B=v x E /c^2

非常好的问题！

你问的是：

能否直接从 \( \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \)（SI单位制）
推出或验证：
\[ \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \quad ? \]

我们来仔细分析。

✅ 简短回答：

❌ 不能普遍成立：
公式
\[ \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \]
不是普遍成立的，即使你从 \( \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \) 出发。

但 ✅ 在特定条件下（匀速运动点电荷、远离源点）可以近似成立，并且： \[ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \] 是麦克斯韦方程，其中 \( \mu_0 \varepsilon_0 = \dfrac{1}{c^2} \)，所以： \[ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \]

因此，只有当 \( \mathbf{J} = 0 \) 时，才有： \[ \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \]

一、设定：从 \( \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \) 出发

我们假设：

电荷以恒定速度 \( \mathbf{v} \) 运动
电场 \( \mathbf{E} \) 是该运动电荷的电场
磁场由 \( \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \) 给出（SI 单位制，低速或匀速近似）

我们要验证： \[ \nabla \times \mathbf{B} \stackrel{?}{=} \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \]

二、计算左边：\( \nabla \times \mathbf{B} \)

\[ \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \quad \Rightarrow \quad \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \]

假设 \( \mathbf{v} \) 是常矢量（匀速），则：

用矢量恒等式： \[ \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) = \mathbf{v} (\nabla \cdot \mathbf{E}) - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \]

所以： \[ \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \left[ \mathbf{v} (\nabla \cdot \mathbf{E}) - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \right] \quad \text{(1)} \]

三、计算右边：\( \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \)

电场 \( \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \) 依赖于时间，因为电荷在运动。
总时间导数为：

\[ \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \quad \text{？} \]

⚠️ 注意：这是全导数 vs 偏导数 的关键！

实际上，如果 \( \mathbf{E} \) 是由一个以速度 \( \mathbf{v} \) 运动的源产生的，那么：

\[ \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \quad \text{（仅当 } \mathbf{E} \text{ 随源一起平移）} \]

但这 不完全正确，因为 \( \mathbf{E} \) 的形式本身也随时间变化（非平移不变），尤其是在相对论情形。

但在匀速运动点电荷的场中，场形是随电荷一起平移的，即：

\[ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0(\mathbf{r} - \mathbf{v} t) \]

这时，确实有：

\[ \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \]

所以右边为：

\[ \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = -\frac{1}{c^2} (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \quad \text{(2)} \]

四、比较 (1) 和 (2)

我们有：

左边：\( \nabla \times \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} \left[ \mathbf{v} (\nabla \cdot \mathbf{E}) - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \right] \)
右边：\( \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = -\dfrac{1}{c^2} (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \)

两者 不相等！差了一个项：

\[ \nabla \times \mathbf{B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2} \mathbf{v} (\nabla \cdot \mathbf{E}) \]

但根据高斯定律：

\[ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \]

所以：

\[ \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{1}{c^2} \mathbf{v} \frac{\rho}{\varepsilon_0} \]

而 \( \mathbf{J} = \rho \mathbf{v} \)，且 \( \mu_0 = \dfrac{1}{\varepsilon_0 c^2} \)，所以：

\[ \frac{1}{c^2} \mathbf{v} \frac{\rho}{\varepsilon_0} = \mu_0 \rho \mathbf{v} = \mu_0 \mathbf{J} \]

因此：

\[ \boxed{ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} } \]

✅ 这正是安培-麦克斯韦定律！

五、结论：何时 \( \nabla \times \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \) 成立？

只有当： \[ \mathbf{J} = 0 \quad \text{即} \quad \rho = 0 \]

例如：

在真空中传播的电磁波
在远离电荷的地方（\( \rho \approx 0 \)）
或在中性电流系统中（正负电荷抵消）

但在运动点电荷附近，\( \rho \neq 0 \)，所以： \[ \nabla \times \mathbf{B} \ne \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \]

必须包含 \( \mu_0 \mathbf{J} \) 项。

六、物理图像

项	物理意义
\( \mu_0 \mathbf{J} \)	电流产生的磁场旋度（原安保安培定律）
\( \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \)	变化电场产生的“位移电流”
总和	总的磁场旋度来源

