在动心系，p=-k, 入射pi+介子与之子的相对速率

问题陈述

在动心系（质心系）中，\( p = -k \)，入射 \( \pi^+ \) 介子与之子的相对速率。

理解问题

首先，我们需要明确几个关键术语和概念：

  1. 动心系（质心系，Center-of-Mass Frame, CM Frame）：这是指一个参考系，其中系统的总动量为零。对于两个粒子的碰撞，质心系中两个粒子的动量大小相等、方向相反。

  2. \( p \) 和 \( k \)：通常在粒子物理中，\( p \) 可以代表动量，\( k \) 也可以代表动量。这里的 \( p = -k \) 表示在质心系中，两个粒子的动量方向相反，大小相等。

  3. \( \pi^+ \) 介子：这是带正电的π介子，质量为约140 MeV/c²。

  4. 之子：这里的“之子”可能有笔误，可能是“质子”（proton），因为“质子”在中文里有时被简称为“子”。质子的质量约为938 MeV/c²。

假设“之子”为“质子”，那么问题描述的是 \( \pi^+ \) 介子与质子在质心系中的碰撞，且它们的动量满足 \( p = -k \)。

  1. 相对速率：相对速率是指两个物体之间的速度差值的大小。对于两个同一直线上运动的物体，相对速率为 \( |v_1 - v_2| \)。

解题步骤

我们需要计算在质心系中，\( \pi^+ \) 介子和质子的相对速率。已知：

  • \( \pi^+ \) 介子的动量：\( p \)
  • 质子的动量：\( k = -p \)（因为 \( p = -k \)）
  • \( \pi^+ \) 介子的质量：\( m_\pi \approx 140 \text{ MeV}/c^2 \)
  • 质子的质量：\( m_p \approx 938 \text{ MeV}/c^2 \)

在质心系中，两个粒子的动量大小相等、方向相反，因此：

\[ p_\pi = p \] \[ p_p = -p \]

1. 计算 \( \pi^+ \) 介子的速度

相对论中，动量与速度的关系为：

\[ p = \gamma m v \] \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

因此，\( \pi^+ \) 介子的速度为：

\[ v_\pi = \frac{p}{\gamma_\pi m_\pi} \] \[ \gamma_\pi = \sqrt{1 + \left(\frac{p}{m_\pi c}\right)^2} \]

所以：

\[ v_\pi = \frac{p}{m_\pi \sqrt{1 + \left(\frac{p}{m_\pi c}\right)^2}} = \frac{p c^2}{\sqrt{p^2 c^2 + m_\pi^2 c^4}} \]

2. 计算质子的速度

同理，质子的动量为 \( -p \)，所以：

\[ v_p = \frac{-p}{\gamma_p m_p} \] \[ \gamma_p = \sqrt{1 + \left(\frac{p}{m_p c}\right)^2} \]

\[ v_p = \frac{-p c^2}{\sqrt{p^2 c^2 + m_p^2 c^4}} \]

3. 计算相对速率

相对速率为：

\[ v_{\text{rel}} = |v_\pi - v_p| = \left| \frac{p c^2}{\sqrt{p^2 c^2 + m_\pi^2 c^4}} - \left( \frac{-p c^2}{\sqrt{p^2 c^2 + m_p^2 c^4}} \right) \right| \] \[ = \frac{p c^2}{\sqrt{p^2 c^2 + m_\pi^2 c^4}} + \frac{p c^2}{\sqrt{p^2 c^2 + m_p^2 c^4}} \] \[ = p c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{p^2 c^2 + m_\pi^2 c^4}} + \frac{1}{\sqrt{p^2 c^2 + m_p^2 c^4}} \right) \]

可以提取 \( c \)：

\[ = p c \left( \frac{1}{\sqrt{p^2 + m_\pi^2 c^2}} + \frac{1}{\sqrt{p^2 + m_p^2 c^2}} \right) \]

4. 简化表达式

为了进一步简化，可以设 \( p \) 的单位为 MeV/c，质量的单位为 MeV/c²，则 \( c = 1 \)（自然单位制）：

\[ v_{\text{rel}} = p \left( \frac{1}{\sqrt{p^2 + m_\pi^2}} + \frac{1}{\sqrt{p^2 + m_p^2}} \right) \]

5. 特殊情况

如果题目中 \( p \) 和 \( k \) 的具体数值或关系已知，可以进一步计算。但题目仅给出 \( p = -k \)，即动量大小相等、方向相反，因此相对速率如上所示。

可能的简化假设

如果假设 \( p \) 较小（非相对论情况），即 \( p \ll m_\pi, m_p \)，则：

\[ \sqrt{p^2 + m^2} \approx m \left(1 + \frac{p^2}{2 m^2}\right) \] \[ \frac{1}{\sqrt{p^2 + m^2}} \approx \frac{1}{m} \left(1 - \frac{p^2}{2 m^2}\right) \]

因此：

\[ v_{\text{rel}} \approx p \left( \frac{1}{m_\pi} + \frac{1}{m_p} \right) = p \left( \frac{m_p + m_\pi}{m_\pi m_p} \right) \]

然而，题目没有给出 \( p \) 的具体值，因此无法进一步数值计算。

可能的预期答案

如果题目期望的是用 \( p \) 和粒子质量表达的相对速率，那么：

\[ v_{\text{rel}} = p \left( \frac{1}{\sqrt{p^2 + m_\pi^2}} + \frac{1}{\sqrt{p^2 + m_p^2}} \right) \]

