1. 克莱因-戈登方程的起源
克莱因-戈登方程是相对论性的波动方程，形式为： \[ \left(\Box + m^2\right)\phi = 0 \quad \text{（其中} \Box = \partial_\mu \partial^\mu = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\text{）} \] 它是从相对论能量-动量关系 \(E^2 = p^2 + m^2\) 通过量子化替换 \(E \to i\partial_t\) 和 \(\mathbf{p} \to -i\nabla\) 导出的。
2. 概率密度的定义
在非相对论量子力学中，薛定谔方程的概率密度 \(\rho = \psi^*\psi\) 是正定的，且满足连续性方程 \(\partial_t \rho + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\)。
而对于克莱因-戈登方程，其自然的“概率密度”形式为： \[ \rho = \frac{i}{2m}\left(\phi^* \partial_t \phi - \phi \partial_t \phi^*\right) \] 这个表达式是从克莱因-戈登方程的守恒流 \(j^\mu = i\left(\phi^* \partial^\mu \phi - \phi \partial^\mu \phi^*\right)\) 中提取的时间分量（\(\rho = j^0\)）。由于 \(\partial_t \phi\) 和 \(\partial_t \phi^*\) 可以是任意的，\(\rho\) 可能取负值。
3. 负概率密度的物理意义
负概率密度在量子力学中是没有物理意义的（概率必须非负且归一化）。这一问题的根源在于：
- 克莱因-戈登方程是二阶时间微分方程，需要初始条件同时指定 \(\phi\) 和 \(\partial_t \phi\)，因此 \(\rho\) 的表达式依赖于场的“速度” \(\partial_t \phi\)，可能导致负值。
- 克莱因-戈登方程的解包括正能解和负能解，负能解的存在进一步导致概率密度的复杂性。
4. 量子场论的解决
在量子场论中，克莱因-戈登方程不再解释为单粒子波函数方程，而是描述场算符的方程。此时：
- \(\phi\) 是算符，而非概率幅。
- 负概率密度问题被重新诠释为电荷密度（对于复标量场），其中正负号对应正反粒子。
- 量子场论通过引入福克空间和二次量子化，将负能解解释为反粒子，从而解决了负概率问题。
5. 历史背景
克莱因-戈登方程是最早的相对论性量子力学方程，但因其负概率和负能解问题，狄拉克后来提出了狄拉克方程（描述自旋-1/2粒子），通过一阶时间导数和矩阵结构避免了负概率问题。然而，狄拉克方程仍然面临负能解的挑战，最终通过量子场论和反粒子的概念得到合理解释。
总结
克莱因-戈登方程的“负概率密度”问题源于其作为单粒子相对论性波函数的局限性。在量子场论框架下，该方程被重新解释为场算符的方程，负概率问题通过反粒子概念和二次量子化自然解决。因此，负概率密度并非真正的物理问题，而是单粒子理论的不完备性导致的表象。
\[ \rho(\mathbf{x}, t) = |\psi(\mathbf{x}, t)|^2 = \psi^*(\mathbf{x}, t) \psi(\mathbf{x}, t) \]
基本性质
-
非负性：\(\rho(\mathbf{x}, t) \geq 0\)（概率不能为负）。
-
归一化： \[ \int_{\text{全空间}} \rho(\mathbf{x}, t) , d^3x = 1 \] 表示粒子在全空间出现的总概率为 1。
-
守恒性（连续性方程）： 由薛定谔方程可以导出概率流密度 \(\mathbf{j}(\mathbf{x}, t)\)，满足： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0 \] 这保证了概率的局域守恒。
克莱因-戈登方程的概率密度问题
克莱因-戈登方程（Klein-Gordon equation, KG）是相对论性量子力学方程，用于描述自旋为 0 的粒子（如希格斯玻色子）。其形式为： \[ \left( \Box + m^2 \right) \phi = 0 \quad \text{（其中 \(\Box = \partial_t^2 - \nabla^2\)）} \]
KG 方程的概率密度
与薛定谔方程不同，KG 方程是二阶时间微分方程，其守恒流为： \[ j^\mu = i \left( \phi^* \partial^\mu \phi - \phi \partial^\mu \phi^* \right) \] 其中 \(\mu = 0,1,2,3\)，时间分量 \(j^0\) 被视作“概率密度”： \[ \rho = j^0 = i \left( \phi^* \partial_t \phi - \phi \partial_t \phi^* \right) \]
负概率问题
由于 \(\partial_t \phi\) 可以是任意的，\(\rho\) 可能为负值，这与概率密度的非负性矛盾。原因包括：
- 二阶时间导数：KG 方程需要初始条件 \(\phi\) 和 \(\partial_t \phi\)，导致 \(\rho\) 的表达式依赖于场的“速度”，可能取负值。
- 负能解：KG 方程允许负能量解，进一步导致概率密度异常。
量子场论的解决方案
在量子场论（QFT）中，KG 方程不再描述单粒子波函数，而是量子场算符 \(\hat{\phi}(x)\) 的运动方程：