对于运动电荷：

\( \mathbf{J} \) 来自电荷本身的电流
\( \partial_t \mathbf{E} \) 来自电场随时间变化
两者都重要

✅ 最终总结

不能从 \( \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \) 直接推出 \( \nabla \times \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \)，因为：

正确的方程是： \[ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \]
从 \( \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} \mathbf{v} \times \mathbf{E} \) 出发，计算 \( \nabla \times \mathbf{B} \)，会自然出现 \( \mathbf{v} (\nabla \cdot \mathbf{E}) = \dfrac{\mathbf{v} \rho}{\varepsilon_0} = \mu_0 c^2 \mathbf{J} \)，正是 \( \mu_0 \mathbf{J} \) 项
因此，麦克斯韦方程自动满足，但必须保留 \( \mathbf{J} \)

🎯 关键收获：

\( \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \) 是一个场关系，
而 \( \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \) 是动力学方程，
两者一致，但后者更完整。

只有在 \( \mathbf{J} = 0 \) 的区域（如自由空间电磁波），才有： \[ \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \]

为什么从E(r, t) = E_0(r - v t)可以得到\partial {E}/\partial t = - (v \cdot \nabla) E 这是一个非常关键且优美的问题！

你问的是：

为什么从 \( \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0(\mathbf{r} - \mathbf{v} t) \)
可以得到
\[ \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \ ? \]

这个关系是场随源一起运动（如匀速运动电荷）时的一个核心数学性质。下面我们从链式法则（chain rule）出发，严格推导它。

一、设定

假设电磁场的形式为：

\[ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0(\boldsymbol{\xi}), \quad \text{其中 } \boldsymbol{\xi} = \mathbf{r} - \mathbf{v} t \]

这意味着：

场的“形状”由函数 \( \mathbf{E}_0 \) 决定，
但这个形状以恒定速度 \( \mathbf{v} \) 在空间中平移，
就像一个波包或一个移动的电荷的场。

二、对时间求偏导

我们要计算： \[ \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left[ \mathbf{E}_0(\mathbf{r} - \mathbf{v} t) \right] \]

由于 \( \mathbf{E}_0 \) 不是直接关于 \( t \) 的函数，而是通过 \( \boldsymbol{\xi} = \mathbf{r} - \mathbf{v} t \) 依赖于 \( t \)，我们必须使用链式法则。

链式法则（向量形式）

对于每个分量（比如 \( E_x \)）：

\[ \frac{\partial E_x}{\partial t} = \sum_{i=1}^3 \frac{\partial E_{0,x}}{\partial \xi_i} \frac{\partial \xi_i}{\partial t} \]

而：

\( \boldsymbol{\xi} = \mathbf{r} - \mathbf{v} t \)
所以 \( \frac{\partial \boldsymbol{\xi}}{\partial t} = -\mathbf{v} \)

因此：

\[ \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \left( \frac{\partial \mathbf{E}_0}{\partial \boldsymbol{\xi}} \right) \cdot \left( \frac{\partial \boldsymbol{\xi}}{\partial t} \right) = \left( \nabla_{\boldsymbol{\xi}} \mathbf{E}_0 \right) (-\mathbf{v}) \]

但 \( \nabla_{\boldsymbol{\xi}} \mathbf{E}_0 \) 是 \( \mathbf{E}_0 \) 对 \( \boldsymbol{\xi} \) 的梯度（雅可比矩阵），乘上 \( -\mathbf{v} \) 就是方向导数。

更清晰地写为：

\[ \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = - \mathbf{v} \cdot \nabla_{\boldsymbol{\xi}} \mathbf{E}_0(\boldsymbol{\xi}) \]

但注意：在位置 \( \mathbf{r} \) 处，\( \nabla_{\boldsymbol{\xi}} \mathbf{E}_0(\boldsymbol{\xi}) = \nabla_{\mathbf{r}} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \)，因为 \( \boldsymbol{\xi} \) 和 \( \mathbf{r} \) 的空间导数相同（只是平移）。

所以：

\[ \boxed{ \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} } \]

