解电磁波波动方程，右边不为0，而是一个有源项为aE 要解带有源项的电磁波波动方程，我们可以按照以下步骤进行推导和分析。考虑波动方程的右边不为零，而是一个有源项 \( a \mathbf{E} \)，其中 \( a \) 是一个常数，\( \mathbf{E} \) 是电场矢量。

1. 电磁波波动方程的一般形式

在自由空间中，电磁波的波动方程通常写作：

\[ \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 \]

其中，\( \mu_0 \) 是真空磁导率，\( \epsilon_0 \) 是真空介电常数。

2. 加入有源项

现在，我们考虑波动方程的右边有一个有源项 \( a \mathbf{E} \)，即：

\[ \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = a \mathbf{E} \]

3. 假设时谐场

为了简化问题，我们假设电场是时谐的，即：

\[ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} \]

将其代入波动方程：

\[ \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} - \mu_0 \epsilon_0 (-i \omega)^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} = a \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} \]

化简后得到：

\[ \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) + \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) = a \mathbf{E}(\mathbf{r}) \]

整理：

\[ \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) + (\mu_0 \epsilon_0 \omega^2 - a) \mathbf{E}(\mathbf{r}) = 0 \]

4. 定义新的波数

令：

\[ k^2 = \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 - a \]

则方程变为：

\[ \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) + k^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) = 0 \]

这是标准的亥姆霍兹方程，其解的形式取决于边界条件和具体的几何形状。

5. 解的物理意义

  • 如果 \( \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 > a \)，即 \( k^2 > 0 \)，则 \( k \) 为实数，解为传播的电磁波。
  • 如果 \( \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 < a \)，即 \( k^2 < 0 \)，则 \( k \) 为虚数，解为衰减的场（无传播）。
  • 如果 \( \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 = a \)，即 \( k = 0 \)，解为静态场。

6. 平面波解

假设解为平面波形式：

\[ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \mathbf{E}_0 e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \]

代入亥姆霍兹方程：

\[ -|\mathbf{k}|^2 \mathbf{E}_0 e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} + k^2 \mathbf{E}_0 e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} = 0 \]

因此：

\[ |\mathbf{k}|^2 = k^2 = \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 - a \]

即：

\[ |\mathbf{k}| = \sqrt{\mu_0 \epsilon_0 \omega^2 - a} \]

7. 色散关系

从 \( |\mathbf{k}| = \sqrt{\mu_0 \epsilon_0 \omega^2 - a} \)，可以得到色散关系：

\[ \omega^2 = \frac{|\mathbf{k}|^2 + a}{\mu_0 \epsilon_0} \]

这表明有源项 \( a \) 改变了电磁波的色散关系。

8. 物理意义

  • 有源项 \( a \mathbf{E} \) 可以理解为某种极化或电流的贡献，类似于介质中的极化效应。
  • 如果 \( a > 0 \)，相当于增加了介质的介电常数，导致波的传播速度减小。
  • 如果 \( a < 0 \)，相当于减少了介质的介电常数，导致波的传播速度增大。

9. 一般解

对于具体的问题，需要结合边界条件和初始条件求解亥姆霍兹方程。解的形式可能包括：

  • 平面波解（无限空间）。
  • 球面波解（点源）。
  • 柱面波解（线源）。
  • 波导或谐振腔中的模式解（有边界条件）。

10. 总结

带有源项 \( a \mathbf{E} \) 的电磁波波动方程可以通过假设时谐场简化为亥姆霍兹方程：

\[ \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) + k^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) = 0 \]

其中：

\[ k^2 = \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 - a \]

解的形式取决于 \( k^2 \) 的符号和边界条件。

前面的有源场怎么简化为亥姆霍兹方程

问题回顾

我们需要将带有源项 \( a \mathbf{E} \) 的电磁波波动方程：

\[ \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = a \mathbf{E} \]

简化为亥姆霍兹方程的形式。具体步骤如下：

第一步：假设时谐场

电磁波通常是时谐的（单频振荡），因此可以假设电场的形式为：

\[ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} \]

其中：

  • \(\mathbf{E}(\mathbf{r})\) 是电场的空间部分。
  • \(\omega\) 是角频率。
  • \(e^{-i \omega t}\) 是时间依赖的相位因子。

