对波动方程 \( \psi(x,t)=cos(kx-wt)\)，对伽利略变换：
\( x =x’ +vt’ \)
\( t=t’ \)
有：
\( \psi(x,t)=cos(k(x’+vt’)-\omega t’)=cos(kx’-(\omega -kv)t’\)
此时相速度：
\( v_p’=\frac{\omega+kv}{k}=\omega+v \)
洛伦兹变换下：
\(x = \gamma (x’ + v t’)\),
\(t = \gamma ( t’ + \frac{v x’}{c^2})\),
\(\psi’(x’, t’) = \cos \left[ k \gamma (x’ + v t’) - \omega \gamma \left( t’ + \frac{v x’}{c^2} \right) \right]\),
\( = \cos \left[ \gamma \left( k - \frac{\omega v}{c^2} \right) x’ + \gamma (k v - \omega) t’ \right] \).
变换后：
\(k’ = \gamma \left( k - \frac{\omega v}{c^2} \right)\),
\(\omega’ = \gamma (\omega - k v)\).
相速度：
\(v_p’ = \frac{\omega’}{k’} = \frac{\gamma (\omega - k v)}{\gamma \left( k - \frac{\omega v}{c^2} \right)} = \frac{\omega - k v}{k - \frac{\omega v}{c^2}}\)
\( =\frac{\frac{w}{k}-v}{1-\frac{w}{k} \frac{v}{c^2} } \)
\( =\frac{v_p-v}{1- \frac{v_p v}{c^2} } \)
如果 \( v_p =c \)，则：
\( v_p’ =\frac{c-v}{1-cv/c^2}=c \)
可见，洛伦兹变换反映的是波动（行波）现象。