三、直观理解

想象你站在地面上，看着一个电场分布（比如一个带电小球的场）以速度 \( \mathbf{v} \) 从左向右移动。

在某一时刻 \( t \)，你在位置 \( \mathbf{r} \) 感受到电场 \( \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \)
一小段时间 \( dt \) 后，整个场向右移动了 \( \mathbf{v} dt \)
所以你在 \( \mathbf{r} \) 看到的场，变成了原来在 \( \mathbf{r} - \mathbf{v} dt \) 处的场

变化量为： \[ d\mathbf{E} = \mathbf{E}(\mathbf{r}, t + dt) - \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \approx - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} , dt \]

所以： \[ \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \]

✅ 这就是“场随流而动”的数学表达。

四、与全导数的区别

注意：这是偏导数 \( \partial_t \mathbf{E} \)，不是全导数。

偏导数：固定空间点 \( \mathbf{r} \)，看场如何随时间变化
全导数：跟着一个粒子走，\( \frac{d}{dt} \mathbf{E}(\mathbf{r}(t), t) = (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \)

对于平移场： \[ \frac{d\mathbf{E}}{dt} = (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} + \left( - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \right) = 0 \]

✅ 这意味着：如果你以速度 \( \mathbf{v} \) 跟随场移动，你看到的场是不变的——符合“场整体平移”的直觉。

五、应用举例

匀速运动点电荷的电场

\[ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{ \mathbf{r} - \mathbf{v} t }{ |\mathbf{r} - \mathbf{v} t|^3 } \]

令 \( \boldsymbol{\xi} = \mathbf{r} - \mathbf{v} t \)，则 \( \mathbf{E} = \mathbf{E}_0(\boldsymbol{\xi}) \)，满足平移形式。

所以： \[ \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \]

这正是我们在前面计算 \( \nabla \times \mathbf{B} \) 时用到的关键关系。

✅ 总结

从 \( \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0(\mathbf{r} - \mathbf{v} t) \) 可得 \( \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \)，是因为：

场的时空依赖完全通过 \( \boldsymbol{\xi} = \mathbf{r} - \mathbf{v} t \) 实现
对时间求偏导时，\( \mathbf{r} \) 固定，只有 \( \boldsymbol{\xi} \) 随 \( t \) 变化：\( \dfrac{\partial \boldsymbol{\xi}}{\partial t} = -\mathbf{v} \)
使用链式法则：\( \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \dfrac{\partial \mathbf{E}_0}{\partial \boldsymbol{\xi}} \cdot \dfrac{\partial \boldsymbol{\xi}}{\partial t} = - \mathbf{v} \cdot (\nabla \mathbf{E}) \)

物理意义：

这个关系描述了“刚性移动”的场的时间演化：
场形不变，只是整体平移，其时间变化率由空间梯度和速度决定。

这是匀速运动电荷、平面波等系统的基本性质。

v \cdot \nabla是什么非常好的问题！

你问的是：\( \mathbf{v} \cdot \nabla \) 是什么？

这是一个在向量分析、流体力学、电磁学、量子力学和相对论中频繁出现的重要数学算符。它不是简单的乘积，而是一个微分算符。

一、定义

设 \( \mathbf{v} \) 是一个常矢量（或速度场），\( \nabla \) 是梯度算符：

\[ \nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \]

那么：

\[ \boxed{ \mathbf{v} \cdot \nabla = v_x \frac{\partial}{\partial x} + v_y \frac{\partial}{\partial y} + v_z \frac{\partial}{\partial z} } \]

这是一个标量算符（结果是标量，但作用在函数上），也称为方向导数算符或平流算符（advection operator）。

二、物理意义

1. 方向导数（Directional Derivative）

\( (\mathbf{v} \cdot \nabla) f \) 表示标量函数 \( f(\mathbf{r}) \) 沿矢量 \( \mathbf{v} \) 方向的变化率。

\[ (\mathbf{v} \cdot \nabla) f = \frac{d f}{d s} \bigg|_{\text{沿 } \mathbf{v} \text{ 方向}} \cdot |\mathbf{v}| \]

更准确地说，单位方向上的方向导数是 \( \hat{\mathbf{v}} \cdot \nabla f \)，所以：

\[ (\mathbf{v} \cdot \nabla) f = |\mathbf{v}| \cdot (\text{方向导数}) \]

