李纳维谢尔势方程是怎么推导出来的 “李纳维谢尔势方程”这个名称可能存在翻译或拼写上的误差。在物理学中，特别是经典电动力学中，有一个非常著名的方程组或表达式叫做李纳-维谢尔势（Liénard–Wiechert potentials），它描述了运动电荷产生的电磁势（标量势和矢量势）。这个势是麦克斯韦方程组在点电荷运动情况下的解，是经典电动力学中的重要结果。

下面我们来介绍李纳-维谢尔势（Liénard–Wiechert potentials）的推导过程。

一、背景：推迟势（Retarded Potentials）

在经典电动力学中，电磁场由电荷和电流分布产生。麦克斯韦方程组可以转化为关于电磁势的波动方程：

\[ \Box \phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \Box \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{J} \]

其中：

  • \(\phi\) 是标量势，
  • \(\mathbf{A}\) 是矢量势，
  • \(\rho\) 是电荷密度，
  • \(\mathbf{J}\) 是电流密度，
  • \(\Box = \nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\) 是达朗贝尔算符。

这类非齐次波动方程的解可以通过推迟势（retarded potentials）给出：

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho\left(\mathbf{r}’, t_{\text{ret}}\right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3r’ \]

\[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}’, t_{\text{ret}}\right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3r’ \]

其中推迟时间定义为：

\[ t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c} \]

这表示场点 \((\mathbf{r}, t)\) 处的势是由源点 \(\mathbf{r}’\) 在更早的时间 \(t_{\text{ret}}\) 发出的信号决定的，因为电磁扰动以光速 \(c\) 传播。

二、点电荷的情况

考虑一个点电荷 \(q\)，其运动轨迹为 \(\mathbf{r}_s(t)\)。它的电荷密度和电流密度为：

\[ \rho(\mathbf{r}’, t) = q \delta^3\left(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t)\right) \]

\[ \mathbf{J}(\mathbf{r}’, t) = q \mathbf{v}(t) \delta^3\left(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t)\right) \]

其中 \(\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}_s}{dt}\) 是电荷的速度。

将这些代入推迟势公式：

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{q \delta^3\left(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t_{\text{ret}}’)\right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3r’ \]

但注意：这里的 \(\rho(\mathbf{r}’, t_{\text{ret}})\) 中的时间 \(t_{\text{ret}}\) 依赖于 \(\mathbf{r}’\)，所以不能直接代入。

更准确地说，我们要找的是：在观察点 \((\mathbf{r}, t)\)，影响它的电荷是在何时何地发出信号的。

三、关键：推迟时间的确定

我们要求出电荷在何时发出的信号，能在时间 \(t\) 到达场点 \(\mathbf{r}\)。

设电荷在时间 \(t’\) 位于 \(\mathbf{r}_s(t’)\)，则信号以光速 \(c\) 传播，到达 \(\mathbf{r}\) 的时间为：

\[ t = t’ + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t’)|}{c} \]

这个方程定义了推迟时间 \(t_{\text{ret}}\)：它是满足上述方程的 \(t’\)。

令：

\[ t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t_{\text{ret}})|}{c} \]

这是一个隐式方程，一般需要数值求解，但在推导中我们保留其符号形式。

四、对点电荷的推迟势积分

将点电荷的 \(\rho\) 和 \(\mathbf{J}\) 代入推迟势公式：

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}’, t_{\text{ret}})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3r’ = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{q \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t_{\text{ret}}))}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3r’ \]

注意：这里的 \(t_{\text{ret}} = t - |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|/c\)，是 \(\mathbf{r}’\) 的函数，因此不能直接积分。

我们需要使用带有时变源的δ函数积分技巧，或者使用变量变换。

更严谨的方法是使用场论中点电荷的推迟势公式，最终结果为：

五、李纳-维谢尔势的最终形式

设：

  • \(\mathbf{R}(t’) = \mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t’)\)
  • \(R = |\mathbf{R}|\)
  • \(\mathbf{n} = \mathbf{R}/R\)：从电荷指向场点的单位矢量
  • \(\mathbf{v}(t’) = \frac{d\mathbf{r}_s}{dt’}\)：电荷在推迟时刻的速度
  • \(\boldsymbol{\beta}(t’) = \mathbf{v}(t’)/c\)

则李纳-维谢尔势为：

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \left. \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) R} \right|_{t’ = t_{\text{ret}}} \]

\[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \left. \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q \mathbf{v}}{(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) R} \right|_{t’ = t_{\text{ret}}} \]

或者写成：

\[ \mathbf{A} = \frac{\mu_0 c}{4\pi} \frac{q \boldsymbol{\beta}}{(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) R} \bigg|_{t_{\text{ret}}} \]