（在自然单位制 \( c = 1 \) 下）

检查量纲

在自然单位制中：

  • \( p \): MeV/c
  • \( m \): MeV/c²
  • \( v \): 无量纲（因为 \( v = \beta c \), \( \beta \) 是无量纲的）

表达式中：

\[ \frac{p}{\sqrt{p^2 + m^2}} \] 是无量纲的，因此 \( v_{\text{rel}} \) 也是无量纲的（即相对于光速的比值）。

可能的误解

如果“之子”不是质子，而是其他粒子（如中子、其他介子等），则需要知道其质量。但“之子”最可能是“质子”的笔误。

结论

在质心系中，入射 \( \pi^+ \) 介子与质子（假设“之子”为质子）的相对速率为：

\[ v_{\text{rel}} = p \left( \frac{1}{\sqrt{p^2 + m_\pi^2}} + \frac{1}{\sqrt{p^2 + m_p^2}} \right) \]

其中 \( p \) 是 \( \pi^+ \) 介子在质心系中的动量大小，\( m_\pi \) 和 \( m_p \) 分别是 \( \pi^+ \) 介子和质子的质量，采用自然单位制（\( c = 1 \)）。

如果 \( p \) 的具体数值已知，可以代入计算具体的相对速率值。

是否等于|k|/w_pi + |p|/w_p

问题重述

在动心系（质心系）中，\( \mathbf{p} = -\mathbf{k} \)，入射 \( \pi^+ \) 介子与之子（假设为质子）的相对速率是否等于：

\[ \frac{|\mathbf{k}|}{\omega_\pi} + \frac{|\mathbf{p}|}{\omega_p} \]

其中：

  • \( \omega_\pi = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m_\pi^2} \) 是 \( \pi^+ \) 介子的相对论性能量，
  • \( \omega_p = \sqrt{|\mathbf{k}|^2 + m_p^2} \) 是质子的相对论性能量。

理解相对速率

相对速率是指两个物体之间的速度差的大小。在质心系中，\( \pi^+ \) 介子和质子的动量方向相反，因此它们的速度方向也相反。相对速率为：

\[ v_{\text{rel}} = |v_\pi - v_p| \]

由于 \( v_p \) 方向与 \( v_\pi \) 相反，所以：

\[ v_{\text{rel}} = |v_\pi| + |v_p| \]

相对论速度与动量关系

在相对论中，动量 \( \mathbf{p} \) 和速度 \( \mathbf{v} \) 的关系为：

\[ \mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \]

因此，速度可以表示为：

\[ \mathbf{v} = \frac{\mathbf{p}}{\gamma m} = \frac{\mathbf{p} c^2}{E} \]

其中 \( E = \gamma m c^2 = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} \) 是粒子的总能量。在自然单位制（\( c = 1 \)）中：

\[ \mathbf{v} = \frac{\mathbf{p}}{E} \]

因此：

\[ v_\pi = \frac{|\mathbf{p}|}{\omega_\pi}, \quad v_p = \frac{|\mathbf{k}|}{\omega_p} \]

相对速率的表达式

由于 \( \mathbf{p} = -\mathbf{k} \)，所以 \( |\mathbf{p}| = |\mathbf{k}| \)，因此：

\[ v_{\text{rel}} = \frac{|\mathbf{p}|}{\omega_\pi} + \frac{|\mathbf{k}|}{\omega_p} = |\mathbf{p}| \left( \frac{1}{\omega_\pi} + \frac{1}{\omega_p} \right) \]

这与题目中给出的形式一致：

\[ \frac{|\mathbf{k}|}{\omega_\pi} + \frac{|\mathbf{p}|}{\omega_p} \]

由于 \( |\mathbf{p}| = |\mathbf{k}| \)，所以：

\[ \frac{|\mathbf{k}|}{\omega_\pi} + \frac{|\mathbf{p}|}{\omega_p} = |\mathbf{p}| \left( \frac{1}{\omega_\pi} + \frac{1}{\omega_p} \right) = v_{\text{rel}} \]

验证

让我们验证一下量纲是否正确：

  • \( |\mathbf{p}| \) 和 \( |\mathbf{k}| \)：动量（能量单位，因为 \( c = 1 \)）
  • \( \omega_\pi \) 和 \( \omega_p \)：能量
  • \( \frac{|\mathbf{p}|}{\omega_\pi} \)：无量纲（即速度，因为 \( v = \frac{p}{E} \)）

因此，\( \frac{|\mathbf{k}|}{\omega_\pi} + \frac{|\mathbf{p}|}{\omega_p} \) 是无量纲的，确实是相对速率（相对于光速 \( c \) 的比值）。

可能的混淆

如果“之子”不是质子，而是其他粒子，则需要知道其质量 \( m \)，但通常“之子”可能是“质子”的笔误。如果是其他粒子，只需替换 \( m_p \) 为其质量即可。

结论

是的，在质心系中，入射 \( \pi^+ \) 介子与之子（假设为质子）的相对速率等于：

\[ \frac{|\mathbf{k}|}{\omega_\pi} + \frac{|\mathbf{p}|}{\omega_p} \]

因为：

  1. \( \mathbf{p} = -\mathbf{k} \)，所以 \( |\mathbf{p}| = |\mathbf{k}| \)。
  2. 相对速率 \( v_{\text{rel}} = |v_\pi| + |v_p| = \frac{|\mathbf{p}|}{\omega_\pi} + \frac{|\mathbf{k}|}{\omega_p} \)。

\(v=p/m=\hbar k/m=k/m/\hbar=k c^2/w \)