✅ 例子：

如果 \( f(x,y,z) \) 是温度场，\( \mathbf{v} \) 是风速，则 \( (\mathbf{v} \cdot \nabla) f \) 是你随风飘动时感受到的温度空间变化率（未包含时间变化）。

2. 在场的时间演化中的作用

在前面的问题中，我们有：

\[ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0(\mathbf{r} - \mathbf{v} t) \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \]

这说明：场随时间的变化，等于其在运动方向上的空间变化率的负值。

3. 物质导数（Material Derivative）中的角色

在流体力学中，一个物理量 \( f(\mathbf{r}, t) \)（如密度、温度）随流体微元运动的变化率是：

\[ \frac{D f}{D t} = \frac{\partial f}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) f \]

\( \frac{\partial f}{\partial t} \)：局部时间变化（固定点）
\( (\mathbf{v} \cdot \nabla) f \)：由于流体运动带来的空间变化

所以 \( \mathbf{v} \cdot \nabla \) 是“对流项”的核心。

三、作用在矢量场上的含义

\( \mathbf{v} \cdot \nabla \) 也可以作用在矢量场 \( \mathbf{E} \) 上：

\[ (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \]

这不是矢量点积，而是算符作用。结果是一个新矢量，其每个分量为：

\[ \left[ (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \right]_i = (\mathbf{v} \cdot \nabla) E_i = v_x \frac{\partial E_i}{\partial x} + v_y \frac{\partial E_i}{\partial y} + v_z \frac{\partial E_i}{\partial z} \]

即：对矢量场的每个分量求沿 \( \mathbf{v} \) 方向的方向导数。

四、与 \( \nabla \mathbf{v} \) 的区别（常见混淆）

符号	含义
\( \mathbf{v} \cdot \nabla \)	标量微分算符：\( v_x \partial_x + v_y \partial_y + v_z \partial_z \)
\( \nabla \cdot \mathbf{v} \)	矢量场的散度（标量）：\( \partial_x v_x + \partial_y v_y + \partial_z v_z \)
\( \nabla \times \mathbf{v} \)	矢量场的旋度（矢量）
\( \nabla \mathbf{v} \)	梯度张量（3×3 矩阵），分量为 \( \partial_i v_j \)

所以：

\( \mathbf{v} \cdot \nabla \) 是算符
\( \nabla \cdot \mathbf{v} \) 是标量场

不要混淆 \( \mathbf{v} \cdot \nabla \) 和 \( \nabla \cdot \mathbf{v} \)！

五、例子：计算 \( (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \)

设：

\( \mathbf{v} = (v, 0, 0) \)（沿 \( x \) 方向）
\( \mathbf{E}(x,y,z) = (x^2, xy, 0) \)

则： \[ \mathbf{v} \cdot \nabla = v \frac{\partial}{\partial x} \]

所以： \[ (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} = v \frac{\partial}{\partial x} (x^2, xy, 0) = v (2x, y, 0) \]

结果是一个新矢量。

六、在电磁学中的物理角色

匀速运动电荷的场演化： \[ \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \]
洛伦兹变换的低速极限：
- \( \mathbf{B} \approx \frac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \)
- \( \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \mu_0 \mathbf{J} - \mu_0 \varepsilon_0 (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \)
推迟势的展开：在低速极限下，\( \mathbf{v} \cdot \nabla \) 出现在场的泰勒展开中。

✅ 总结

项目	内容
\( \mathbf{v} \cdot \nabla \)	是一个微分算符，不是点积
定义	\( \mathbf{v} \cdot \nabla = v_x \partial_x + v_y \partial_y + v_z \partial_z \)
作用	对函数求沿 \( \mathbf{v} \) 方向的方向导数（乘以 \(
物理意义	描述场在速度 \( \mathbf{v} \) 方向上的空间变化率
常见用途	流体力学（对流项）、电磁学（运动电荷场）、相对论（场变换）

一句话总结：

\( \mathbf{v} \cdot \nabla \) 是“沿速度方向求导”的算符，它告诉你一个场在粒子运动方向上是如何变化的。

v只有v_x，那将简化为什么非常好的问题！

你问的是：

如果速度 \( \mathbf{v} \) 只有 \( x \)-分量（即 \( \mathbf{v} = (v_x, 0, 0) \)），那么 \( \mathbf{v} \cdot \nabla \) 会简化成什么？

