1. 对时间 \( t \) 求导
给定函数： \[ f = \frac{1}{\left[ (x - v t)^2 + a \right]^{1/2}} \]
步骤 1：设中间变量
令： \[ u = (x - v t)^2 + a \] 则函数 \( f \) 可表示为： \[ f = u^{-1/2} \]
步骤 2：计算 \( \frac{df}{du} \)
\[ \frac{df}{du} = -\frac{1}{2} u^{-3/2} \]
步骤 3：计算 \( \frac{du}{dt} \)
\[ u = (x - v t)^2 + a \] 对 \( t \) 求导（注意 \( x \) 视为常数）： \[ \frac{du}{dt} = 2(x - v t) \cdot (-v) = -2v (x - v t) \]
步骤 4：链式法则求 \( \frac{df}{dt} \)
\[ \frac{df}{dt} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dt} = -\frac{1}{2} u^{-3/2} \cdot (-2v)(x - v t) \] 化简： \[ \frac{df}{dt} = \frac{v (x - v t)}{u^{3/2}} \]
步骤 5：回代 \( u \)
\[ u^{3/2} = \left[ (x - v t)^2 + a \right]^{3/2} \] 所以最终导数为： \[ \frac{df}{dt} = \frac{v (x - v t)}{\left[ (x - v t)^2 + a \right]^{3/2}} \]
2. 对空间坐标 \( x \) 求导
步骤 1：仍设 \( u = (x - v t)^2 + a \)
\[ f = u^{-1/2} \]
步骤 2：计算 \( \frac{df}{du} \)
\[ \frac{df}{du} = -\frac{1}{2} u^{-3/2} \]
步骤 3：计算 \( \frac{du}{dx} \)
\[ u = (x - v t)^2 + a \] 对 \( x \) 求导（注意 \( t \) 视为常数）： \[ \frac{du}{dx} = 2(x - v t) \cdot 1 = 2(x - v t) \]
步骤 4：链式法则求 \( \frac{df}{dx} \)
\[ \frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{2} u^{-3/2} \cdot 2(x - v t) \] 化简： \[ \frac{df}{dx} = -\frac{(x - v t)}{u^{3/2}} \]
步骤 5：回代 \( u \)
\[ u^{3/2} = \left[ (x - v t)^2 + a \right]^{3/2} \] 所以最终导数为： \[ \frac{df}{dx} = -\frac{(x - v t)}{\left[ (x - v t)^2 + a \right]^{3/2}} \]
3. 验证导数关系
注意到： \[ \frac{df}{dt} = v \cdot \left( -\frac{df}{dx} \right) \] 即： \[ \frac{\partial f}{\partial t} + v \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \] 这符合 对流导数（convective derivative） 的关系，说明计算是正确的。
最终答案
-
对 \( t \) 的导数： \[ \boxed{ \frac{\partial f}{\partial t} = \frac{v (x - v t)}{\left[ (x - v t)^2 + a \right]^{3/2}} } \]
-
对 \( x \) 的导数： \[ \boxed{ \frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{(x - v t)}{\left[ (x - v t)^2 + a \right]^{3/2}} } \]
总结
- 对 \( t \) 求导时，\( x \) 视为常数，出现因子 \( -v \)（来自 \( \frac{d}{dt}(x - v t) \)）。
- 对 \( x \) 求导时，\( t \) 视为常数，直接得到 \( \frac{d}{dx}(x - v t) = 1 \)。
- 两个导数满足波动方程关系 \( \frac{\partial f}{\partial t} + v \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \)，验证了结果的正确性。