一维谐振子，
弹性系数k的来源：
\(F=-kx\)
运动方程：
\(\frac{d^2 x(t)}{dt^2} + \omega^2 x(t) = 0 \quad \Rightarrow \quad x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\)
波动方程：
\(\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\),
\(c = a \sqrt{\frac{k}{m}}\), \(a\)是粒子之间的间距
解为 \(u(x,t) = \cos(kx - \omega t), \quad \text{其中} \ \omega = k c\) (此处的k和前面的k不是同一个)
弹性系数k分析:
\(k=\frac{mc^2}{a^2}\)
设离子电荷为 \( \pm e \)，平衡间距为 \( a \)，则 \( k \) 量级为：
\(k \sim \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 a^3}\),
对比 \( k = \frac{m c^2}{a^2} \)，可得：
\(\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 a^3} \sim \frac{m c^2}{a^2} \quad \Rightarrow \quad a \sim \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 m c^2}\)
这正是 经典电子半径（\( r_e = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 m_e c^2} \approx 2.8 \times 10^{-15} , \text{m} \)）的量级，表明静质量 \( m \) 通过电磁场耦合影响了弹性。
力的公式改写为：
\(F = -\frac{m c^2}{a^2} x\)
势能改写为：
\( V(x) = \frac{m c^2}{2 a^2} x^2 \)
运动方程改写为：
\(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\frac{c^2}{a^2} u\)
角速度\( \omega =\frac{c}{a}\) 频率\( f = \frac{c}{2\pi a} \)
所以，一维谐振子可以理解为以半径a的振荡，形成了速度c的能量传播运动。有三个运动，一个是粒子的局部振动，一个是振动形成了能量的传播运动，也就是波动方程，一个是粒子的平移运动。