这是一个极其深刻、基础性的问题！

标量势 \( \phi \) 和矢量势 \( \mathbf{A} \) 是怎么来的？

它们不是凭空发明的，而是从麦克斯韦方程组的数学结构中自然“浮现”出来的。我们可以通过分析电磁场的性质（特别是它的散度和旋度），发现：为了满足某些恒成立的物理定律（如 \( \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \)），我们必须引入这些“势”。

下面我们一步步来揭示它们的来源。

一、从麦克斯韦方程出发

真空中麦克斯韦方程组（高斯单位制）：

  1. \( \nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi \rho \)
    → 电场散度由电荷密度决定

  2. \( \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \)
    → 磁场无散（没有磁单极）

  3. \( \nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \)
    → 法拉第电磁感应定律

  4. \( \nabla \times \mathbf{B} = \dfrac{4\pi}{c} \mathbf{J} + \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \)
    → 安培-麦克斯韦定律

我们注意到：方程 (2) 和 (3) 是“齐次方程”（右边不直接含源或只含其他场的时间导数），它们揭示了电磁场的几何结构，正是从这两个方程中，势 \( \phi \) 和 \( \mathbf{A} \) 被引入。

二、矢量势 \( \mathbf{A} \) 的来源：从 \( \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \)

关键观察：

\[ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \]

在向量分析中，有一个重要定理：

如果一个矢量场的散度为零（无源），那么它一定是某个矢量场的旋度。

即：存在一个矢量场 \( \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) \)，使得：

\[ \boxed{ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} } \]

✅ 这就是矢量势 \( \mathbf{A} \) 的来源！

  • 它不是假设，而是数学必然性：因为 \( \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \)，所以必有 \( \mathbf{A} \) 满足 \( \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \)。
  • \( \mathbf{A} \) 本身不可直接测量，但它编码了磁场的信息。

💡 物理意义：磁场是“涡旋场”，它的基本结构是旋度，因此用一个“母场” \( \mathbf{A} \) 的旋度来表示是最自然的。

三、标量势 \( \phi \) 的来源：从法拉第定律

现在看第三个方程（法拉第定律）：

\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \]

我们刚刚设 \( \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \)，代入得：

\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{A}) = -\nabla \times \left( \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right) \]

移项：

\[ \nabla \times \left( \mathbf{E} + \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right) = 0 \]

现在，另一个向量分析定理登场：

如果一个矢量场的旋度为零，那么它一定是某个标量场的梯度。

所以存在一个标量函数 \( \phi(\mathbf{r}, t) \)，使得：

\[ \mathbf{E} + \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = -\nabla \phi \]

即：

\[ \boxed{ \mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} } \]

✅ 这就是标量势 \( \phi \) 的来源！

  • 它不是人为引入的，而是由法拉第定律和 \( \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \) 共同决定的必然结果。
  • 它描述了电场中可“积分”为势能的部分。

四、总结：势的来源是麦克斯韦方程的数学结构

势 来源方程 数学依据 物理含义
\( \mathbf{A} \) \( \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \) 散度为零 ⇒ 是某个场的旋度 磁场的“母场”
\( \phi \) \( \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \) 旋度为零 ⇒ 是某个标量的梯度 电场的保守部分来源

✅ 所以：标量势和矢量势不是人为“发明”的，而是麦克斯韦方程内在结构的自然产物。

五、势的“非唯一性”：规范自由度

虽然 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 是物理可观测的，但 \( \phi \) 和 \( \mathbf{A} \) 不是唯一的。因为：

  • \( \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \) ⇒ \( \mathbf{A} \) 可以加上任意梯度场 \( \nabla \chi \)，因为 \( \nabla \times (\nabla \chi) = 0 \)
  • 为了保持 \( \mathbf{E} \) 不变，必须同时调整 \( \phi \)

这就导致了规范变换：

\[ \begin{aligned} \mathbf{A} &\to \mathbf{A} + \nabla \chi(\mathbf{r}, t) \\ \phi &\to \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial \chi}{\partial t} \end{aligned} \]