- \(\phi\) 不再是概率幅，而是场算符，用于产生和湮灭粒子。
- 负概率密度被重新解释为电荷密度（对于复标量场），正负号对应粒子与反粒子。
- 通过二次量子化，负能解被解释为反粒子（如 \(\pi^+\) 和 \(\pi^-\)），解决了负概率问题。
总结
| 性质 | 薛定谔方程（非相对论） | 克莱因-戈登方程（相对论） | 量子场论（QFT） |
|---|---|---|---|
| 概率密度 \(\rho\) | \(\psi^\* \psi\)（正定） | \(i(\phi^* \partial_t \phi - \phi \partial_t \phi^*)\)（可负） | 解释为电荷密度 |
| 物理意义 | 粒子出现概率 | 单粒子理论下有问题 | 粒子/反粒子算符 |
| 解决方案 | 适用非相对论量子力学 | 需升级为量子场论 | 自然解决负概率 |
结论：
克莱因-戈登方程的负概率密度问题源于其作为单粒子相对论波函数的局限性。在量子场论中，它被重新解释为场算符方程，负概率问题通过反粒子概念和二次量子化得到解决。
从薛定谔方程导出连续性方程
在量子力学中，连续性方程（continuity equation）描述了概率密度的守恒，类似于流体力学中的质量守恒或电动力学中的电荷守恒。我们可以从含时薛定谔方程出发，推导出概率密度 \(\rho(\mathbf{x}, t)\) 和概率流密度 \(\mathbf{j}(\mathbf{x}, t)\) 所满足的连续性方程。
1. 薛定谔方程及其复共轭
考虑一个粒子的波函数 \(\psi(\mathbf{x}, t)\)，其满足含时薛定谔方程： \[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V(\mathbf{x}) \psi \] 其中：
- \(V(\mathbf{x})\) 是势能函数，
- \(\nabla^2\) 是拉普拉斯算符（空间二阶导数）。
为了构造 \(\rho\) 和 \(\mathbf{j}\)，我们还需要其复共轭方程（对薛定谔方程取复共轭）： \[ -i\hbar \frac{\partial \psi^*}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi^* + V(\mathbf{x}) \psi^\* \] （注意：\(V(\mathbf{x})\) 是实函数，所以 \(V^\* = V\)。）
2. 定义概率密度 \(\rho\) 和概率流密度 \(\mathbf{j}\)
- 概率密度： \[ \rho(\mathbf{x}, t) = |\psi(\mathbf{x}, t)|^2 = \psi^* \psi \]
- 概率流密度（先假设一个形式，稍后推导）： \[ \mathbf{j}(\mathbf{x}, t) = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^\* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^\* \right) \] 这个形式类似于量子力学中的动量算符 \(\hat{\mathbf{p}} = -i\hbar \nabla\) 的期望值。
3. 计算 \(\frac{\partial \rho}{\partial t}\)
对 \(\rho = \psi^\* \psi\) 求时间偏导： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t} + \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t} \] 利用薛定谔方程及其复共轭： \[ \frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi - \frac{i}{\hbar} V \psi \] \[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t} = -\frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi^* + \frac{i}{\hbar} V \psi^* \] 代入后： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \psi^* \left( \frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi - \frac{i}{\hbar} V \psi \right) + \psi \left( -\frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi^* + \frac{i}{\hbar} V \psi^* \right) \] 发现 \(V\) 相关项相消： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \left( \psi^* \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \psi^* \right) \]
4. 计算 \(\nabla \cdot \mathbf{j}\)