第二步：代入波动方程

将时谐场的形式代入原方程：

\[ \nabla^2 \left( \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} \right) - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left( \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} \right) = a \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} \]

计算各项：

  1. 空间部分： \[ \nabla^2 \left( \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} \right) = \left( \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) \right) e^{-i \omega t} \] （因为 \(e^{-i \omega t}\) 与空间坐标无关）

  2. 时间部分： \[ \frac{\partial}{\partial t} \left( \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} \right) = -i \omega \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} \] \[ \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left( \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} \right) = (-i \omega)^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} = -\omega^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} \]

代入后：

\[ \left( \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) \right) e^{-i \omega t} - \mu_0 \epsilon_0 \left( -\omega^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} \right) = a \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} \]

化简：

\[ \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) + \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) = a \mathbf{E}(\mathbf{r}) \]

第三步：整理为亥姆霍兹方程

将方程整理为：

\[ \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) + \left( \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 - a \right) \mathbf{E}(\mathbf{r}) = 0 \]

定义：

\[ k^2 = \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 - a \]

则方程变为标准的亥姆霍兹方程：

\[ \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) + k^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) = 0 \]

第四步：讨论 \( k^2 \) 的物理意义

\( k^2 \) 的值决定了方程的解的性质：

  1. **\( k^2 > 0 \)（即 \( \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 > a \））**：

    • \( k \) 为实数，解为传播的电磁波（振荡解）。
    • 例如：自由空间中的电磁波。

  2. **\( k^2 < 0 \)（即 \( \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 < a \））**：

    • \( k \) 为虚数，设 \( k = i \mu \)，则方程变为：

      \[ \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) - \mu^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) = 0 \]

    • 解为指数衰减或增长的形式（类似汤川势）。

    • 物理意义：电磁波无法传播，表现为衰减场。

  3. **\( k^2 = 0 \)（即 \( \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 = a \））**：

    • 方程退化为拉普拉斯方程：

      \[ \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) = 0 \]

    • 解为静态场（如静电场或无源磁场）。

第五步：解的示例

1. 传播波解（\( k^2 > 0 \)）

假设 \( \mathbf{E}(\mathbf{r}) \) 沿 \( z \) 方向传播，解为：

\[ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \mathbf{E}_0 e^{i k z} \]

2. 衰减解（\( k^2 < 0 \)）

设 \( k = i \mu \)，解为：

\[ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \mathbf{E}_0 \frac{e^{-\mu r}}{r} \]

这是汤川势的形式，表示场随距离指数衰减。

第六步：源项的物理意义

源项 \( a \mathbf{E} \) 可以理解为：

  1. 极化效应：

    • 类似于介质中的极化电荷产生的附加场。
    • 例如：等离子体中的电磁波传播，\( a \) 与等离子体频率相关。

  2. 等效质量项：

    • 在量子场论中，类似的项（如 \( m^2 \phi \)）表示场的质量。
    • 这里 \( a \) 可以类比为“电磁波的有效质量”。

  3. 阻尼或增益：

    • 如果 \( a \) 是复数，可能表示介质的吸收或增益。

第七步：从麦克斯韦方程组出发的推导

更严格地，可以从麦克斯韦方程组出发推导有源项的来源。例如：

  • 如果介质中存在极化 \( \mathbf{P} = \epsilon_0 \chi \mathbf{E} \)，则：

    \[ \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = \mu_0 \frac{\partial^2 \mathbf{P}}{\partial t^2} \] 代入 \( \mathbf{P} \)：

    \[ \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 (1 + \chi) \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 \] 这与之前的方程形式一致，其中 \( a \) 与 \( \chi \) 相关。

第八步：总结

  1. 通过假设时谐场 \( \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} \)，将时域波动方程转化为空间域的亥姆霍兹方程。
  2. 源项 \( a \mathbf{E} \) 导致 \( k^2 = \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 - a \)，影响波的传播性质。
  3. 当 \( k^2 < 0 \) 时，解为指数衰减形式（汤川势）。

数学补充：格林函数解

如果方程右侧有源项 \( \mathbf{J}(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r}) \)，则解为格林函数形式：

\[ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \int \mathbf{J}(\mathbf{r}’) G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) d^3 r’ \]