这种自由度是理论的内在对称性，称为 U(1) 规范对称性，在量子场论中极为重要。

六、历史与物理意义

历史发展：

  • 19世纪，麦克斯韦在建立电磁理论时就使用了势（受拉格朗日力学影响）。
  • 最初人们认为 \( \mathbf{E}, \mathbf{B} \) 是“真实”的，\( \phi, \mathbf{A} \) 只是数学工具。
  • 但20世纪的 Aharonov-Bohm 效应 证明：即使在 \( \mathbf{B} = 0 \) 的区域，\( \mathbf{A} \neq 0 \) 也能影响电子的相位 —— 说明 \( \mathbf{A} \) 有物理实在性！

物理哲学意义：

势比场更基本。
就像高度（势）决定水流方向（场），电磁势 \( (\phi, \mathbf{A}) \) 是“背景结构”，而 \( \mathbf{E}, \mathbf{B} \) 是它的“梯度”和“旋度”。

七、类比理解

类比系统 势（Potential） 场（Field） 数学关系
重力 高度 \( h(x,y) \) 重力加速度分量 \( -\nabla h \) 梯度
流体力学 速度势 \( \phi \) 流速 \( \mathbf{v} = \nabla \phi \)（无旋流） 梯度
电磁学 \( \phi, \mathbf{A} \) \( \mathbf{E}, \mathbf{B} \) \( \mathbf{E} = -\nabla\phi - \partial_t \mathbf{A}/c \), \( \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \)

✅ 最终结论

标量势 \( \phi \) 和矢量势 \( \mathbf{A} \) 是从麦克斯韦方程组的数学结构中自然导出的：

  • \( \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \) ⇒ 必存在 \( \mathbf{A} \) 使得 \( \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \)
  • 法拉第定律 + 上式 ⇒ 必存在 \( \phi \) 使得 \( \mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \)

它们不是人为假设，而是电磁场几何结构的必然体现。
尽管它们本身不可直接测量（有规范自由度），但在现代物理（尤其是量子力学）中，它们具有深刻的物理实在性。

这就是为什么在量子力学中，动量要替换为 \( \mathbf{p} - \frac{e}{c} \mathbf{A} \) —— 因为粒子直接与势耦合，而不是场。

李纳维谢尔势中为什么\phi和A的积分外的参数一个是1/(4 pi e_0), 一个是\mu_0 / 4pi

为什么 \(\phi\) 和 \(\mathbf{A}\) 的积分系数不同？

在 李纳-维谢尔势（Liénard-Wiechert Potential） 中，标势 \(\phi\) 和矢势 \(\mathbf{A}\) 的表达式分别为： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}’, t’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \mathrm{d}^3\mathbf{r}’, \] \[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}’, t’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \mathrm{d}^3\mathbf{r}’. \] 它们的积分系数分别是：

  • 标势 \(\phi\)：\(\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\)
  • 矢势 \(\mathbf{A}\)：\(\frac{\mu_0}{4\pi}\)

这种差异源于 电磁学单位制 和 麦克斯韦方程组的对称性。以下是详细解释：

1. 麦克斯韦方程组的来源

电磁势 \(\phi\) 和 \(\mathbf{A}\) 是由 麦克斯韦方程组 导出的。在 国际单位制（SI） 下，麦克斯韦方程组的微分形式为： \[ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}, \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}, \] \[ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}. \]

由于 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{B}\) 可以表示为： \[ \mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \quad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}, \] 代入麦克斯韦方程组后，可以得到 达朗贝尔方程（d’Alembert Equation）： \[ \nabla^2 \phi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho}{\epsilon_0}, \] \[ \nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf{J}, \] 其中 \(c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}\) 是光速。

2. 推迟势的解

达朗贝尔方程的解是 推迟势（Retarded Potential）： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}’, t’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \mathrm{d}^3\mathbf{r}’, \] \[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}’, t’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \mathrm{d}^3\mathbf{r}’. \] 其中 \(t’ = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c}\) 是推迟时间。

3. 系数差异的物理原因

(1) 标势 \(\phi\) 的系数 \(\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\)

  • 来源于 库仑定律： \[ \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}}, \] 其中 \(\epsilon_0\) 是真空介电常数，描述电场在真空中的响应。
  • 在静电学中，\(\phi\) 的泊松方程： \[ \nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}, \] 其解自然包含 \(\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\)。

(2) 矢势 \(\mathbf{A}\) 的系数 \(\frac{\mu_0}{4\pi}\)