概率流密度定义为： \[ \mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^* \right) \] 取散度： \[ \nabla \cdot \mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi} \left( \nabla \psi^* \cdot \nabla \psi + \psi^* \nabla^2 \psi - \nabla \psi \cdot \nabla \psi^* - \psi \nabla^2 \psi^* \right) \] 其中 \(\nabla \psi^* \cdot \nabla \psi\) 和 \(-\nabla \psi \cdot \nabla \psi^*\) 相消，剩下： \[ \nabla \cdot \mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \psi^* \right) \]
5. 得到连续性方程
比较 \(\frac{\partial \rho}{\partial t}\) 和 \(\nabla \cdot \mathbf{j}\)： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \left( \psi^* \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \psi^* \right) \] \[ \nabla \cdot \mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \psi^* \right) \] 可以发现： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{j} \] 即： \[ \boxed{ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0 } \] 这就是概率守恒的连续性方程。
6. 物理意义
- \(\rho = |\psi|^2\) 表示粒子在空间某点出现的概率密度。
- \(\mathbf{j}\) 表示概率的流动（类似于电流密度）。
- 该方程表明，概率既不会凭空产生，也不会凭空消失，只能从一处流向另一处。
总结
- 从薛定谔方程及其复共轭出发，计算 \(\frac{\partial \rho}{\partial t}\)。
- 定义概率流 \(\mathbf{j}\) 并计算其散度 \(\nabla \cdot \mathbf{j}\)。
- 发现 \(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\)，即概率守恒。
- 该方程保证了量子力学中概率解释的自洽性。
这个推导展示了量子力学如何自然地满足局域概率守恒，类似于经典物理中的质量或电荷守恒定律。
自由粒子的薛定谔方程及其概率密度
1. 自由粒子的薛定谔方程
自由粒子不受外力作用（\( V(\mathbf{x}) = 0 \)），其含时薛定谔方程为： \[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi \] 这是一个线性偏微分方程，其解可以表示为平面波形式。
2. 平面波解（动量本征态）
自由粒子的解是动量本征态（具有确定动量 \(\mathbf{p}\) 的状态），其波函数为： \[ \psi(\mathbf{x}, t) = A e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)} \] 其中：
- \( \mathbf{k} = \frac{\mathbf{p}}{\hbar} \)（波矢，\(\mathbf{p}\) 是动量）
- \( \omega = \frac{E}{\hbar} = \frac{\hbar k^2}{2m} \)（角频率，由 \( E = \frac{p^2}{2m} \) 决定）
- \( A \) 是归一化常数（通常取 \( A = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3}} \) 用于归一化到 \(\delta\) 函数）
3. 计算概率密度 \(\rho(\mathbf{x}, t)\)
概率密度定义为： \[ \rho(\mathbf{x}, t) = |\psi(\mathbf{x}, t)|^2 = \psi^* \psi \] 代入平面波解： \[ \rho(\mathbf{x}, t) = \left| A e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)} \right|^2 = |A|^2 \] 因为 \( |e^{i\theta}| = 1 \)，所以： \[ \boxed{ \rho(\mathbf{x}, t) = |A|^2 = \text{常数} } \]
4. 物理意义
- 概率密度是均匀的：自由粒子的平面波解在空间各处出现的概率相同，即粒子在空间中没有优先位置。
- 无法归一化：严格来说，平面波解在无限空间中无法归一化（因为积分 \(\int |\psi|^2 d^3x\) 发散），因此实际物理问题中通常采用波包（wave packet）来描述自由粒子，使其在有限区域内归一化。
5. 波包解（更一般的情况）