对于 \( \nabla^2 G - \mu^2 G = -\delta(\mathbf{r}) \)，格林函数为：

\[ G(\mathbf{r}) = \frac{e^{-\mu r}}{4 \pi r} \]

这正是汤川势的形式。

a=(mc/hbar)^2, 则k的形式分析

问题设定

考虑修正后的有源项 \( a = \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \)，波动方程为：

\[ \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \mathbf{E} \]

假设时谐场 \(\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t}\)，代入后得到 亥姆霍兹方程：

\[ \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) + k^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) = 0 \]

其中：

\[ k^2 = \mu_0 \epsilon_0 \omega^2 - \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \]

由于 \(\mu_0 \epsilon_0 = \frac{1}{c^2}\)，因此：

\[ k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \]

1. 波数 \(k\) 的表达式

\[ k = \sqrt{\frac{\omega^2}{c^2} - \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}} \]

2. 三种情况的物理分析

(1) 高频情况（\(\omega > \frac{m c^2}{\hbar}\)）

此时 \(k^2 > 0\)，\(k\) 为实数：

\[ k = \sqrt{\frac{\omega^2}{c^2} - \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}} \]

物理意义：

  • 电磁波可以传播，但波数 \(k\) 比自由空间（\(a=0\)）时小。
  • 相速度 \(v_p = \frac{\omega}{k} > c\)（超光速，但群速度 \(v_g = \frac{d\omega}{dk}\) 可能不超过 \(c\)）。
  • 类似于 相对论性粒子的色散关系（\(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\)）。

(2) 临界情况（\(\omega = \frac{m c^2}{\hbar}\)）

此时 \(k = 0\)：

\[ \omega_c = \frac{m c^2}{\hbar} \]

物理意义：

  • 电磁波无法传播（截止频率）。
  • 场表现为静态分布（类似静电场）。
  • 这个频率 \(\omega_c\) 对应于 粒子的康普顿频率（Compton frequency），即 \(E = \hbar \omega_c = m c^2\)。

(3) 低频情况（\(\omega < \frac{m c^2}{\hbar}\)）

此时 \(k^2 < 0\)，设 \(k = i \kappa\)（\(\kappa\) 为实数）：

\[ \kappa = \sqrt{\frac{m^2 c^2}{\hbar^2} - \frac{\omega^2}{c^2}} \]

物理意义：

  • 电磁波无法传播，解为 指数衰减 形式：

    \[ \mathbf{E}(\mathbf{r}) \sim \frac{e^{-\kappa r}}{r} \]

  • 衰减长度 \(\lambda_d = \kappa^{-1}\) 由质量 \(m\) 和频率 \(\omega\) 决定。

  • 当 \(\omega \to 0\)（静态极限），\(\kappa \to \frac{m c}{\hbar}\)，解退化为 汤川势（Yukawa potential）：

    \[ \mathbf{E}(\mathbf{r}) \sim \frac{e^{-(m c / \hbar) r}}{r} \]

3. 与克莱因-戈登方程的类比

这个方程的形式类似于 克莱因-戈登方程（Klein-Gordon equation）：

\[ \left( \nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \phi = \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \phi \]

  • 在量子场论中，它描述 自旋 0 的标量粒子（如 Higgs 玻色子）。
  • 这里的电磁波方程类似，但 \(\mathbf{E}\) 是矢量场，因此可能对应某种 矢量玻色子（如 W/Z 玻色子） 的传播。

4. 物理意义总结

  1. 截止频率 \(\omega_c = \frac{m c^2}{\hbar}\)：

    • 低于该频率时，电磁波无法传播，表现为指数衰减。
    • 高于该频率时，电磁波可以传播，但波数 \(k\) 受质量项影响。

  2. 衰减解（\(\omega < \omega_c\)）：

    • 类似于 汤川势，表示场在短距离内被“屏蔽”。
    • 衰减长度 \(\lambda_d = \kappa^{-1}\) 由质量 \(m\) 决定：
      • 质量越大，衰减越快（短程力）。
      • 质量越小，衰减越慢（长程力）。