六、推导的关键点

  1. 推迟时间的定义：由于光速有限，场点的势依赖于电荷在过去某一时刻（推迟时刻）的状态。

  2. 雅可比行列式修正：当对含δ函数的积分进行变量变换时，由于 \(t_{\text{ret}}\) 依赖于空间位置，会导致一个修正因子 \(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}\)，这来自于推迟时间对空间坐标的导数。

  3. 相对论协变性：李纳-维谢尔势可以从相对论性电动力学中通过推迟格林函数推导，具有洛伦兹协变性。

七、物理意义

  • 因子 \(1/(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})\) 表示多普勒效应和辐射方向性的修正。
  • 当电荷匀速运动时，势是静态的（在共动系中）；当加速时，会产生辐射场。
  • 从李纳-维谢尔势可以进一步求出场强 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{B}\)，并分离出辐射场（与加速度有关，随 \(1/R\) 衰减）和库仑场（随 \(1/R^2\) 衰减）。

总结

李纳-维谢尔势的推导步骤：

  1. 从麦克斯韦方程出发，写出电磁势的波动方程。
  2. 使用推迟势公式求解。
  3. 代入点电荷的密度 \(\rho = q\delta(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t))\)。
  4. 考虑推迟时间 \(t_{\text{ret}}\) 的依赖关系，进行积分时引入雅可比修正。
  5. 得到最终形式，包含因子 \(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}\)。

参考文献

  • J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Chapter 14
  • Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Chapter 10

如果你看到“李纳维谢尔势方程”指的是这个，那它就是 Liénard–Wiechert potentials，是经典电动力学中描述运动点电荷电磁场的基本工具。

如有需要，我也可以给出从推迟势积分推导出 \(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}\) 因子的详细数学步骤。

给出推导1-beta n因子的详细步骤 当然可以！下面我们详细推导李纳-维谢尔势中出现的关键因子 \( \frac{1}{1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}} \) 的来源。这个因子来自于对点电荷推迟势积分中δ函数的处理，尤其是由于推迟时间 \( t_{\text{ret}} \) 依赖于空间位置，导致积分时需要进行变量变换并引入雅可比行列式。

🔷 目标

我们要推导点电荷的标量势：

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}’, t_{\text{ret}})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3r’ \]

其中 \( t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c} \)，而电荷密度为：

\[ \rho(\mathbf{r}’, t) = q, \delta^3\left( \mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t) \right) \]

我们将展示如何从这个表达式出发，得到李纳-维谢尔势：

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \left. \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) R} \right|_{t’ = t_{\text{ret}}} \]

🔷 第一步：代入点电荷密度

将 \(\rho(\mathbf{r}’, t_{\text{ret}})\) 代入势的表达式：

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \cdot q, \delta^3\left( \mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t_{\text{ret}}) \right) d^3r’ \]

注意：这里的 \( t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c} \) 是 \(\mathbf{r}’\) 的函数！因此，δ函数的参数依赖于 \(\mathbf{r}’\)，不能直接积分。

我们记：

  • \(\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}’\)
  • \( R = |\mathbf{r} - \mathbf{r}’| \)
  • 所以 \( t_{\text{ret}} = t - R/c \)

于是被积函数中的δ函数是：

\[ \delta^3\left( \mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t - R/c) \right) \]

这非常复杂，因为 \(\mathbf{r}_s\) 的参数依赖于 \(\mathbf{r}’\)。

🔷 第二步：变量变换 —— 以推迟时间 \( t’ \) 为变量

我们换一种思路：不把 \(\mathbf{r}’\) 当作积分变量，而是考虑电荷在何时（\(t’\)）的位置对场点 \((\mathbf{r}, t)\) 有贡献。

我们定义：

  • 电荷轨迹：\(\mathbf{r}_s(t’)\)
  • 延迟条件：信号从 \(\mathbf{r}_s(t’)\) 发出，在时间 \(t\) 到达 \(\mathbf{r}\)，即：

\[ t = t’ + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t’)|}{c} \]

这个方程决定了唯一的（或多个）推迟时间 \(t’ = t_{\text{ret}}\)。

我们希望将空间积分 \(\int d^3r’\) 转化为对电荷轨迹的“贡献点”的积分。

为此，我们引入一个技巧：使用δ函数的性质来“选出”满足延迟条件的源点。

🔷 第三步：使用δ函数重写电荷密度的贡献

我们可以将电荷密度在时空中的分布写为：

\[ \rho(\mathbf{r}’, t’) = q \int dt’ , \delta^3\left( \mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t’) \right) \delta(t’ - t) \]