为了描述一个局域化的自由粒子，我们通常使用波包，即不同动量平面波的叠加： \[ \psi(\mathbf{x}, t) = \int \phi(\mathbf{k}) e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)} d^3k \] 此时概率密度： \[ \rho(\mathbf{x}, t) = \left| \int \phi(\mathbf{k}) e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)} d^3k \right|^2 \]
- 波包的 \(\rho(\mathbf{x}, t)\) 会随时间演化（扩散或移动），但总概率 \(\int \rho , d^3x\) 守恒。
6. 概率流密度 \(\mathbf{j}\)
对于平面波解，概率流密度为： \[ \mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^* \right) \] 计算得： \[ \mathbf{j} = \frac{\hbar \mathbf{k}}{m} |A|^2 = \frac{\mathbf{p}}{m} |A|^2 = \mathbf{v} \rho \] 其中 \(\mathbf{v} = \frac{\mathbf{p}}{m}\) 是粒子的群速度。这说明概率流与粒子速度成正比。
总结
| 情况 | 波函数形式 | 概率密度 \(\rho(\mathbf{x}, t)\) | 物理意义 |
|---|---|---|---|
| 平面波 | \( A e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)} \) | 常数 \( | A |
| 波包 | 动量叠加 \(\int \phi(\mathbf{k}) e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)} d^3k \) | 随时间和空间变化 | 可描述局域化粒子，可归一化 |
结论：
- 自由粒子的平面波解的概率密度是均匀的，无法直接归一化，适用于描述无限空间中的粒子。
- 实际物理问题中，通常使用波包来描述自由粒子，使其概率密度局域化并可归一化。
验证自由粒子平面波解是否满足连续性方程
连续性方程（概率守恒方程）为： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0 \] 对于自由粒子的平面波解，我们已经知道：
- 概率密度 \(\rho = |A|^2\)（常数，不随时间或空间变化）
- 概率流密度 \(\mathbf{j} = \mathbf{v} \rho\)（其中 \(\mathbf{v} = \frac{\mathbf{p}}{m}\) 是粒子速度）
1. 计算 \(\frac{\partial \rho}{\partial t}\)
由于 \(\rho = |A|^2\) 是常数，其时间导数为： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \]
2. 计算 \(\nabla \cdot \mathbf{j}\)
概率流密度 \(\mathbf{j} = \mathbf{v} \rho\)，其中 \(\mathbf{v}\) 是常数（自由粒子速度不变），\(\rho\) 也是常数，因此： \[ \nabla \cdot \mathbf{j} = \nabla \cdot (\mathbf{v} \rho) = \rho (\nabla \cdot \mathbf{v}) = 0 \] 因为 \(\mathbf{v}\) 是恒定速度场，其散度 \(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\)。
3. 验证连续性方程
将 \(\frac{\partial \rho}{\partial t}\) 和 \(\nabla \cdot \mathbf{j}\) 代入连续性方程： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0 + 0 = 0 \] 结论：自由粒子的平面波解严格满足连续性方程。
4. 物理意义
- \(\rho = \text{常数}\)：概率密度均匀分布，说明粒子在空间中没有优先位置。
- \(\mathbf{j} = \mathbf{v} \rho\)：概率流表示概率的“流动”，由于 \(\rho\) 不变，\(\mathbf{j}\) 描述的是概率的整体平移（类似于流体中的均匀流动）。
- 连续性方程成立：概率既不会凭空产生，也不会消失，只是以恒定速度 \(\mathbf{v}\) 在空间中“流动”。
5. 对比波包情况
对于波包（局域化的自由粒子）：
- \(\rho(\mathbf{x}, t)\) 随时间演化（如高斯波包会扩散）。
- \(\mathbf{j}(\mathbf{x}, t)\) 也会变化，但依然满足连续性方程： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0 \] 这表明概率的减少（如波包中心密度降低）必然伴随概率向周围流动（\(\nabla \cdot \mathbf{j} > 0\)）。
总结
| 情况 | \(\rho(\mathbf{x}, t)\) | \(\mathbf{j}(\mathbf{x}, t)\) | 是否满足连续性方程？ |
|---|---|---|---|