  • 来源于 毕奥-萨伐尔定律： \[ \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2} \mathrm{d}^3\mathbf{r}’, \] 其中 \(\mu_0\) 是真空磁导率，描述磁场在真空中的响应。
  • 在静磁学中，\(\mathbf{A}\) 的方程： \[ \nabla^2 \mathbf{A} = -\mu_0 \mathbf{J}, \] 其解自然包含 \(\frac{\mu_0}{4\pi}\)。

(3) 对称性与光速 \(c\)

  • 电磁场的对称性要求： \[ \frac{1}{\epsilon_0} \quad \text{和} \quad \mu_0 \] 必须满足 \(c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}\)，以保证电磁波的传播速度正确。
  • 如果使用 高斯单位制（CGS），\(\epsilon_0 = \mu_0 = 1\)，此时 \(\phi\) 和 \(\mathbf{A}\) 的系数相同（均为 \(1/c\)），但 SI 单位制更直观地反映了电磁学的实验测量。

4. 单位制的影响

单位制 \(\phi\) 的系数 \(\mathbf{A}\) 的系数 特点
SI 单位制 \(\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\) \(\frac{\mu_0}{4\pi}\) 实验友好，\(\epsilon_0\) 和 \(\mu_0\) 显式出现
高斯单位制 \(1\) \(\frac{1}{c}\) 对称性更明显，但 \(c\) 显式出现

在 SI 单位制下，\(\epsilon_0\) 和 \(\mu_0\) 的引入使得电磁学的公式更贴近实验测量，但牺牲了部分对称性。

5. 总结

\(\phi\) 和 \(\mathbf{A}\) 的积分系数不同，是因为：

  1. 标势 \(\phi\) 的系数 \(\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\) 来自 库仑定律，描述静电场。
  2. 矢势 \(\mathbf{A}\) 的系数 \(\frac{\mu_0}{4\pi}\) 来自 毕奥-萨伐尔定律，描述静磁场。
  3. 麦克斯韦方程组的对称性 要求 \(\epsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2}\)，保证电磁波的传播速度正确。

这种差异反映了 电场和磁场的不同起源，但在相对论电动力学中，\(\phi\) 和 \(\mathbf{A}\) 会统一为 四维势 \(A^\mu = (\phi/c, \mathbf{A})\)，此时它们的系数关系会更加自然。

根据毕奥-萨伐尔定律，求运动电荷的磁场 非常好的问题！

我们来从毕奥-萨伐尔定律（Biot-Savart Law）出发，推导运动点电荷产生的磁场。虽然毕奥-萨伐尔定律原本是为稳恒电流设计的，但我们可以将其推广到运动电荷的情形。

一、毕奥-萨伐尔定律（原始形式）

对于稳恒电流，磁场由下式给出：

\[ \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ I , d\mathbf{l}’ \times \hat{\mathbf{R}} }{ R^2 } \]

其中：

  • \( I , d\mathbf{l}’ = \mathbf{I} d l \) 是电流元，
  • \( \mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}’ \) 是从电流元到场点的矢量，
  • \( R = |\mathbf{R}| \)，\( \hat{\mathbf{R}} = \mathbf{R}/R \)

我们可以将电流元写成：

\[ I , d\mathbf{l}’ = \mathbf{J} , d^3 r’ \quad \text{且} \quad \mathbf{J} = \rho \mathbf{v} \]

对于点电荷，电荷密度为：

\[ \rho(\mathbf{r}’, t) = q , \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_q(t)) \]

速度为 \( \mathbf{v}(t) \)，所以电流密度：

\[ \mathbf{J}(\mathbf{r}’, t) = q , \mathbf{v}(t) , \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_q(t)) \]

二、推广毕奥-萨伐尔定律到运动电荷

将 \( \mathbf{J} , d^3 r’ \to q , \mathbf{v} , \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_q) , d^3 r’ = q , \mathbf{v} \)，代入毕奥-萨伐尔定律的积分形式：

\[ \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \mathbf{J}(\mathbf{r}’, t) \times \hat{\mathbf{R}} }{ R^2 } , d^3 r’ = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ q , \mathbf{v}(t) \times \hat{\mathbf{R}} }{ R^2 } , \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_q(t)) , d^3 r’ \]

积分后：

\[ \boxed{ \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{ q , \mathbf{v}(t) \times \hat{\mathbf{R}}(t) }{ |\mathbf{R}(t)|^2 } } \quad \text{（非相对论近似）} \]