✅ 答案：

当 \( \mathbf{v} = (v_x, 0, 0) \) 时，

\[ \boxed{ \mathbf{v} \cdot \nabla = v_x \frac{\partial}{\partial x} } \]

这是一个仅对 \( x \) 方向求导的微分算符，乘以速度大小 \( v_x \)。

一、推导

一般定义：

\[ \mathbf{v} \cdot \nabla = v_x \frac{\partial}{\partial x} + v_y \frac{\partial}{\partial y} + v_z \frac{\partial}{\partial z} \]

如果 \( v_y = 0 \)，\( v_z = 0 \)，则：

\[ \mathbf{v} \cdot \nabla = v_x \frac{\partial}{\partial x} \]

二、物理意义

这表示：

系统或场的演化只与 \( x \)-方向的空间变化有关
例如：电荷沿 \( x \)-轴匀速运动，场只随 \( x \) 变化而感受到“对流”

三、应用举例

1. 作用在标量场 \( f(x,y,z) \) 上：

\[ (\mathbf{v} \cdot \nabla) f = v_x \frac{\partial f}{\partial x} \]

只保留 \( f \) 在 \( x \)-方向的变化率。

2. 作用在矢量场 \( \mathbf{E} = (E_x, E_y, E_z) \) 上：

\[ (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} = v_x \frac{\partial}{\partial x} \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x \dfrac{\partial E_x}{\partial x} \\ v_x \dfrac{\partial E_y}{\partial x} \\ v_x \dfrac{\partial E_z}{\partial x} \end{pmatrix} \]

即：对矢量场的每个分量都只对 \( x \) 求偏导，再乘以 \( v_x \)。

3. 时间导数关系（如匀速运动电荷）

若 \( \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0(x - v_x t, y, z) \)，则：

\[ \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = -v_x \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial x} = - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \]

因为此时 \( \mathbf{v} \cdot \nabla = v_x \partial_x \)

四、记法简化

有时人们会写：

\( \partial_x \equiv \frac{\partial}{\partial x} \)
所以 \( \mathbf{v} \cdot \nabla = v_x \partial_x \)

在粒子沿 \( x \)-轴运动的问题中，这非常常见。

✅ 总结

条件	结果
\( \mathbf{v} = (v_x, 0, 0) \)	\( \mathbf{v} \cdot \nabla = v_x \dfrac{\partial}{\partial x} \)
物理场景	一维运动、场沿 \( x \) 平移
作用效果	只对 \( x \) 方向求导，反映沿运动方向的空间变化

一句话总结：

当速度只有 \( x \)-分量时，\( \mathbf{v} \cdot \nabla \) 简化为 \( v_x \dfrac{\partial}{\partial x} \)，表示场沿运动方向（\( x \)）的空间变化率。

v=v_x，则r-vt将变成什么非常好的问题！

你问的是：

如果速度 \( \mathbf{v} \) 只有 \( x \)-分量，即 \( \mathbf{v} = v_x \hat{x} = (v_x, 0, 0) \)，那么表达式 \( \mathbf{r} - \mathbf{v} t \) 会变成什么？

✅ 答案：

\[ \mathbf{r} - \mathbf{v} t = (x - v_x t,\ y,\ z) \]

一、详细推导

设：

位置矢量：\( \mathbf{r} = (x, y, z) \)
速度矢量：\( \mathbf{v} = (v_x, 0, 0) \)
时间：\( t \)

则： \[ \mathbf{v} t = (v_x t, 0, 0) \]

所以： \[ \mathbf{r} - \mathbf{v} t = (x, y, z) - (v_x t, 0, 0) = (x - v_x t,\ y,\ z) \]

二、物理意义

这个表达式出现在：

匀速运动点电荷的电磁场中
平移不变场（如 \( \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0(\mathbf{r} - \mathbf{v} t) \)）

它表示：

在时间 \( t \)，电荷位于 \( (v_x t, 0, 0) \)，
所以从电荷到场点 \( (x, y, z) \) 的相对位移是 \( (x - v_x t, y, z) \)