  3. 高频传播（\(\omega > \omega_c\)）：

    • 类似于 相对论性粒子的德布罗意波，色散关系为：

      \[ \omega^2 = k^2 c^2 + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \]

5. 可能的修正与讨论

如果 \(a = \frac{m c}{\hbar}\)（而非 \(m^2 c^2 / \hbar^2\)），则：

  • 截止频率 \(\omega_c = c \sqrt{\frac{m c}{\hbar}}\)（不同于康普顿频率）。
  • 衰减长度 \(\lambda_d \sim \sqrt{\hbar / m c}\)（类似于康普顿波长）。

但 \(a = \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\) 更符合量子场论的标准形式，因为：

  • 它直接对应 粒子的静止能量 \(E = m c^2\)。
  • 与 克莱因-戈登方程 一致。

6. 结论

对于 \(a = \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\)：

  1. 传播条件：

    • \(\omega > \frac{m c^2}{\hbar}\)（电磁波可传播）。
    • \(\omega < \frac{m c^2}{\hbar}\)（电磁波指数衰减）。

  2. 衰减解：

    • 类似于汤川势，衰减长度 \(\lambda_d = \left( \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} - \frac{\omega^2}{c^2} \right)^{-1/2}\)。

  3. 物理类比：

    • 类似于 有质量的电磁波（Proca 方程）或 矢量玻色子的传播。

  4. 量子场论联系：

    • 与克莱因-戈登方程一致，可能描述某种 有质量矢量场 的传播。

最终答案

当有源项 \(a = \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\) 时，波数 \(k\) 的表达式为：

\[ k = \sqrt{\frac{\omega^2}{c^2} - \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}} \]

三种情况：

  1. \(\omega > \frac{m c^2}{\hbar}\)：波可传播，类似相对论性粒子。
  2. \(\omega = \frac{m c^2}{\hbar}\)：临界截止（康普顿频率）。
  3. \(\omega < \frac{m c^2}{\hbar}\)：波指数衰减（汤川势形式）。

物理意义：

  • 该方程可能描述 有质量的电磁场（如 Proca 方程）或 矢量玻色子的传播。
  • 衰减解表明，低能（低频）情况下，场被“屏蔽”，类似于短程力（如核力）。

怎么会出现hbar w < mc^2的情况？这样根据相对论会有动量平方为负的情况，动量为只有垂直于运动方向的分量

问题核心

在电磁波波动方程中引入质量项 \(a = \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\) 后，得到色散关系：

\[ k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \]

当 \(\hbar \omega < m c^2\) 时，\(k^2 < 0\)，即波数 \(k\) 为虚数，电磁波无法传播，表现为指数衰减（汤川势）。但根据相对论能量-动量关系：

\[ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 \]

若 \(E = \hbar \omega < m c^2\)，似乎会导致 \(p^2 < 0\)，即动量为虚数，这与物理直觉矛盾。如何理解这一现象？

1. 相对论能量-动量关系的适用性

相对论关系 \(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\) 适用于 自由粒子（如电子、质子）。但在 场论 中，电磁场的量子化（光子）通常要求 \(m=0\)，即无质量。如果强行引入质量项 \(m\)，需明确其物理来源。

(1) 有质量电磁场（Proca 方程）

在 Proca 理论中，电磁场的运动方程为：

\[ \nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \mathbf{A} \]

对应的色散关系：

\[ \omega^2 = k^2 c^2 + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \]

此时：

  • 若 \(\hbar \omega < m c^2\)，则 \(k^2 < 0\)，场无法传播（衰减解）。
  • 这与相对论矛盾吗？不矛盾，因为 Proca 场描述的是 有质量的矢量玻色子（如 \(W^\pm, Z^0\)），其能量可以低于静止能量 \(m c^2\)（但此时粒子处于“虚粒子”态，无法自由传播）。

(2) 虚动量与量子隧穿

若 \(k = i \kappa\)（虚波数），解为 \(e^{-\kappa r}\)，表示场被局域化。这类似于：

  • 量子隧穿：粒子穿过势垒时，波函数指数衰减，动量表现为虚数。
  • 束缚态：能量低于势垒时，粒子无法自由运动。

因此，\(\hbar \omega < m c^2\) 时，场被“束缚”，无法传播，但并非违反相对论。

2. 为什么允许 \(\hbar \omega < m c^2\)？

(1) 场的激发能 vs 粒子静止能

  • 场的激发量子（如光子）通常无质量（\(\hbar \omega = pc\)）。
  • 如果场有质量（如 Proca 场），其量子化后的粒子静止能为 \(m c^2\)。
  • 当 \(\hbar \omega < m c^2\)，场无法产生真实粒子，但可以存在 虚激发（类似虚光子），表现为指数衰减。