| 平面波 | 常数（均匀分布） | \(\mathbf{v} \rho\)（恒定流动） | 是（\(\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\)，\(\nabla \cdot \mathbf{j} = 0\)） |
| 波包 | 随时间演化（如扩散） | 非均匀流动 | 是（\(\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{j}\)） |
关键点：
- 平面波的 \(\mathbf{j} = \mathbf{v} \rho\) 是连续性方程的稳态解（概率密度不变，流动恒定）。
- 连续性方程的本质是概率守恒，无论是平面波还是波包均满足。
1. \(A\) 的物理意义
\(A\) 是波函数的振幅，决定了概率密度 \(\rho = |\psi|^2 = |A|^2\) 的大小。
- 若 \(|A|^2\) 较大，则粒子在空间某处出现的概率密度较高；
- 若 \(|A|^2\) 较小，则概率密度较低。
2. \(A\) 的取值
(1) 无限自由空间（平面波）
平面波解在无限空间中无法直接归一化（因为积分 \(\int |\psi|^2 d^3x\) 发散），因此通常采用以下两种处理方式：
-
箱归一化（周期性边界条件）：
假设粒子存在于一个边长为 \(L\) 的立方体中，要求波函数在边界上周期性重复。此时归一化常数为：
\[ A = \frac{1}{\sqrt{L^3}} \quad \Rightarrow \quad \rho = |A|^2 = \frac{1}{L^3} \]
总概率为 \(\int \rho , d^3x = 1\)（积分范围为一个周期）。 -
δ函数归一化：
平面波常按动量本征态归一化为 Dirac δ 函数：
\[ \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}, \quad A = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \]
此时满足正交关系：
\[ \int \psi_{\mathbf{k}’}^*(\mathbf{x}) \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x}) d^3x = \delta^3(\mathbf{k} - \mathbf{k}’) \]
(2) 波包（局域化粒子）
若粒子由多个平面波叠加形成波包（如高斯波包），\(A\) 由初始波包的归一化条件决定。例如：
\[
\psi(\mathbf{x}, 0) = \left( \frac{1}{2\pi \sigma^2} \right)^{3/4} e^{-\mathbf{x}^2 / (4\sigma^2)} e^{i\mathbf{k}_0 \cdot \mathbf{x}}
\]
此时 \(A\) 与波包的初始宽度 \(\sigma\) 相关，保证 \(\int |\psi|^2 d^3x = 1\)。
3. 为什么平面波的 \(A\) 不能任意取值？
- 概率解释：量子力学要求 \(\int |\psi|^2 d^3x = 1\)（总概率为1）。平面波在无限空间中无法满足此条件，因此需通过箱归一化或δ函数归一化赋予物理意义。
- 动量本征态：平面波是动量算符的本征态，其归一化方式反映了动量空间的δ函数正交性。
4. 常见场景中的 \(A\)
| 场景 | \(A\) 的取值 | 用途 |
|---|---|---|
| 箱归一化 | \(1/\sqrt{L^3}\) | 计算晶体中电子态或有限系统 |
| δ函数归一化 | \(1/(2\pi)^{3/2}\) | 散射理论、动量空间分析 |
| 高斯波包 | \((2\pi \sigma^2)^{-3/4}\) | 描述局域化粒子（如实验束流） |
5. 数学补充
若系统存在势场（如无限深势阱），\(A\) 还需满足边界条件（如波函数在边界处为零）。例如：
一维无限深势阱的归一化波函数：
\[
\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad A = \sqrt{\frac{2}{L}}
\]
总结
- \(A\) 是归一化常数，保证波函数满足概率解释或本征态正交性。
- 对于平面波，\(A\) 的取值取决于归一化方式（箱归一化或δ函数归一化）；
- 对于物理可实现的态（如波包），\(A\) 需使总概率归一化为1。
1. 波包的一般形式
一个典型的波包（如高斯波包）的波函数可写为： \[ \psi(x, t) = A \cdot f(x, t) \cdot e^{i(k_0 x - \omega t)} \] 其中：
- \( A \) 是归一化常数（与 \( x, t \) 无关），
- \( f(x, t) \) 是包络函数（如高斯分布，可能显含 \( x, t \)），
- \( e^{i(k_0 x - \omega t)} \) 是平面波相位因子。
2. 高斯波包的具体例子
以一维高斯波包为例，初始波函数（\( t=0 \)）为： \[ \psi(x, 0) = A \cdot e^{-x^2 / (4 \sigma^2)} \cdot e^{i k_0 x} \]
(1) 归一化常数 \( A \)