其中：

  • \( \mathbf{R}(t) = \mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t) \)：从电荷瞬时位置到场点的矢量
  • \( \hat{\mathbf{R}} = \mathbf{R}/R \)
  • \( \mathbf{v}(t) \)：电荷的瞬时速度

三、写成更简洁的形式

令 \( \mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}_q \)，则：

\[ \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{ q , \mathbf{v} \times \mathbf{R} }{ R^3 } \]

✅ 这就是运动点电荷在非相对论极限下产生的磁场公式。

四、与电场的关系

点电荷的电场（库仑场）为：

\[ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{ q , \hat{\mathbf{R}} }{ R^2 } = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{ q , \mathbf{R} }{ R^3 } \]

我们来计算 \( \frac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \)：

\[ \frac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) = \frac{1}{c^2} \left( \mathbf{v} \times \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q , \mathbf{R}}{R^3} \right) = \frac{\mu_0 \varepsilon_0}{4\pi \varepsilon_0} \frac{ q , \mathbf{v} \times \mathbf{R} }{ R^3 } = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{ q , \mathbf{v} \times \mathbf{R} }{ R^3 } \]

而这正是上面的 \( \mathbf{B} \)！

所以：

\[ \boxed{ \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) } \quad \text{（SI 单位制，非相对论点电荷）} \]

五、物理意义与适用范围

项目 说明
✅ 成立条件 - 电荷匀速运动（或瞬时近似）
- 速度 \( v \ll c \)
- 忽略辐射场（无加速度）
- 使用瞬时位置（非推迟时间）
⚠️ 局限性 - 不适用于加速电荷（会辐射）
- 不适用于高速（需相对论修正）
- 瞬时作用违反因果性（实际应使用推迟势）
🔁 更精确理论 使用 Liénard-Wiechert 势，考虑推迟时间和加速度项

六、与 Liénard-Wiechert 势的关系

在低速、匀速、非辐射极限下，Liénard-Wiechert 势退化为：

  • \( \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) \approx \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{q \mathbf{v}}{R} \)
  • \( \phi(\mathbf{r}, t) \approx \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{q}{R} \)

然后： \[ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} = \frac{\mu_0}{4\pi} q \nabla \times \left( \frac{\mathbf{v}}{R} \right) = \frac{\mu_0}{4\pi} q \left( \mathbf{v} \times \nabla \frac{1}{R} \right) = \frac{\mu_0}{4\pi} q \frac{ \mathbf{v} \times \hat{\mathbf{R}} }{ R^2 } \]

与毕奥-萨伐尔方法一致。

七、方向与右手定则

磁场方向由 \( \mathbf{v} \times \mathbf{R} \) 决定：

  • 在电荷运动方向的周围形成环形磁场
  • 符合右手定则：右手四指从 \( \mathbf{v} \) 转向 \( \mathbf{R} \)，拇指指向 \( \mathbf{B} \) 方向

✅ 总结

运动点电荷的磁场（SI 单位制）：

\[ \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{ q , \mathbf{v}(t) \times \mathbf{R}(t) }{ R^3 } \quad \text{其中 } \mathbf{R}(t) = \mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t) \]

与电场的关系：

\[ \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \quad \text{（仅适用于低速、匀速点电荷）} \]

推导方法：

  1. 从毕奥-萨伐尔定律出发
  2. 将电流元 \( I d\mathbf{l} \) 替换为 \( q \mathbf{v} \)
  3. 利用 \( \mathbf{J} = \rho \mathbf{v} \) 和 \( \rho = q \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q) \)
  4. 积分得到点电荷的磁场

⚠️ 重要提醒：

这个公式是近似结果，假设了：

  • 瞬时超距作用（实际应使用推迟势）
  • 无加速度（否则有辐射场）

要处理高速或加速电荷，必须使用 Liénard-Wiechert 势。

但作为入门和物理直觉，从毕奥-萨伐尔定律推广是完全合理且常用的方法。

使用李纳 维谢尔势 证明B=v x E /c^2

使用李纳-维谢尔势证明 \(\mathbf{B} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2}\)

要证明匀速运动点电荷的磁场 \(\mathbf{B}\) 与电场 \(\mathbf{E}\) 的关系为 \(\mathbf{B} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2}\)，我们可以利用 李纳-维谢尔势（Liénard-Wiechert Potential），这是描述运动点电荷产生的电磁场的经典方法。以下是详细推导步骤：

