符号 |
在量子力学中具有非常明确且重要的含义,它是狄拉克(Dirac)符号系统的一部分,用于表示量子态向量。
🌟 一、符号 |ψ>
是什么意思?
它叫做 “ket” 向量
- 写作:
|ψ>
,读作 “ket psi” - 表示一个量子态的列向量,在希尔伯特空间中。
- 这是保罗·狄拉克(Paul Dirac)提出的一种简洁而强大的记号系统。
示例:
假设一个两能级系统的状态是:
$$ |\psi\rangle = \begin{bmatrix} c_1 \ c_2 \end{bmatrix} $$
我们就可以写成:
$$ |\psi\rangle = c_1 |0\rangle + c_2 |1\rangle $$
其中:
- $|0\rangle = \begin{bmatrix}1 \ 0\end{bmatrix}$,
- $|1\rangle = \begin{bmatrix}0 \ 1\end{bmatrix}$, 是两个基矢。
🧮 二、与之相关的符号还有 <φ|
这是所谓的 “bra” 向量:
-
写作:
<φ|
,读作 “bra phi” -
是 ket 向量的共轭转置(Hermitian conjugate):
$$ |\phi\rangle = \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}, \quad \langle\phi| = \begin{bmatrix} a^* & b^* \end{bmatrix} $$
💡 三、组合起来:⟨φ|ψ⟩
和 |ψ⟩⟨φ|
1. 内积(Inner product):⟨φ|ψ⟩
是一个复数,表示两个态之间的重叠程度:
$$ \langle\phi|\psi\rangle = a^* c + b^* d $$
如果 ⟨φ|ψ⟩ = 0
,说明这两个态正交。
2. 外积(Outer product):|ψ⟩⟨φ|
是一个矩阵,作用是将一个态映射到另一个态:
$$ |\psi\rangle\langle\phi| = \begin{bmatrix}c \ d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a^* & b^\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c a^ & c b^* \\ d a^* & d b^* \end{bmatrix} $$
📌 四、总结:符号表
符号 | 名称 | 含义 |
---|---|---|
` | ψ⟩` | ket 向量 |
`⟨φ | ` | bra 向量 |
`⟨φ | ψ⟩` | 内积 |
` | ψ⟩⟨φ | ` |
✅ 举个例子:
设:
$$ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 \ 1\end{bmatrix} $$
那么它的 bra 是:
$$ \langle\psi| = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 & 1\end{bmatrix} $$
内积:
$$ \langle\psi|\psi\rangle = \frac{1}{2}(1 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = 1 $$
说明这是一个归一化态。
如果你刚开始学习量子力学或量子计算,这个符号系统一开始可能会觉得陌生,但它非常强大,能帮助你清晰地表达量子态、测量、演化等概念。
如果你想,我也可以为你画一张图来直观解释这些符号的关系 😊