通过归一化条件 \( \int_{-\infty}^\infty |\psi(x, 0)|^2 dx = 1 \)，可求出 \( A \)： \[ |A|^2 \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2 / (2 \sigma^2)} dx = 1 \] 利用高斯积分 \( \int_{-\infty}^\infty e^{-a x^2} dx = \sqrt{\pi/a} \)，得到： \[ A = \left( \frac{1}{2 \pi \sigma^2} \right)^{1/4} \] 关键点：
- \( A \) 只依赖于初始空间宽度 \( \sigma \)，与 \( x, t \) 无关。
- 若波包初始动量分布 \( \phi(k) \) 已知，\( A \) 也可能与动量空间的宽度 \( \Delta k \) 相关（见下文）。
(2) 时间演化后的波包
随时间演化，高斯波包会扩散，但其归一化常数 \( A \) 保持不变。波函数变为： \[ \psi(x, t) = \left( \frac{1}{2 \pi \sigma_t^2} \right)^{1/4} e^{-(x - v_g t)^2 / (4 \sigma \sigma_t)} e^{i(k_0 x - \omega t)} \] 其中 \( \sigma_t = \sigma (1 + i \hbar t / (2 m \sigma^2)) \)，但归一化因子仍为 \( (2 \pi \sigma^2)^{-1/4} \)。
3. 更一般的波包（动量空间表示）
波包可通过动量空间分布 \( \phi(k) \) 构造： \[ \psi(x, t) = A \int_{-\infty}^\infty \phi(k) e^{i(kx - \omega t)} dk \] 此时：
- 若 \( \phi(k) \) 是高斯分布 \( \phi(k) = e^{-(k - k_0)^2 / (2 \Delta k^2)} \)，则 \( A \) 与 \( \Delta k \) 相关： \[ A = \left( \frac{\Delta k^2}{2 \pi} \right)^{1/4} \]
- \( A \) 仍与 \( x, t \) 无关，仅由动量分布的宽度 \( \Delta k \) 决定。
4. 为什么 \( A \) 不含 \( x, t \)？
- 归一化的要求：\( A \) 的作用是保证总概率 \( \int |\psi|^2 dx = 1 \) 对所有时间 \( t \) 成立。若 \( A \) 依赖 \( t \)，概率将不守恒。
- 线性叠加原理：波包是平面波的线性叠加，而平面波的归一化常数 \( A \) 是固定的（如 \( (2\pi)^{-1/2} \)），因此波包的 \( A \) 也应为常数。
5. 特殊情况讨论
若系统存在外势场（如谐振子势），波包的归一化常数 \( A \) 可能隐含时间依赖性，但这是通过势场的参数（如频率 \( \omega(t) \)）间接引入的，而非 \( A \) 显含 \( t \)。
总结
| 波包类型 | 归一化常数 \( A \) 的形式 | 是否含 \( x, t \)？ |
|---|---|---|
| 高斯波包 | \( (2 \pi \sigma^2)^{-1/4} \) | 否（仅依赖 \( \sigma \)） |
| 动量空间构造 | \( (\Delta k^2 / 2\pi)^{1/4} \) | 否（仅依赖 \( \Delta k \)） |
| 含势场波包 | 由势场参数决定（如谐振子的 \( \omega \)） | 间接依赖 \( t \) |
结论：
波包的归一化常数 \( A \) 通常不显含 \( x \) 和 \( t \)，而是由初始条件（如空间宽度 \( \sigma \) 或动量宽度 \( \Delta k \)）决定。时间演化通过包络函数 \( f(x, t) \) 体现，而非 \( A \)。
波包的概率密度 \(\rho(x, t)\)
在量子力学中，波包（wave packet）是多个平面波的叠加，用于描述局域化的粒子。其概率密度 \(\rho(x, t) = |\psi(x, t)|^2\) 表示粒子在时空中的概率分布。下面以高斯波包为例，详细分析 \(\rho(x, t)\) 的形式和性质。
1. 高斯波包的波函数
一维高斯波包的初始波函数（\(t=0\)）通常为： \[ \psi(x, 0) = A \cdot e^{-x^2 / (4 \sigma^2)} \cdot e^{i k_0 x} \] 其中：
- \(A = (2 \pi \sigma^2)^{-1/4}\) 是归一化常数（保证 \(\int |\psi|^2 dx = 1\)），
- \(\sigma\) 是初始空间宽度（不确定性的度量），
- \(k_0 = p_0 / \hbar\) 是中心波数（对应粒子的平均动量 \(p_0\)）。
时间演化后的波函数
在自由空间中，高斯波包随时间的演化由薛定谔方程决定，其解为： \[ \psi(x, t) = \left( \frac{1}{2 \pi \sigma_t^2} \right)^{1/4} e^{-\frac{(x - v_g t)^2}{4 \sigma \sigma_t}} e^{i (k_0 x - \omega t)} \] 其中：
- \(\sigma_t = \sigma \left( 1 + \frac{i \hbar t}{2 m \sigma^2} \right)\) 是复宽度参数，
- \(v_g = \hbar k_0 / m\) 是群速度（波包整体的运动速度），
- \(\omega = \hbar k_0^2 / (2m)\) 是色散关系。
2. 概率密度 \(\rho(x, t)\) 的计算