1. 李纳-维谢尔势回顾

对于速度为 \(\mathbf{v}\) 的点电荷 \(q\)，其推迟势（Retarded Potential）为： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \left. \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{(1 - \bm{\beta} \cdot \mathbf{n}) R} \right|_{\text{ret}}, \quad \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \left. \frac{q \mu_0 c}{4\pi} \frac{\bm{\beta}}{(1 - \bm{\beta} \cdot \mathbf{n}) R} \right|_{\text{ret}} \] 其中：

  • \(\bm{\beta} = \frac{\mathbf{v}}{c}\)（归一化速度），
  • \(R = |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|\) 是观测点到电荷的推迟距离，
  • \(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}\) 是单位方向矢量，
  • “ret” 表示在推迟时间 \(t’ = t - R/c\) 计算。

2. 匀速运动点电荷的场

对于 匀速运动（\(\mathbf{v} = \text{常数}\)）的点电荷，电场和磁场可通过势的梯度与旋量求出： \[ \mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \quad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \]

经过计算（需考虑推迟效应和几何关系），匀速运动电荷的电场为： \[ \mathbf{E} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{(1-\beta^2)}{(1-\beta^2 \sin^2 \theta)^{3/2}} \frac{\mathbf{R}}{R^3} \] 其中 \(\theta\) 是 \(\mathbf{v}\) 与 \(\mathbf{R}\) 的夹角。

3. 磁场的计算

矢势 \(\mathbf{A}\) 与标势 \(\phi\) 的关系为： \[ \mathbf{A} = \frac{\mathbf{v}}{c^2} \phi \] 因此，磁场为： \[ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} = \nabla \times \left( \frac{\mathbf{v}}{c^2} \phi \right) \] 利用矢量恒等式 \(\nabla \times (f \mathbf{F}) = f (\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)，且 \(\nabla \times \mathbf{v} = 0\)（因为 \(\mathbf{v}\) 是常矢量），得： \[ \mathbf{B} = \nabla \phi \times \frac{\mathbf{v}}{c^2} \]

根据电场的定义 \(\mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\)，对于匀速运动（\(\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = 0\)），有： \[ \nabla \phi = -\mathbf{E} \] 代入上式： \[ \mathbf{B} = (-\mathbf{E}) \times \frac{\mathbf{v}}{c^2} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \]

4. 验证相对论协变性

这一结果与狭义相对论一致。在电荷的瞬时静止参考系中，只有静电场 \(\mathbf{E}_0\)，而磁场 \(\mathbf{B}_0 = 0\)。通过洛伦兹变换到实验室参考系（电荷以 \(\mathbf{v}\) 运动），电磁场变换为： \[ \mathbf{E} = \gamma \mathbf{E}_0 - (\gamma - 1) (\mathbf{E}_0 \cdot \hat{\mathbf{v}}) \hat{\mathbf{v}}, \quad \mathbf{B} = \frac{\gamma}{c^2} \mathbf{v} \times \mathbf{E}_0 \] 当速度 \(v \ll c\)（\(\gamma \approx 1\)）时，简化为： \[ \mathbf{B} \approx \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \]

5. 物理意义

  • 磁场是电场的相对论效应：匀速运动电荷的磁场本质上是电场在运动方向上的“拖拽”效应。
  • 低速极限：当 \(v \ll c\) 时，\(\mathbf{B}\) 的表达式与毕奥-萨伐尔定律一致。
  • 方向关系：磁场方向垂直于 \(\mathbf{v}\) 和 \(\mathbf{E}\)，符合右手定则。

总结

通过李纳-维谢尔势和电磁势的关系，我们证明了匀速运动点电荷的磁场满足： \[ \mathbf{B} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \] 这一结果：

  1. 体现了电磁场的相对论关联，
  2. 与经典电动力学和狭义相对论自洽，
  3. 是运动电荷产生磁场的基础公式。

E=\gamma E_0 -(r-1)(E_0 \cdot v) v是怎么得来的

运动电荷电场的相对论变换推导

要理解运动电荷的电场变换公式： \[ \mathbf{E} = \gamma \mathbf{E}_0 - (\gamma - 1)(\mathbf{E}_0 \cdot \hat{\mathbf{v}})\hat{\mathbf{v}} \] 我们需要从狭义相对论的电磁场变换规律出发。以下是详细推导步骤：

