达朗贝尔方程（D’Alembert’s Equation）是数学物理中的一个重要偏微分方程，广泛应用于波动现象的描述，例如电磁波、声波和弹性波的传播。它以法国数学家让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d’Alembert）命名，他在18世纪研究了一维波动方程的解法。
一、达朗贝尔方程的一般形式
在三维空间中，达朗贝尔方程（也称非齐次波动方程）的标准形式为：
\[ \Box u(\mathbf{r}, t) = f(\mathbf{r}, t) \]
其中：
- \( u(\mathbf{r}, t) \) 是待求的物理量（如电势、位移等），是空间 \(\mathbf{r}\) 和时间 \(t\) 的函数；
- \( f(\mathbf{r}, t) \) 是源项（如电荷密度、外力等）；
- \( \Box \) 是达朗贝尔算子（D’Alembertian），定义为：
\[ \Box = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \]
其中：
- \( c \) 是波的传播速度（如光速、声速）；
- \( \nabla^2 \) 是拉普拉斯算子（空间上的二阶导数）。
因此，达朗贝尔方程可写为：
\[ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \nabla^2 u = f(\mathbf{r}, t) \]
二、特殊情况：齐次达朗贝尔方程
当 \( f(\mathbf{r}, t) = 0 \) 时，方程变为齐次波动方程：
\[ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \nabla^2 u = 0 \]
这个方程描述无源区域中的自由波动传播。
三、一维情况下的达朗贝尔解
在一维情况下（如弦的振动），波动方程为：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
达朗贝尔给出了该方程的通解：
\[ u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct) \]
其中：
- \( f(x - ct) \) 表示以速度 \(c\) 向右传播的波；
- \( g(x + ct) \) 表示以速度 \(c\) 向左传播的波。
这个解表明：任意形状的波可以无畸变地向左右两个方向传播。
四、物理应用
- 电磁学：麦克斯韦方程组在洛伦兹规范下可导出电磁势满足达朗贝尔方程。
- 声学：声压或位移满足波动方程。
- 广义相对论：在平直时空中，引力波也满足达朗贝尔方程。
- 量子场论：标量场（如Klein-Gordon场）的自由场方程是达朗贝尔方程的推广。
五、格林函数与非齐次解
对于非齐次达朗贝尔方程：
\[ \Box u(\mathbf{r}, t) = f(\mathbf{r}, t) \]
其解可通过推迟格林函数（retarded Green’s function）表示为：
\[ u(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi} \int \frac{f\left(\mathbf{r}’, t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c}\right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3 r’ \]
这表示：某点的响应由过去时刻（考虑传播延迟）的源决定，体现了因果性。
总结
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 名称 | 达朗贝尔方程（D’Alembert’s Equation） |
| 数学形式 | \( \Box u = f \) 或 \( \frac{1}{c^2} u_{tt} - \nabla^2 u = f \) |
| 通解（一维齐次） | \( u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct) \) |
| 物理意义 | 描述波的传播，体现因果性和波动性 |
| 应用领域 | 物理学、工程学、电磁学、相对论等 |