维里定理（Virial Theorem）的详细解析

维里定理是经典力学和量子力学中的一个重要定理，描述了系统**动能（\(T\)）与势能（\(V\)）**的平均值之间的关系。它在天体物理、分子动力学和量子系统中均有广泛应用。

1. 经典力学中的维里定理

对于稳定束缚系统（如行星轨道、分子振动），若势能 \(V\) 是坐标的 \(n\) 次齐次函数（即 \(V(\alpha \mathbf{r}) = \alpha^n V(\mathbf{r})\)），则： \[ 2 \langle T \rangle = n \langle V \rangle \] 其中：

  • \(\langle T \rangle\) 是系统平均动能，
  • \(\langle V \rangle\) 是系统平均势能，
  • \(n\) 是势能的齐次次数。

常见势能形式的结论：

势能类型 齐次次数 \(n\) 维里定理关系
库仑势 \(V \propto r^{-1}\) \(n = -1\) \(2 \langle T \rangle = -\langle V \rangle\)
谐振子势 \(V \propto r^2\) \(n = 2\) \(2 \langle T \rangle = 2 \langle V \rangle\)（即 \(\langle T \rangle = \langle V \rangle\)）
引力势 \(V \propto r^{-1}\) \(n = -1\) \(2 \langle T \rangle = -\langle V \rangle\)

2. 量子力学中的维里定理

在量子力学中，维里定理通过算符期望值表述。对于哈密顿量 \(\hat{H} = \hat{T} + \hat{V}\)，若势能 \(\hat{V}\) 是坐标的 \(n\) 次齐次函数，则： \[ 2 \langle \hat{T} \rangle = n \langle \hat{V} \rangle \] 证明概要：

  1. 利用算符的标度变换和 Hellmann-Feynman 定理。
  2. 对束缚态波函数，坐标算符 \(\mathbf{r}\) 和动量算符 \(\mathbf{p}\) 的期望值满足： \[ \frac{d}{dt} \langle \mathbf{r} \cdot \mathbf{p} \rangle = 0 \quad \text{（稳态系统）} \]
  3. 展开后可得 \(\langle \hat{T} \rangle\) 与 \(\langle \hat{V} \rangle\) 的关系。

3. 典型应用示例

(1) 氢原子（库仑势）
  • 势能 \(V(r) = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}\)（\(n = -1\)），根据维里定理： \[ 2 \langle T \rangle = -\langle V \rangle \implies \langle T \rangle = -\frac{1}{2} \langle V \rangle \]
  • 总能量： \[ E = \langle T \rangle + \langle V \rangle = \frac{1}{2} \langle V \rangle = -\langle T \rangle \] 这与玻尔模型的能量公式一致。
(2) 谐振子（二次势）
  • 势能 \(V(x) = \frac{1}{2} kx^2\)（\(n = 2\)），则： \[ \langle T \rangle = \langle V \rangle \]
  • 总能量： \[ E = \langle T \rangle + \langle V \rangle = 2 \langle T \rangle = 2 \langle V \rangle \]
(3) 天体物理（引力束缚系统）
  • 星系的引力势 \(V \propto r^{-1}\)，故： \[ \langle T \rangle = -\frac{1}{2} \langle V \rangle \] 用于估算星系总质量或暗物质分布。

4. 重要性

  • 能量分配：无需精确求解运动方程，即可确定动能与势能的比例。
  • 稳定性判据：验证系统是否处于平衡态（如分子动力学模拟）。
  • 简化计算：在量子化学中估算分子能级。

5. 常见误区

  • 适用范围：仅适用于稳定束缚系统，对散射态或非齐次势不成立。
  • 相对论系统：需修正（如相对论性粒子的动能形式不同）。

总结

维里定理揭示了动能与势能的普适关系：

  • 经典形式：\(2 \langle T \rangle = n \langle V \rangle\)。
  • 量子形式：通过算符期望值表述，结论相同。
  • 核心应用：氢原子能级、分子振动、星系动力学等。

理解这一定理，可大幅简化复杂系统的能量分析！