但这不是我们想要的。我们关心的是在推迟时间的值。

更有效的方法是：将整个推迟势表达式写成对源点时空坐标的积分，并使用推迟格林函数。

但我们现在走一条更直接的路径：将空间积分中的δ函数与推迟时间耦合，通过变量变换提取出修正因子。

🔷 第四步：关键变量变换与雅可比行列式

我们回到：

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \delta^3\left( \mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t_{\text{ret}}) \right) d^3r’ \]

令：

\[ \mathbf{w}(\mathbf{r}’) = \mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s\left( t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c} \right) \]

则积分变为：

\[ \phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \delta^3\left( \mathbf{w}(\mathbf{r}’) \right) d^3r’ \]

我们想对这个δ函数积分。回忆δ函数的多变量公式：

\[ \int f(\mathbf{r}’) \delta^3(\mathbf{w}(\mathbf{r}’)) d^3r’ = \sum_i \frac{f(\mathbf{r}’_i)}{|\det(\partial w_i / \partial r’_j)|} \quad \text{在 } \mathbf{w}(\mathbf{r}’_i)=0 \text{ 处} \]

即，我们需要计算 \(\mathbf{w} = 0\) 的解，并求雅可比行列式。

🔷 第五步：求解 \(\mathbf{w} = 0\) 的点

\(\mathbf{w} = 0\) 意味着：

\[ \mathbf{r}’ = \mathbf{r}_s\left( t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c} \right) \]

这正是说：源点 \(\mathbf{r}’\) 必须是电荷在某个推迟时间 \(t’\) 的位置，且满足光传播时间条件。

设这个解为 \(\mathbf{r}’ = \mathbf{r}_s(t’)\)，其中 \(t’\) 满足：

\[ t’ = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t’)|}{c} \]

令 \(\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t’)\)，\(R = |\mathbf{R}|\)，\(\mathbf{n} = \mathbf{R}/R\)

我们将在这一点计算雅可比行列式。

🔷 第六步：计算雅可比行列式

我们要求：

\[ \left| \det\left( \frac{\partial w_i}{\partial r’_j} \right) \right|^{-1} \]

但更简单的方法是使用文献中标准的技巧：将积分变量从 \(\mathbf{r}’\) 变换为推迟时间 \(t’\)。

方法：参数化源点为 \( \mathbf{r}_s(t’) \)，并考虑体积元的“有效贡献”

考虑在推迟时间 \(t’\)，电荷位于 \(\mathbf{r}_s(t’)\)，我们问：在空间积分中，这个点对 \(\phi\) 的贡献是多少？

由于电荷是点状的，只有当 \(\mathbf{r}’ = \mathbf{r}_s(t’)\) 且 \(t’\) 满足推迟条件时才有贡献。

我们可以把积分理解为：对所有可能的 \(t’\)，判断是否有 \(\mathbf{r}’\) 满足：

\[ \mathbf{r}’ = \mathbf{r}_s(t’), \quad \text{且} \quad t_{\text{ret}} = t’ \]

即：

\[ t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c} = t’ \quad \Rightarrow \quad |\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t’)| = c(t - t’) \]

这定义了一个关于 \(t’\) 的方程。

但我们更关心的是：在空间积分中，δ函数 \(\delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t_{\text{ret}}))\) 如何积分。

使用恒等式：

有一个标准技巧（见 Jackson 或 Griffiths）：

\[ \int \frac{f(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \delta^3\left( \mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t - |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|/c) \right) d^3r’ = \frac{f(\mathbf{r}_s(t’))}{(1 - \boldsymbol{\beta}(t’) \cdot \mathbf{n}(t’)) R(t’)} \]

其中 \(t’\) 是满足推迟条件的时刻。

我们来推导这个结果。

🔷 第七步：使用变量替换法（核心推导）

定义：

\[ \mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t’), \quad R = |\mathbf{R}|, \quad \mathbf{n} = \mathbf{R}/R \]

推迟时间 \(t’\) 满足：

\[ t’ = t - R/c \]

现在考虑在 \(\mathbf{r}’\) 空间中，电荷在 \(t’\) 时刻的位置 \(\mathbf{r}_s(t’)\) 附近的一个小体积元。

我们想计算：

\[ \int \frac{1}{R} \delta^3\left( \mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t - R/c) \right) d^3r’ \]

令 \(\mathbf{r}’ = \mathbf{r}_s(t’)\)，我们考虑当 \(\mathbf{r}’\) 变化时，\(t’\) 如何变化。

设 \(\mathbf{r}’\) 在 \(\mathbf{r}_s(t’)\) 附近变化 \(d\mathbf{r}’\)，则：

  • \(dR = d|\mathbf{r} - \mathbf{r}’| = -\mathbf{n} \cdot d\mathbf{r}’\)
  • 推迟时间变化：\(dt_{\text{ret}} = -\frac{1}{c} dR = \frac{1}{c} \mathbf{n} \cdot d\mathbf{r}’\)
  • 但电荷位置也随时间变化：\(d\mathbf{r}_s = \mathbf{v}(t’) dt’\)

