从概率流密度推导概率密度

为了理解为什么 Klein-Gordon (KG) 方程和薛定谔方程的概率密度公式不同，我们可以从 概率守恒（连续性方程）出发，推导两者的概率密度表达式。关键区别在于 时间导数的阶数 和 相对论协变性要求。

1. 薛定谔方程的概率密度与概率流密度

(1) 薛定谔方程及其复共轭

薛定谔方程： \[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V \psi, \] 复共轭方程： \[ -i\hbar \frac{\partial \psi^*}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi^* + V \psi^*. \]

(2) 构造概率流守恒

定义概率密度 \(\rho = \psi^* \psi\)，计算其时间导数： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t} + \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t}. \] 将薛定谔方程及其复共轭代入： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \psi^* \left( \frac{i \hbar}{2m} \nabla^2 \psi - \frac{i}{\hbar} V \psi \right) + \psi \left( -\frac{i \hbar}{2m} \nabla^2 \psi^* + \frac{i}{\hbar} V \psi^* \right). \] 化简后： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{i \hbar}{2m} (\psi^* \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \psi^*). \] 利用矢量恒等式： \[ \psi^* \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \psi^* = \nabla \cdot (\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*), \] 因此： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \frac{\hbar}{2m i} (\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*) \right) = 0. \] 对比连续性方程 \(\partial_t \rho + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\)，得到： \[ \mathbf{j} = \frac{\hbar}{2m i} (\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*). \] 结论：

  • 概率密度 \(\rho = |\psi|^2\) 是自然选择，因为薛定谔方程的时间一阶导数允许直接构造守恒流。
  • 概率流 \(\mathbf{j}\) 的形式由诺特定理（\(U(1)\) 对称性）决定。

2. Klein-Gordon 方程的概率密度与概率流密度

(1) KG 方程及其复共轭

KG 方程： \[ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} - \nabla^2 \psi + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0, \] 复共轭方程： \[ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial t^2} - \nabla^2 \psi^* + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \psi^* = 0. \]

(2) 构造四维流守恒

KG 方程是洛伦兹协变的，因此我们需要构造 四维概率流 \(j^\mu = (\rho c, \mathbf{j})\)，使其满足： \[ \partial_\mu j^\mu = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0. \] 尝试以下形式： \[ j^\mu = \frac{i \hbar}{2m} (\psi^* \partial^\mu \psi - \psi \partial^\mu \psi^*), \] 其中 \(\partial^\mu = (\frac{1}{c} \partial_t, \nabla)\)。展开时间分量和空间分量： \[ \rho c = \frac{i \hbar}{2m} \left( \psi^* \frac{1}{c} \partial_t \psi - \psi \frac{1}{c} \partial_t \psi^* \right), \] \[ \mathbf{j} = \frac{i \hbar}{2m} (\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*). \] 因此： \[ \rho = \frac{i \hbar}{2m c^2} (\psi^* \partial_t \psi - \psi \partial_t \psi^*). \]

(3) 验证连续性方程

计算 \(\partial_\mu j^\mu\)： \[ \partial_\mu j^\mu = \frac{i \hbar}{2m} \left[ \partial_t \left( \psi^* \frac{1}{c^2} \partial_t \psi - \psi \frac{1}{c^2} \partial_t \psi^* \right) + \nabla \cdot (\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*) \right]. \] 利用 KG 方程消去二阶导数： \[ \partial_t (\psi^* \partial_t \psi) = \partial_t \psi^* \partial_t \psi + \psi^* \partial_t^2 \psi = \partial_t \psi^* \partial_t \psi + \psi^* (c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi), \] \[ \partial_t (\psi \partial_t \psi^*) = \partial_t \psi \partial_t \psi^* + \psi \partial_t^2 \psi^* = \partial_t \psi \partial_t \psi^* + \psi (c^2 \nabla^2 \psi^* - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi^*). \] 代入后，交叉项相消，最终： \[ \partial_\mu j^\mu = 0. \] 结论：

  • KG 方程的概率密度必须包含 \(\partial_t \psi\)，否则无法满足协变守恒。
  • 概率密度 \(\rho\) 的表达式为： \[ \rho = \frac{i \hbar}{2m c^2} (\psi^* \partial_t \psi - \psi \partial_t \psi^*), \] 可能为负（当 \(\psi\) 是负能解时）。

3. 关键区别总结

对比项 薛定谔方程 Klein-Gordon 方程
时间导数阶数 一阶 (\(\partial_t \psi\)) 二阶 (\(\partial_t^2 \psi\))
概率密度 \(\rho\) \(\psi^* \psi\)（正定） \(\frac{i \hbar}{2m c^2} (\psi^* \partial_t \psi - \psi \partial_t \psi^*)\)（可负）
概率流 \(\mathbf{j}\) \(\frac{\hbar}{2m i} (\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*)\) 形式相同，但 \(\rho\) 定义不同
协变性 非相对论性（伽利略协变） 相对论性（洛伦兹协变）

4. 为什么 KG 方程不能简单沿用 \(\rho = |\psi|^2\)？

如果强行定义 \(\rho = |\psi|^2\)，则： \[ \frac{\partial |\psi|^2}{\partial t} = \psi^* \partial_t \psi + \psi \partial_t \psi^*, \] 但 KG 方程的二阶导数导致： \[ \partial_t (\psi^* \partial_t \psi) \neq \text{仅包含} \ \nabla^2 \psi, \] 因此无法构造守恒律 \(\partial_t \rho + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\)。
必须引入 \(\partial_t \psi\) 才能满足协变守恒。

5. 量子场论的解决方式

在量子场论中：

  • KG 方程描述的是 场算符 \(\hat{\phi}(x)\)，而非单粒子波函数。
  • 概率密度被替换为 电荷密度： \[ \rho \propto \hat{a}^\dagger \hat{a} - \hat{b}^\dagger \hat{b}, \] 其中 \(\hat{a}\) 是粒子算符，\(\hat{b}\) 是反粒子算符，负号保证电荷守恒。

最终结论

Klein-Gordon 方程的概率密度公式与薛定谔方程不同，根本原因在于：

  1. 时间二阶导数 要求概率密度必须依赖 \(\partial_t \psi\) 才能满足守恒律。
  2. 相对论协变性 要求四维流 \(j^\mu\) 的构造方式不同。
  3. 负概率问题 只能在场论框架下通过反粒子解释解决。

因此，KG 方程不能直接沿用薛定谔方程的 \(\rho = |\psi|^2\)，而是必须采用协变形式的概率密度定义。