球对称波动方程是波动方程在球对称情况下的形式，通常用于描述在具有球对称结构的空间中传播的波，例如声波、电磁波或量子力学中的波函数。球对称意味着物理量只与时间 $ t $ 和径向距离 $ r $ 有关，而与角度方向 $ \theta, \phi $ 无关。
一、三维波动方程的一般形式
三维波动方程的一般形式为：
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u $$
其中：
- $ u(\mathbf{r}, t) $ 是波函数（可以是位移、压力、电场等）；
- $ c $ 是波速；
- $ \nabla^2 $ 是拉普拉斯算子。
二、球坐标系下的拉普拉斯算子
在球坐标系 $ (r, \theta, \phi) $ 中，拉普拉斯算子的形式为：
$$ \nabla^2 u = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2} $$
三、球对称波动方程的简化
在球对称情况下，$ u $ 仅依赖于 $ r $ 和 $ t $，即 $ u = u(r, t) $，因此所有对 $ \theta $ 和 $ \phi $ 的导数为零。
此时，拉普拉斯算子简化为：
$$ \nabla^2 u = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) $$
于是，球对称波动方程变为：
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \cdot \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) $$
四、变量替换简化方程
令：
$$ v(r, t) = r u(r, t) $$
则：
$$ u = \frac{v}{r} $$
代入原方程可得：
$$ \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 v}{\partial r^2} $$
这是一个一维波动方程，非常容易求解！
五、通解形式
由于 $ v(r, t) $ 满足一维波动方程，其通解为：
$$ v(r, t) = f(r - ct) + g(r + ct) $$
因此，原函数 $ u(r, t) $ 的通解为：
$$ u(r, t) = \frac{f(r - ct)}{r} + \frac{g(r + ct)}{r} $$
- $ f(r - ct) $：从原点向外传播的球面波；
- $ g(r + ct) $：向原点传播的球面波。
六、物理意义
- 球对称波动方程描述的是球面波的行为；
- 波的振幅随 $ 1/r $ 衰减，这是由于波前面积随 $ r^2 $ 增大，能量守恒导致振幅下降；
- 这种形式适用于声波、光波、量子力学中粒子的波函数等。
七、例子：球面波的传播
设初始时刻有一个脉冲波向外传播：
$$ u(r, 0) = \frac{A}{r} e^{-r^2 / a^2}, \quad \frac{\partial u}{\partial t}(r, 0) = 0 $$
则其传播形式为：
$$ u(r, t) = \frac{A}{r} e^{-(r - ct)^2 / a^2} $$
表示一个以速度 $ c $ 向外传播的高斯球面波。
- $\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}$：时间二阶导数；
- $\nabla^2 \phi$：拉普拉斯算子（空间二阶导数）。
已知条件
令：
$$ u = ct - r = ct - \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$ $$ \phi(r, t) = \frac{f(ct - r)}{r} = \frac{f(u)}{r} $$
其中 $ f $ 是任意可导函数，$ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $，$ c $ 是常数。
第一步：计算 $\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}$
先计算一阶时间导数：
$$ \phi = \frac{f(u)}{r}, \quad u = ct - r $$
所以：
$$ \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{d}{dt} \left( \frac{f(u)}{r} \right) = \frac{f’(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial t}}{r} - \frac{f(u)}{r^2} \cdot \frac{\partial r}{\partial t} $$
注意到：
- $\frac{\partial u}{\partial t} = c$
- $\frac{\partial r}{\partial t} = 0$（因为 $ r $ 是空间变量，与时间无关）
所以：
$$ \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{f’(u) \cdot c}{r} $$
再对时间求导得到二阶导数：
$$ \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{c f’(u)}{r} \right) = \frac{c f’’(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial t}}{r} = \frac{c^2 f’’(u)}{r} $$
第二步：计算 $\nabla^2 \phi$
我们使用球坐标下的拉普拉斯算子来计算：
$$ \nabla^2 \phi = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial \phi}{\partial r} \right) $$
因为 $\phi = \frac{f(u)}{r} = \frac{f(ct - r)}{r}$，我们对 $ r $ 求导：
先求一阶导数：
$$ \frac{\partial \phi}{\partial r} = \frac{d}{dr} \left( \frac{f(ct - r)}{r} \right) = \frac{-f’(ct - r)}{r} - \frac{f(ct - r)}{r^2} $$
即：
$$ \frac{\partial \phi}{\partial r} = -\frac{f’(u)}{r} - \frac{f(u)}{r^2} $$
再求二阶导数：
$$ \nabla^2 \phi = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \left( -\frac{f’(u)}{r} - \frac{f(u)}{r^2} \right) \right) $$
先计算括号内的表达式：
$$ r^2 \left( -\frac{f’(u)}{r} - \frac{f(u)}{r^2} \right) = -r f’(u) - f(u) $$
再对 $ r $ 求导：
$$ \frac{\partial}{\partial r} \left( -r f’(u) - f(u) \right) = -f’(u) - r f’’(u) \cdot (-1) - f’(u) \cdot (-1) $$
注意：$ u = ct - r $，所以 $ \frac{du}{dr} = -1 $
所以：
$$ \frac{d}{dr}(-r f’(u) - f(u)) = -f’(u) + r f’’(u) + f’(u) = r f’’(u) $$
因此：
$$ \nabla^2 \phi = \frac{1}{r^2} \cdot r f’’(u) = \frac{f’’(u)}{r} $$
最终结果总结
我们得到了：
$$ \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = \frac{c^2 f’’(u)}{r} $$ $$ \nabla^2 \phi = \frac{f’’(u)}{r} $$
验证波动方程是否成立
波动方程形式为：
$$ \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \phi $$
代入上面结果：
$$ \text{左边：} \frac{c^2 f’’(u)}{r}, \quad \text{右边：} c^2 \cdot \frac{f’’(u)}{r} $$
两边相等！
✅ 结论：
$$ \boxed{ \begin{aligned} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} &= \frac{c^2 f’’(u)}{r} \\ \nabla^2 \phi &= \frac{f’’(u)}{r} \\ \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} &= c^2 \nabla^2 \phi \end{aligned} } $$
这说明函数 $\phi(r, t) = \frac{f(ct - r)}{r}$ 满足三维波动方程。这正是球对称波动方程的通解形式。