球对称波动方程描述了在球对称情况下波的传播行为，例如声波或电磁波在均匀介质中的传播。假设解仅依赖于径向距离 \( r \) 和时间 \( t \)，而不依赖于角度方向（即球对称），则三维波动方程可以简化为：
球对称波动方程的形式
三维波动方程的一般形式为： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \] 在球坐标系下，拉普拉斯算子 \( \nabla^2 \) 对于仅依赖于 \( r \) 的函数 \( u(r,t) \) 简化为： \[ \nabla^2 u = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial u}{\partial r} \] 因此，球对称波动方程为： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial u}{\partial r} \right) \]
变量代换简化
为了简化方程，可以引入新的变量 \( v(r,t) = r u(r,t) \)。代入原方程后，得到： \[ \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 v}{\partial r^2} \] 这是一维波动方程，其通解为： \[ v(r,t) = f(r - ct) + g(r + ct) \] 其中 \( f \) 和 \( g \) 是任意二次可微函数，分别表示向外和向内传播的波。
解的形式
还原变量 \( u(r,t) = \frac{v(r,t)}{r} \)，得到球对称波动方程的解： \[ u(r,t) = \frac{f(r - ct)}{r} + \frac{g(r + ct)}{r} \]
- 第一项 \( \frac{f(r - ct)}{r} \) 表示从原点向外传播的球面波，振幅随 \( 1/r \) 衰减。
- 第二项 \( \frac{g(r + ct)}{r} \) 表示向内汇聚的球面波（物理中较少见，除非有特殊边界条件）。
物理意义
球对称波动方程的解表明：
- 振幅衰减：波的振幅随距离 \( r \) 成反比衰减，这是能量守恒的结果（能量分布在不断扩大的球面上）。
- 传播特性：波以速度 \( c \) 向外或向内传播，保持波形（但振幅变化）。
示例
例如，点源发出的声波在均匀介质中的压力场可以表示为： \[ u(r,t) = \frac{A}{r} \cos(kr - \omega t) \] 其中 \( A \) 是振幅，\( k = \omega/c \) 是波数，\( \omega \) 是角频率。
边界条件与初值问题
具体解需要初始条件（如 \( u(r,0) \) 和 \( \frac{\partial u}{\partial t}(r,0) \)）和边界条件（如 \( u(0,t) \) 有限或辐射条件）。对于无界空间，解通常仅包含外向波 \( \frac{f(r - ct)}{r} \)。
如果需要进一步讨论数学细节或具体问题，可以补充说明！