(2) 类比超导能隙

在超导体中，电磁场有效质量来自库珀对凝聚，光子能隙为 \(2\Delta\)（超导能隙）。若 \(\hbar \omega < 2\Delta\)，电磁波无法传播（Meissner 效应）。此时：

  • \(\hbar \omega < 2\Delta\) 对应 \(k^2 < 0\)（穿透深度 \(\lambda = 1/\kappa\)）。
  • 这是低能下的有效理论，不违反相对论。

3. 动量平方为负的物理意义

若强行套用 \(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\)，当 \(E < m c^2\) 时： \[ p^2 = \frac{E^2 - m^2 c^4}{c^2} < 0 \] 这表示：

  • 虚动量：粒子无法作为自由粒子存在，只能存在于束缚态或隧穿态。
  • 欧氏时空：在量子场论中，虚动量对应 Wick 旋转到欧氏空间（\(t \to -i\tau\)），用于计算瞬子或隧穿效应。

4. 垂直方向动量的可能性？

问题提到“动量为只有垂直于运动方向的分量”，这可能指：

  • 横向约束：如波导中的截止模式（\(\omega < \omega_c\) 时，纵向波数 \(k_z\) 为虚数，但横向动量 \(k_x, k_y\) 仍为实数）。
  • 虚波数的分解：若 \(k^2 = k_x^2 + k_z^2 < 0\)，可以设 \(k_z = i \kappa\)，则 \(k_x^2 - \kappa^2 = -\frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\)，即 \(k_x^2 = \kappa^2 - \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\)。此时：
    • 若 \(\kappa > \frac{m c}{\hbar}\)，\(k_x\) 为实数（横向振荡）。
    • 若 \(\kappa < \frac{m c}{\hbar}\)，\(k_x\) 也为虚数（全方向衰减）。

5. 物理实例

(1) 等离子体中的电磁波

在等离子体中，电磁波的色散关系为：

\[ \omega^2 = k^2 c^2 + \omega_p^2 \quad (\omega_p: \text{等离子体频率}) \]

当 \(\omega < \omega_p\)，\(k^2 < 0\)，波指数衰减（趋肤效应）。这与 \(m c^2 / \hbar\) 的截止行为一致。

(2) 核力中的汤川势

核力通过介子传递，势函数为 \(e^{-m r}/r\)，对应虚动量（\(k = i m\)）。此时 \(\hbar \omega \approx 0\)（静态极限），不违反相对论。

6. 结论

  1. \(\hbar \omega < m c^2\) 允许：

    • 在场论中，低能激发可表现为虚粒子或衰减模式，不违反相对论。
    • 类似超导能隙、等离子体截止频率等现象。

  2. 虚动量的意义：

    • 表示粒子无法自由传播，但可存在于束缚态或隧穿过程。
    • 在量子场论中，虚动量用于描述非传播模式（如 Yukawa 势）。

  3. 垂直方向动量：

    • 当 \(k^2 < 0\)，可以分解为横向实数动量和纵向虚动量，对应约束场（如波导截止模式）。

  4. 物理本质：

    • 质量项 \(m\) 的引入意味着场的激发需要最小能量 \(m c^2\)，低于此能量时场被局域化。

最终回答

当 \(\hbar \omega < m c^2\) 时：

  • 波动方程的解表现为指数衰减（虚波数），而非传播波。
  • 相对论能量-动量关系 \(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\) 仍成立，但此时 \(p\) 为虚数，表示粒子无法自由传播（虚粒子或隧穿态）。
  • 垂直方向动量可存在实数分量（如波导中的横向模式），但整体波数 \(k\) 为虚数，场被局域化。
  • 物理实例：超导能隙、等离子体截止频率、核力的汤川势均支持这一行为，无矛盾。