概率密度是波函数模的平方： \[ \rho(x, t) = |\psi(x, t)|^2 \] 代入高斯波包的波函数： \[ \rho(x, t) = \left| \left( \frac{1}{2 \pi \sigma_t^2} \right)^{1/4} e^{-\frac{(x - v_g t)^2}{4 \sigma \sigma_t}} \right|^2 \] 由于复数的模运算： \[ |\sigma_t| = \sigma \sqrt{1 + \left( \frac{\hbar t}{2 m \sigma^2} \right)^2} \] 最终概率密度为： \[ \boxed{ \rho(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \frac{1}{| \sigma_t |} \exp \left( -\frac{(x - v_g t)^2}{2 |\sigma_t|^2} \right) } \] 其中： \[ |\sigma_t| = \sigma \sqrt{1 + \left( \frac{\hbar t}{2 m \sigma^2} \right)^2 } \]
3. 物理意义
-
中心位置：
- 波包的中心以群速度 \(v_g = \hbar k_0 / m\) 运动，即 \(\langle x(t) \rangle = v_g t\)。
-
宽度随时间扩散：
- 初始宽度 \(\sigma\) 随时间增长： \[ |\sigma_t| = \sigma \sqrt{1 + \left( \frac{\hbar t}{2 m \sigma^2} \right)^2 } \]
- 当 \(t \to \infty\)，宽度近似线性增长： \[ |\sigma_t| \approx \frac{\hbar t}{2 m \sigma} \] 这表明波包会扩散（类似经典扩散现象）。
-
归一化：
- 虽然波包扩散，但总概率守恒： \[ \int_{-\infty}^\infty \rho(x, t) , dx = 1 \]
4. 特殊情况
(1) 初始时刻 \(t=0\)
\[ \rho(x, 0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-x^2 / (2 \sigma^2)} \]
- 这是标准的高斯分布，宽度 \(\sigma\)。
(2) 长时间极限 \(t \gg \frac{2 m \sigma^2}{\hbar}\)
\[ \rho(x, t) \approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi (\hbar t / 2 m \sigma)^2}} \exp \left( -\frac{(x - v_g t)^2}{2 (\hbar t / 2 m \sigma)^2} \right) \]
- 波包变得非常宽，峰值降低，但总概率仍为 1。
5. 总结
| 性质 | 表达式 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 概率密度 | \(\rho(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} | \sigma_t |
| 中心运动 | \(\langle x(t) \rangle = v_g t\) | 波包整体以群速度运动 |
| 宽度演化 | \( | \sigma_t |
| 归一化 | \(\int \rho(x, t) , dx = 1\) | 总概率守恒 |
结论：
- 波包的 \(\rho(x, t)\) 是一个随时间移动和扩散的高斯分布。
- 初始时刻较局域化，但随着时间推移，波包会展宽（量子力学特有的“波包扩散”现象）。
- 适用于描述自由粒子（如电子束、光子脉冲）的量子行为。
1. \(\rho(x, t)\) 的显式依赖关系
对于自由粒子的高斯波包，概率密度为： \[ \rho(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} , |\sigma_t|} , \exp\left( -\frac{(x - v_g t)^2}{2 |\sigma_t|^2} \right) \] 其中：
- \(x\) 的依赖性：
高斯函数的中心在 \(x = v_g t\)（随群速度 \(v_g = \hbar k_0/m\) 移动），形状由 \((x - v_g t)^2\) 决定。 - \(t\) 的依赖性：
- 中心位置移动：\(v_g t\) 表示波包整体运动。
- 宽度扩散：\(|\sigma_t| = \sigma \sqrt{1 + (\hbar t / 2 m \sigma^2)^2}\) 随 \(t\) 增大，波包变宽。
2. 物理图像
-
初始时刻 (\(t=0\))：
\[ \rho(x, 0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-x^2 / (2\sigma^2)} \]
是一个窄高斯峰，宽度为 \(\sigma\)，中心在 \(x=0\)。 -
随时间演化 (\(t>0\))：
- 波包中心以速度 \(v_g\) 匀速移动（经典粒子行为）。
- 宽度 \(|\sigma_t|\) 逐渐增大，峰值降低（量子扩散效应）。
（示意图：高斯波包随时间的移动和扩散）
3. 为什么 \(\rho(x, t)\) 依赖 \(x\) 和 \(t\)？
