波尔模型，
一个是使用里德伯公式：
光学波数 \( \tilde{\nu}=\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n’^2})=T(n)-T(n’) \)
根据能级跃迁\(\tilde{\nu}=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{hc}(E’_n-E_n)\)
推论能量格式为 \(E_n =-\frac{R h c}{n^2} \)
而根据氢原子势能公式 \(E=-\frac{1}{2} \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}\)
可得到：\(r_n =\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{2Rhc} n^2 \)
考虑两个相邻的跃迁，\(n’-n=1\)，有：
\( \tilde{\nu}=\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n’^2}) \approx R(\frac{2n}{n^4}=\frac{2R}{n^3})\)
则频率 \(\nu=\tilde{\nu}c=\frac{2Rc}{n^3}\)
又因为频率\(\nu=\frac{v}{2\pi r}\)
而根据电子的库仑力等于向心力：
\( \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2} =m_e \frac{v^2}{r}\)
得速度：
\( v=\sqrt{\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 m_e r}}\)
将\(v\)代入前面的角频率等式，得到：
\(\nu=\frac{2Rc}{n^3}=\frac{v}{2 \pi r}=\frac{1}{2\pi r}\sqrt{\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 m_e r}}\)
可得：
\(R = \frac{2\pi^2 m_e e^4}{(4 \pi \epsilon_0)^2 h^3 c}\)
\(r_n =\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{2Rhc} n^2 =\frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}n^2\)
角动量：
\( L=m_e v r =m_e \sqrt{\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 m_e r}} r =n \hbar \)
一个是直接假设\(L=n\hbar\)
\(L = m_e v r = n \hbar\)
再利用库伦力等于向心力:
\(\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r}\)
可得：
\(v = \frac{n \hbar}{m_e r}\)
\(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} = m_e \left( \frac{n \hbar}{m_e r} \right)^2 r = m_e \cdot \frac{n^2 \hbar^2}{m_e^2 r^2} \cdot r = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e r}\)
\(r = \frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} n^2 \)
(也就是 \(m v^2 r\)是常数，\(v^2=>\frac{n^2}{r^2}\)，导致了\(r=>\frac{1}{n^2}\))
\(E=\frac{1}{2} V=-\frac{1}{2}\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}\)
\(= -\frac{m_e e^4}{2 (4 \pi \epsilon_0)^2 n^2 \hbar^2}\)
又根据\(E_n =-\frac{R h c}{n^2} \),可得：
\( R = \frac{m_e e^4}{2 (4 \pi \epsilon_0)^2 \hbar^3 c}\)
两个证明过程的核心思路：
向心力等于库仑力
库仑力使用了常规的库仑力公式
量子化，第一个使用了实验的量子化公式，
第二个假设了角动量的量子化：
\(n=\frac{m_e v r}{\hbar}=\frac{L}{\hbar}\)
根据驻波条件，轨道周长 \( 2\pi r \) 至少是半个波长 \( \lambda \)
\( 2\pi r = n \lambda, n为1/2,1,2,… \)
根据德布罗意关系 \( \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_e v} \)，可得：
\(2\pi r = n \frac{h}{m_e v}\)
即：\(\frac{m_e v r}{\hbar} = n \)
所以，起核心作用的，是德布罗意关系中波长与动量的反比例关系
而德布罗意关系式又来自普朗克公式:
\(E=\hbar w\) => \(p c =\hbar k c\) => \(p=\hbar k=\frac{h}{\lambda}\)
可得：
\(E=\hbar \frac{c}{r} \)
\( w=\frac{c}{r} \)
是以线速度c绕半径r的圆旋转