符号 | 在量子力学中具有非常明确且重要的含义,它是狄拉克(Dirac)符号系统的一部分,用于表示量子态向量


🌟 一、符号 |ψ> 是什么意思?

它叫做 “ket” 向量

  • 写作:|ψ>,读作 “ket psi”
  • 表示一个量子态的列向量,在希尔伯特空间中。
  • 这是保罗·狄拉克(Paul Dirac)提出的一种简洁而强大的记号系统。

示例:

假设一个两能级系统的状态是:

$$ |\psi\rangle = \begin{bmatrix} c_1 \ c_2 \end{bmatrix} $$

我们就可以写成:

$$ |\psi\rangle = c_1 |0\rangle + c_2 |1\rangle $$

其中:

  • $|0\rangle = \begin{bmatrix}1 \ 0\end{bmatrix}$,
  • $|1\rangle = \begin{bmatrix}0 \ 1\end{bmatrix}$, 是两个基矢。

🧮 二、与之相关的符号还有 <φ|

这是所谓的 “bra” 向量

  • 写作:<φ|,读作 “bra phi”

  • 是 ket 向量的共轭转置(Hermitian conjugate):

    $$ |\phi\rangle = \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}, \quad \langle\phi| = \begin{bmatrix} a^* & b^* \end{bmatrix} $$


💡 三、组合起来:⟨φ|ψ⟩|ψ⟩⟨φ|

1. 内积(Inner product):⟨φ|ψ⟩

是一个复数,表示两个态之间的重叠程度:

$$ \langle\phi|\psi\rangle = a^* c + b^* d $$

如果 ⟨φ|ψ⟩ = 0,说明这两个态正交。


2. 外积(Outer product):|ψ⟩⟨φ|

是一个矩阵,作用是将一个态映射到另一个态:

$$ |\psi\rangle\langle\phi| = \begin{bmatrix}c \ d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a^* & b^\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c a^ & c b^* \\ d a^* & d b^* \end{bmatrix} $$


📌 四、总结:符号表

符号 名称 含义
` ψ⟩` ket 向量
`⟨φ ` bra 向量
`⟨φ ψ⟩` 内积
` ψ⟩⟨φ `

✅ 举个例子:

设:

$$ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 \ 1\end{bmatrix} $$

那么它的 bra 是:

$$ \langle\psi| = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 & 1\end{bmatrix} $$

内积:

$$ \langle\psi|\psi\rangle = \frac{1}{2}(1 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = 1 $$

说明这是一个归一化态。


如果你刚开始学习量子力学或量子计算,这个符号系统一开始可能会觉得陌生,但它非常强大,能帮助你清晰地表达量子态、测量、演化等概念。


如果你想,我也可以为你画一张图来直观解释这些符号的关系 😊