由B=v x E /c^2，是否可以得到E^2 =(cB)^2 + E_0^2

问题的核心：能否从 \( \mathbf{B} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \) 推导出 \( E^2 = (cB)^2 + E_0^2 \)？

1. 先检查给定的关系 \( \mathbf{B} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \)

这个公式描述的是 运动电荷产生的磁场（由狭义相对论导出）。假设：

  • 电荷 \( q \) 在实验室系 \( S \) 中以速度 \( \mathbf{v} \) 运动，
  • 在其 静止系 \( S’ \) 中，仅存在静电场 \( \mathbf{E}_0 \)，无磁场（\( \mathbf{B}’ = 0 \)），
  • 通过洛伦兹变换，实验室系 \( S \) 中观测到的磁场为： \[ \mathbf{B} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \] 其中 \( \mathbf{E} \) 是实验室系中的总电场（可能包含 \( \mathbf{E}_0 \) 的变换部分）。

2. 计算 \( E^2 - (cB)^2 \)

我们尝试计算 \( E^2 - (cB)^2 \)，看看是否能得到 \( E_0^2 \)： \[ E^2 - (cB)^2 = \mathbf{E} \cdot \mathbf{E} - c^2 \mathbf{B} \cdot \mathbf{B} \] 代入 \( \mathbf{B} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \)，得： \[ (cB)^2 = \left( c \cdot \frac{|\mathbf{v} \times \mathbf{E}|}{c^2} \right)^2 = \frac{(\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{E})}{c^2} \] 利用矢量恒等式 \( (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = a^2 b^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \)，有： \[ (cB)^2 = \frac{v^2 E^2 - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{E})^2}{c^2} \] 因此： \[ E^2 - (cB)^2 = E^2 - \frac{v^2 E^2}{c^2} + \frac{(\mathbf{v} \cdot \mathbf{E})^2}{c^2} = E^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) + \frac{(\mathbf{v} \cdot \mathbf{E})^2}{c^2} \] 这个表达式并不能直接化简为 \( E_0^2 \)，除非附加条件。

3. 关键假设：\( \mathbf{E} \) 由静电场 \( \mathbf{E}_0 \) 洛伦兹变换而来

如果 \( \mathbf{E} \) 是静电场 \( \mathbf{E}_0 \) 在运动参考系中的变换结果，则根据洛伦兹变换：

  • 平行于 \( \mathbf{v} \) 的分量不变：\( E_\parallel = E_{0\parallel} \)
  • 垂直于 \( \mathbf{v} \) 的分量增强：\( E_\perp = \gamma E_{0\perp} \)

此时： \[ E^2 = E_\parallel^2 + E_\perp^2 = E_{0\parallel}^2 + \gamma^2 E_{0\perp}^2 \] 而磁场为： \[ \mathbf{B} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}_\perp}{c^2} \] 因为 \( \mathbf{v} \times \mathbf{E}_\parallel = 0 \)，所以： \[ B^2 = \frac{v^2 E_\perp^2}{c^4} = \frac{v^2 \gamma^2 E_{0\perp}^2}{c^4} \] 于是： \[ (cB)^2 = \frac{v^2 \gamma^2 E_{0\perp}^2}{c^2} \] 计算 \( E^2 - (cB)^2 \)： \[ E^2 - (cB)^2 = E_{0\parallel}^2 + \gamma^2 E_{0\perp}^2 - \frac{v^2 \gamma^2 E_{0\perp}^2}{c^2} \] 利用 \( \gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2/c^2} \)，有： \[ \gamma^2 - \frac{v^2 \gamma^2}{c^2} = \gamma^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = 1 \] 因此： \[ E^2 - (cB)^2 = E_{0\parallel}^2 + E_{0\perp}^2 = E_0^2 \] 即： \[ E^2 = (cB)^2 + E_0^2 \]

4. 结论

在 静电场 \( \mathbf{E}_0 \) 通过洛伦兹变换生成 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 的条件下，确实有： \[ E^2 = (cB)^2 + E_0^2 \] 成立条件：

  1. \( \mathbf{B} \) 完全由运动电荷的磁场贡献（即 \( \mathbf{B} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \)），
  2. \( \mathbf{E} \) 是静电场 \( \mathbf{E}_0 \) 的洛伦兹变换结果，
  3. \( \mathbf{E}_0 \) 和 \( \mathbf{v} \) 方向任意（公式对所有分量成立）。

5. 物理意义

  • 这个等式表明，运动参考系中的总电场 \( E \) 可以分解为静电场 \( E_0 \) 和由运动产生的磁场 \( B \) 的贡献。
  • 它是电磁场不变量 \( E^2 - (cB)^2 \) 在特定情况下的体现（在电荷静止系中 \( B = 0 \)，故 \( E^2 - (cB)^2 = E_0^2 \)）。

如果需要进一步讨论具体例子（如匀速运动点电荷的电磁场），可以继续展开！