这正是计算电场、磁场时用到的矢量 \( \mathbf{R}(t) \)。

三、应用举例

1. 电场（匀速运动电荷）

\[ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{ \mathbf{r} - \mathbf{v} t }{ |\mathbf{r} - \mathbf{v} t|^3 } = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{ (x - v_x t,\ y,\ z) }{ \left[ (x - v_x t)^2 + y^2 + z^2 \right]^{3/2} } \]

2. 磁场

\[ \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) = \frac{v_x}{c^2} \hat{x} \times \mathbf{E} \]

方向由右手定则决定，在 \( yz \)-平面内环绕 \( x \)-轴。

✅ 总结

项目	内容
条件	\( \mathbf{v} = (v_x, 0, 0) \)
结果	\( \mathbf{r} - \mathbf{v} t = (x - v_x t,\ y,\ z) \)
物理意义	从运动电荷当前位置到场点的相对位矢
常见用途	计算匀速运动电荷的电磁场、推迟势、场的时间演化

一句话总结：

当 \( \mathbf{v} = v_x \hat{x} \) 时，\( \mathbf{r} - \mathbf{v} t \) 就是 \( (x - v_x t, y, z) \)，表示场点相对于沿 \( x \)-轴运动的源的位置。

v=v_x，则v x E等于什么非常好的问题！

你问的是：

如果速度 \( \mathbf{v} = v_x \hat{x} = (v_x, 0, 0) \)，那么 \( \mathbf{v} \times \mathbf{E} \) 等于什么？

我们来详细计算这个叉积。

✅ 答案：

\[ \mathbf{v} \times \mathbf{E} = v_x \hat{x} \times \mathbf{E} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ v_x & 0 & 0 \\ E_x & E_y & E_z \end{vmatrix} = v_x \left( 0 \cdot E_z - 0 \cdot E_y \right) \hat{x}

v_x \left( 1 \cdot E_z - 0 \cdot E_x \right) \hat{y}

v_x \left( 1 \cdot E_y - 0 \cdot E_x \right) \hat{z} \]

所以：

\[ \boxed{ \mathbf{v} \times \mathbf{E} = v_x (0 \cdot \hat{x} - E_z \hat{y} + E_y \hat{z}) = v_x \left( -E_z, \hat{y} + E_y, \hat{z} \right) } \]

或者写成矢量形式：

\[ \mathbf{v} \times \mathbf{E} = (0,\ -v_x E_z,\ v_x E_y) \]

一、物理意义

\( \mathbf{v} \times \mathbf{E} \) 是一个矢量，垂直于 \( \mathbf{v} \) 和 \( \mathbf{E} \) 构成的平面。
因为 \( \mathbf{v} \) 沿 \( x \)-方向，所以 \( \mathbf{v} \times \mathbf{E} \) 只依赖于 \( \mathbf{E} \) 的 横向分量（\( y \) 和 \( z \) 分量）。
它的方向由右手定则决定：
- \( \hat{x} \times \hat{y} = \hat{z} \)
- \( \hat{x} \times \hat{z} = -\hat{y} \)

二、应用：运动电荷的磁场

在 SI 单位制中，匀速运动电荷的磁场为：

\[ \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \]

所以当 \( \mathbf{v} = v_x \hat{x} \) 时：

\[ \boxed{ \mathbf{B} = \frac{v_x}{c^2} \left( -E_z, \hat{y} + E_y, \hat{z} \right) = \left( 0,\ -\frac{v_x E_z}{c^2},\ \frac{v_x E_y}{c^2} \right) } \]

这表示：

磁场在 \( yz \)-平面内
垂直于速度方向（\( x \)）和电场的横向分量
形成环绕 \( x \)-轴的环形磁场

三、举例：点电荷在 \( (v_x t, 0, 0) \)，场点在 \( (0, b, 0) \)

此时：

\( \mathbf{R} = (-v_x t, b, 0) \)
\( \mathbf{E} \propto \frac{(-v_x t, b, 0)}{R^3} \Rightarrow E_x \propto -v_x t,\ E_y \propto b,\ E_z = 0 \)

所以：

\[ \mathbf{v} \times \mathbf{E} = v_x ( -0 \cdot \hat{y} + b \hat{z} ) = v_x b, \hat{z} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{B} \propto \hat{z} \]

