
如果令\(ct’=\gamma R’=\sqrt{x’^2+y^2+z^2}\),
可得：\((ct’)^2-x’^2=(ct)^2-x^2\)
另外还有公式：
\(\frac{dt’}{dt} = \frac{c^2(t - t’)}{c^2(t - t’) - v (x - v t’)}\)
\(\frac{dt}{dt’}=1-\frac{v(x-vt’)}{cR}\)
\( = 1- \frac{v}{c} \frac{x - v t’}{c(t-t’)}\)
\(\frac{dt’}{dt} = \frac{c^2 - v \frac{dx}{dt}}{c^2 - v^2} - \frac{c \left[(x - v t)(\frac{dx}{dt} - v) + (1 - v^2/c^2)\left(y \frac{dy}{dt} + z \frac{dz}{dt}\right)\right]}{(c^2 - v^2) \sqrt{(x - v t)^2 + (1 - v^2/c^2)(y^2 + z^2)}}\)
x,y,z为常数时才有：
\(\frac{dt’}{dt} = \frac{c^2}{c^2 - v^2} + \frac{c v (x - v t)}{(c^2 - v^2) \sqrt{(x - v t)^2 + (1 - v^2/c^2)(y^2 + z^2)}}\)
\( = \gamma^2 \left( 1 + \frac{v (x - v t)}{c R’} \right)\)
\(y=z=0,x>vt\)时，
\(\frac{dt’}{dt}=\frac{c-dx/dt}{c-v}\)
\(y=z=0,x<vt\)时，
\(\frac{dt’}{dt}=\frac{c+dx/dt}{c+v}\)
在x不是t’的函数，相对于t’为常数时，x有可能是t的函数，在前面的令\(x=vt,z=0\)，有下列公式：
\(\frac{dt}{dt’}=1-\frac{v(x-vt’)}{cR} =\frac{1}{\gamma^2}\)
\(t’=t-\frac{y}{\sqrt{c^2-v^2}}\)
\(x-vt’=\frac{vy}{\sqrt{c^2-v^2}}=\gamma y \frac{v}{c}\)，
可见 \(x-vt’\)与\(y\)、\(\gamma y=c(t-t’)\)呈直角三角形，说明电场分解成了x,y方向两个场。
推迟势：
\(\phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{\sqrt{(x - v t)^2 + (1 - \beta^2)(y^2 + z^2)}}\)
由前面的计算，可得：
\(\phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{R’}\)
\(=\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{\gamma}{ct’}\)
\(\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mathbf{v}}{c^2} \phi(\mathbf{r}, t)\)
\(\nabla \phi = -\frac{q \gamma}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{ \left( \gamma^2 (x - v t), y, z \right) }{ \left[ \gamma^2 (x - v t)^2 + y^2 + z^2 \right]^{3/2} }\)
\(\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = \frac{q \gamma v^2}{4\pi \epsilon_0 c^2} \cdot \frac{ (\gamma^2(x - v t), 0, 0) }{ \left[ \gamma^2 (x - v t)^2 + y^2 + z^2 \right]^{3/2} }\)
\(\mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\)
\(=\frac{q \gamma}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{(x - v t, y, z)}{\left[ \gamma^2 (x - v t)^2 + y^2 + z^2 \right]^{3/2}}\)
\(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} =\frac{q \gamma^2 v}{4\pi\epsilon_0 c^2}\frac{(0, -z, y)}{ \left[ \gamma^2 (x - vt)^2 + y^2 + z^2 \right]^{3/2}} \)
静电场： \(\mathbf{E_0} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{(\gamma (x - v t), y, z)}{[\gamma^2 (x - v t)^2 + y^2 + z^2]^{3/2}}\)
符合关系：
\(E^2 = (cB)^2 + E_0^2\)
\(|\mathbf{E}|^2 = E_{\parallel}^2 + \gamma^2 E_{\perp}^2 \)
\(= (E_0 \cos\theta)^2 + \gamma^2 (E_0 \sin\theta)^2 \)
\(= E_0^2 \left( \cos^2\theta + \gamma^2 \sin^2\theta \right) \)
\(= \gamma^2 |\mathbf{E}_0|^2 \cdot (1 - \beta^2 \cos^2\theta)\)
其中 \(\theta\) 是速度 \(v\) 与位矢 \(r\) 之间的夹角
附图：