现在考虑函数：

\[ \mathbf{F}(\mathbf{r}’) = \mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s\left( t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c} \right) \]

我们要求 \(\delta^3(\mathbf{F}(\mathbf{r}’))\) 的积分。

在 \(\mathbf{F} = 0\) 处（即 \(\mathbf{r}’ = \mathbf{r}_s(t’)\) 且 \(t’ = t - R/c\)），雅可比行列式为：

\[ J = \left| \det\left( \frac{\partial F_i}{\partial r’_j} \right) \right| \]

计算一阶变化：

\[ d\mathbf{F} = d\mathbf{r}’ - \frac{d\mathbf{r}_s}{dt’} \cdot dt_{\text{ret}} = d\mathbf{r}’ - \mathbf{v}(t’) \left( \frac{1}{c} \mathbf{n} \cdot d\mathbf{r}’ \right) \]

所以：

\[ dF_i = dr’_i - v_i \left( \frac{1}{c} n_j dr’_j \right) = \left[ \delta_{ij} - \frac{v_i n_j}{c} \right] dr’_j \]

因此，雅可比矩阵为：

\[ \frac{\partial F_i}{\partial r’_j} = \delta_{ij} - \beta_i n_j \quad \text{其中 } \boldsymbol{\beta} = \mathbf{v}/c \]

于是：

\[ \det\left( \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{r}’} \right) = \det\left( \mathbb{I} - \boldsymbol{\beta} \otimes \mathbf{n} \right) \]

这是一个秩-1更新的行列式。已知：

\[ \det(\mathbb{I} - \mathbf{a} \otimes \mathbf{b}) = 1 - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \]

所以：

\[ \det\left( \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{r}’} \right) = 1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n} \]

🔷 第八步：应用δ函数变换公式

对于δ函数的变量变换：

\[ \delta^3(\mathbf{F}(\mathbf{r}’)) = \frac{ \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t’)) }{ \left| \det\left( \frac{\partial F_i}{\partial r’_j} \right) \right| } \]

但注意：这里 \(\mathbf{F} = 0\) 的解对应唯一的 \(\mathbf{r}’ = \mathbf{r}_s(t’)\)（假设推迟时间唯一），所以：

\[ \delta^3\left( \mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t_{\text{ret}}) \right) = \frac{ \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t’)) }{ |1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}| } \quad \text{在 } t’ = t_{\text{ret}} \text{ 处} \]

⚠️ 注意：这个等式是在积分意义下成立的，表示在积分中，原δ函数等价于标准δ函数除以雅可比行列式。

🔷 第九步：代回原积分

现在回到原式：

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \delta^3\left( \mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t_{\text{ret}}) \right) d^3r’ \]

代入上述结果：

\[ = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{1}{R} \cdot \frac{ \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t’)) }{ 1 - \boldsymbol{\beta}(t’) \cdot \mathbf{n}(t’) } d^3r’ \]

现在可以积分了！因为 \(\delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_s(t’))\) 直接选出 \(\mathbf{r}’ = \mathbf{r}_s(t’)\)，而 \(t’\) 是满足推迟条件的那个时刻。

所以：

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) R} \bigg|_{t’ = t_{\text{ret}}} \]

✅ 最终结果：李纳-维谢尔标量势

\[ \boxed{ \phi(\mathbf{r}, t) = \left. \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{(1 - \boldsymbol{\beta}(t’) \cdot \mathbf{n}(t’)) R(t’)} \right|_{t’ = t_{\text{ret}}} } \]

同理，矢量势为：

\[ \boxed{ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \left. \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q \mathbf{v}(t’)}{(1 - \boldsymbol{\beta}(t’) \cdot \mathbf{n}(t’)) R(t’)} \right|_{t’ = t_{\text{ret}}} } \]

🔚 总结：\(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}\) 的物理意义

这个因子来源于：

  • 推迟时间 \(t_{\text{ret}}\) 是空间位置的函数；
  • 当对δ函数积分时，必须考虑变量变换的雅可比行列式；
  • 该行列式正是 \(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}\)，它表示电荷运动方向与观测方向之间的相对论性“压缩”效应。

物理含义：

  • 当电荷朝你运动时（\(\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n} > 0\)），\(1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n} < 1\)，势增强 → 类似多普勒蓝移。
  • 当远离时，势减弱。
  • 这是辐射场各向异性的根源。