符合右手定则：电荷向右运动，电场向上，磁场垂直纸面向外。

✅ 总结

条件	\( \mathbf{v} = (v_x, 0, 0) \)
叉积结果	\( \mathbf{v} \times \mathbf{E} = (0,\ -v_x E_z,\ v_x E_y) \)
方向	在 \( yz \)-平面，垂直于 \( \mathbf{v} \) 和 \( \mathbf{E} \)
物理意义	决定运动电荷产生的磁场方向
常见形式	\( \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \)

一句话总结：

当 \( \mathbf{v} = v_x \hat{x} \) 时，\( \mathbf{v} \times \mathbf{E} = v_x (-E_z, \hat{y} + E_y, \hat{z}) \)，只与电场的横向分量有关，方向遵循右手定则。

✅ 简短回答：#

一、设定：从 \( \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \) 出发#

二、计算左边：\( \nabla \times \mathbf{B} \)#

三、计算右边：\( \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \)#

四、比较 (1) 和 (2)#

五、结论：何时 \( \nabla \times \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \) 成立？#

六、物理图像#

✅ 最终总结#

🎯 关键收获：#

一、设定#

二、对时间求偏导#

链式法则（向量形式）#

三、直观理解#

四、与全导数的区别#

五、应用举例#

匀速运动点电荷的电场#

✅ 总结#

物理意义：#

一、定义#

二、物理意义#

1. 方向导数（Directional Derivative）#

2. 在场的时间演化中的作用#

3. 物质导数（Material Derivative）中的角色#

三、作用在矢量场上的含义#

四、与 \( \nabla \mathbf{v} \) 的区别（常见混淆）#

五、例子：计算 \( (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \)#

六、在电磁学中的物理角色#

✅ 总结#

一句话总结：#

✅ 答案：#

一、推导#

二、物理意义#

三、应用举例#

1. 作用在标量场 \( f(x,y,z) \) 上：#

2. 作用在矢量场 \( \mathbf{E} = (E_x, E_y, E_z) \) 上：#

3. 时间导数关系（如匀速运动电荷）#

四、记法简化#

✅ 总结#

一句话总结：#

✅ 答案：#

一、详细推导#

二、物理意义#

三、应用举例#

1. 电场（匀速运动电荷）#

2. 磁场#

✅ 总结#

一句话总结：#

✅ 答案：#

一、物理意义#

二、应用：运动电荷的磁场#

三、举例：点电荷在 \( (v_x t, 0, 0) \)，场点在 \( (0, b, 0) \)#

✅ 总结#

一句话总结：#

✅ 简短回答：

一、设定：从 \( \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \) 出发

二、计算左边：\( \nabla \times \mathbf{B} \)

三、计算右边：\( \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \)

四、比较 (1) 和 (2)

五、结论：何时 \( \nabla \times \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \) 成立？

六、物理图像

✅ 最终总结

🎯 关键收获：

一、设定

二、对时间求偏导

链式法则（向量形式）

三、直观理解

四、与全导数的区别

五、应用举例

匀速运动点电荷的电场

✅ 总结

物理意义：

一、定义

二、物理意义

1. 方向导数（Directional Derivative）

2. 在场的时间演化中的作用

3. 物质导数（Material Derivative）中的角色

三、作用在矢量场上的含义

四、与 \( \nabla \mathbf{v} \) 的区别（常见混淆）

五、例子：计算 \( (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{E} \)

六、在电磁学中的物理角色

✅ 总结

一句话总结：

✅ 答案：

一、推导

二、物理意义

三、应用举例

1. 作用在标量场 \( f(x,y,z) \) 上：

2. 作用在矢量场 \( \mathbf{E} = (E_x, E_y, E_z) \) 上：

3. 时间导数关系（如匀速运动电荷）

四、记法简化

✅ 总结

一句话总结：

✅ 答案：

一、详细推导

二、物理意义

三、应用举例

1. 电场（匀速运动电荷）

2. 磁场

✅ 总结

一句话总结：

✅ 答案：

一、物理意义

二、应用：运动电荷的磁场

三、举例：点电荷在 \( (v_x t, 0, 0) \)，场点在 \( (0, b, 0) \)

✅ 总结

一句话总结：