我们根据\((ct)^2 =x^2 +y^2\),两边同乘以波数\(k^2\),有:

\((ct)^2 k^2 =x^2 k^2 +y^2 k^2\), 即:

\((wt)^2 =(kx)^2 +(yk)^2\)

令\(x =vt\), 则\(y=\sqrt{c^2-v^2} t\)

有:

\((wt)^2 =(kvt)^2 +(k \sqrt{c^2-v^2} t)^2\)

即:

\(w^2 =(kv)^2 +(k\sqrt{c^2-v^2} t)^2\)

两边同乘以\( \hbar^2 \):

\( (\hbar w) ^2 =(\hbar k v)^2 + (\hbar k \sqrt{c^2-v^2} t)^2 \)

即:

\( E^2 =(pv)^2 + (p \sqrt{c^2-v^2})^2 =(pc)^2 \),得:

\( E=pc\), \(p=\hbar k=mc\)

也就是粒子的总能量,是由动量 \(p_x =\frac{pv}{c}=mv\)和另一个动量 \(p_y =\frac{p}{\gamma}\)生成的,

所以用总动量代替原来得动量似乎更合理, 此时始终有 \(E=pc\)

\(v=0\)时,\(E =m_0 c^2 =pc =\hbar k_0 c \),有:

\(k_0 = \frac{m_0 c}{\hbar} \)

\(k_0\)的存在,说明了粒子的内禀波动性。