1. 电磁场的相对论变换公式

在相对论中，电磁场在不同惯性参考系之间的变换关系为（设两参考系沿x轴以速度\(v\)相对运动）：

电场分量变换： \[ E’_x = E_x \\ E’_y = \gamma(E_y - vB_z) \\ E’_z = \gamma(E_z + vB_y) \]

磁场分量变换： \[ B’_x = B_x \\ B’_y = \gamma(B_y + \frac{v}{c^2}E_z) \\ B’_z = \gamma(B_z - \frac{v}{c^2}E_y) \] 其中\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\)为洛伦兹因子。

2. 瞬时静止参考系中的场

在电荷的瞬时静止参考系（primed系）中：

  • 只有静电场：\(\mathbf{E}’ = \mathbf{E}_0\)，\(\mathbf{B}’ = 0\)
  • 实验室系（unprimed系）中电荷以速度\(\mathbf{v}\)运动

我们需要将静止系的场变换回实验室系。

3. 场的逆变换

从静止系（primed）到实验室系（unprimed）的逆变换为： \[ E_x = E’_x \\ E_y = \gamma(E’_y + vB’_z) \\ E_z = \gamma(E’_z - vB’_y) \]

代入\(\mathbf{B}’ = 0\)得： \[ \mathbf{E} = (E’_x, \gamma E’_y, \gamma E’_z) \]

4. 矢量形式的表达

将上述结果写成矢量形式。设：

  • \(\mathbf{E}_0\)为静止系中的电场
  • \(\mathbf{v}\)为实验室系中电荷的运动速度

将电场分解为平行和垂直于速度的分量： \[ \mathbf{E}_0 = \mathbf{E}_{0\parallel} + \mathbf{E}_{0\perp} \] 其中： \[ \mathbf{E}_{0\parallel} = (\mathbf{E}_0 \cdot \hat{\mathbf{v}})\hat{\mathbf{v}} \\ \mathbf{E}_{0\perp} = \mathbf{E}_0 - (\mathbf{E}_0 \cdot \hat{\mathbf{v}})\hat{\mathbf{v}} \]

变换关系变为： \[ \mathbf{E}_{\parallel} = \mathbf{E}_{0\parallel} \\ \mathbf{E}_{\perp} = \gamma \mathbf{E}_{0\perp} \]

因此总电场： \[ \mathbf{E} = \mathbf{E}_{0\parallel} + \gamma \mathbf{E}_{0\perp} = (\mathbf{E}_0 \cdot \hat{\mathbf{v}})\hat{\mathbf{v}} + \gamma [\mathbf{E}_0 - (\mathbf{E}_0 \cdot \hat{\mathbf{v}})\hat{\mathbf{v}}] \]

整理后得到： \[ \mathbf{E} = \gamma \mathbf{E}_0 - (\gamma - 1)(\mathbf{E}_0 \cdot \hat{\mathbf{v}})\hat{\mathbf{v}} \]

5. 几何解释

  • \(\gamma \mathbf{E}_0\)：整体电场增强（由于洛伦兹收缩）
  • \(-(\gamma -1)(\mathbf{E}_0 \cdot \hat{\mathbf{v}})\hat{\mathbf{v}}\)：抵消平行方向的过度增强

这保证了：

  • 垂直于运动方向的电场分量增强\(\gamma\)倍
  • 平行于运动方向的电场分量不变

6. 与李纳-维谢尔势的联系

对于匀速运动点电荷，直接由李纳-维谢尔势得到的电场为： \[ \mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1-\beta^2}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{3/2}} \frac{\mathbf{R}}{R^3} \] 可以证明这与相对论变换的结果一致。

最终结论

运动电荷的电场变换公式： \[ \mathbf{E} = \gamma \mathbf{E}_0 - (\gamma - 1)(\mathbf{E}_0 \cdot \hat{\mathbf{v}})\hat{\mathbf{v}} \] 来源于：

  1. 电磁场的相对论变换规律
  2. 将静止系中的纯静电场变换到运动系
  3. 对电场进行平行和垂直分解

这个结果与李纳-维谢尔势完全一致，是处理运动电荷电磁场的理论基础。

说明磁场B是由于电荷的移动产生的电流产生的，也可以说是电场的变化产生的