在不同坐标下，发射光，都会有:
\(x=ct\), 即：
\(ct-x=0\)
伽利略变换下：
\(x’ = x - vt, \quad t’ = t\),有：
\(x’ = ct - vt = ct’ - vt’\),即：
\(ct’-x’ = vt’\),
可见由于坐标系在移动，光速不变在伽利略变换下是不协变的。
使用变形的伽利略变换：
\(x=x’+vt’, t=t’+vx’/c^2\),
时间进行了补偿，补充多余的vt’部分，有：
\(ct - x = c ( t’ + \frac{v x’}{c^2} ) - (x’ + v t’) \)
\(= c t’ + \frac{v x’}{c} - x’ - v t’\),
\(= (c - v)t’ + ( \frac{v}{c} - 1 )x’\),
由\(ct-x=0\)，有：
\((c - v)t’ + ( \frac{v}{c} - 1 )x’ = 0\),
即：\(ct’-x’=0 \)
所以此时是协变的
对洛伦兹变换，
\(ct - x = c \cdot \gamma \left( t’ + \frac{v x’}{c^2} \right) - \gamma (x’ + v t’)\)
\(= \gamma c t’ + \gamma \frac{v x’}{c} - \gamma x’ - \gamma v t’\)
\(= \gamma \frac{c - v}{c} ( ct’ - x’) =0 \)
可得 \( ct’-x’=0\)，所以是协变的。
如果是\(ct-x=x_0\)，\(x_0\)是常数，由上面的计算，有：
\(\gamma \frac{c - v}{c} ( ct’ - x’) =x_0 \)
可见是不协变的。
原因就在于 \(c=(x_0-x)/t=(x_0-x’)/t’\)的话，光速不变不能做到
而对于 \((ct)^2-x^2=y^2\)，\(y\)为常数，则可以做到：
\( c=\sqrt{x^2+y^2}/t=\sqrt{x’^2+y^2}/t’ \), 下面尝试一下：
\( y^2 = (ct)^2-x^2 \)
\(= c^2 \gamma^2 \left(t’ + \frac{v x’}{c^2}\right)^2 - \gamma^2 (x’ + v t’)^2 \)
\(= \gamma^2 \left[ c^2 t’^2 + 2 v t’ x’ + \frac{v^2 x’^2}{c^2} - x’^2 - 2 v t’ x’ - v^2 t’^2 \right]\)
\(= \gamma^2 \left[ (c^2 - v^2) t’^2 + \left(\frac{v^2}{c^2} - 1\right) x’^2 \right]\)
\( = c^2 t’^2 - x’^2\)
由 \(x’^2 + y^2 = c^2 t’^2 \)，可得：
\(\sqrt{x’^2 + y^2}/t’ = c\)