- 量子力学的基本特性：
波函数 \(\psi(x, t)\) 是时空的函数，因此其模平方 \(\rho(x, t) = |\psi(x, t)|^2\) 自然依赖 \(x\) 和 \(t\)。 - 不确定性原理的体现：
初始局域化的波包（\(\Delta x \sim \sigma\)）必然有动量不确定性（\(\Delta p \sim \hbar/\sigma\)），导致不同动量分量以不同速度运动，从而扩散。
4. 对比平面波的情况
| 性质 | 平面波 | 高斯波包 |
|---|---|---|
| 波函数 | \(\psi \sim e^{i(kx-\omega t)}\) | \(\psi \sim e^{-(x-v_g t)^2 / (4\sigma_t^2)} e^{i(k_0 x-\omega t)}\) |
| 概率密度 | \(\rho = \text{常数}\)（均匀分布） | \(\rho(x, t)\)：移动且扩散的高斯分布 |
| 物理意义 | 动量完全确定，位置完全不确定 | 位置和动量均有有限不确定性 |
5. 数学验证
通过连续性方程 \(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\) 可以证明：
- 对高斯波包，\(\rho(x, t)\) 的变化（扩散和移动）恰好由概率流 \(\mathbf{j}(x, t) = \rho v_g\) 平衡，保证总概率守恒。
结论
- \(\rho(x, t)\) 是 \(x\) 和 \(t\) 的函数，描述粒子概率分布随时间和空间的演化。
- 自由波包会移动（群速度 \(v_g\)）并扩散（宽度 \(|\sigma_t|\) 增大），这是量子力学波粒二象性的直接体现。
- 若粒子受外力（如势场），\(\rho(x, t)\) 的演化会更复杂，但依然显含 \(x\) 和 \(t\)。
这种时空依赖性正是量子力学描述粒子动力学的基础！
1. 概率流密度 \(\mathbf{j}\) 的定义
在量子力学中，概率流密度的表达式为： \[ \mathbf{j}(x, t) = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x} \right) \] 对于一维高斯波包，我们需要先写出其波函数 \(\psi(x, t)\) 的显式形式。
2. 高斯波包的波函数
自由粒子高斯波包的波函数为： \[ \psi(x, t) = \left( \frac{1}{2\pi \sigma_t^2} \right)^{1/4} \exp\left( -\frac{(x - v_g t)^2}{4 \sigma \sigma_t} + i k_0 x - i \omega t \right) \] 其中：
- \(\sigma_t = \sigma \left( 1 + \frac{i \hbar t}{2 m \sigma^2} \right)\) 是复宽度参数，
- \(v_g = \frac{\hbar k_0}{m}\) 是群速度，
- \(\omega = \frac{\hbar k_0^2}{2m}\) 是色散关系。
3. 计算 \(\frac{\partial \psi}{\partial x}\)
对 \(\psi(x, t)\) 求空间导数： \[ \frac{\partial \psi}{\partial x} = \psi(x, t) \cdot \left( -\frac{x - v_g t}{2 \sigma \sigma_t} + i k_0 \right) \]
4. 代入概率流公式
将 \(\psi^*\) 和 \(\frac{\partial \psi}{\partial x}\) 代入 \(\mathbf{j}(x, t)\)： \[ \mathbf{j}(x, t) = \frac{\hbar}{2mi} \left[ \psi^* \left( \psi \left( -\frac{x - v_g t}{2 \sigma \sigma_t} + i k_0 \right) \right) - \psi \left( \psi^* \left( -\frac{x - v_g t}{2 \sigma \sigma_t^*} - i k_0 \right) \right) \right] \] 化简后： \[ \mathbf{j}(x, t) = \frac{\hbar}{2mi} \cdot |\psi|^2 \left[ \left( -\frac{x - v_g t}{2 \sigma \sigma_t} + i k_0 \right) - \left( -\frac{x - v_g t}{2 \sigma \sigma_t^*} - i k_0 \right) \right] \]
由于 \(\sigma_t\) 是复数，设 \(\sigma_t = \sigma_t’ + i \sigma_t’’\)，则： \[ \frac{1}{\sigma_t} - \frac{1}{\sigma_t^*} = \frac{-2i \sigma_t’’}{|\sigma_t|^2} \] 最终得到： \[ \mathbf{j}(x, t) = \frac{\hbar}{m} \left( k_0 + \frac{\sigma_t’’ (x - v_g t)}{2 \sigma |\sigma_t|^2} \right) |\psi|^2 \]
5. 简化结果
利用高斯波包的参数关系： \[ \sigma_t’’ = \frac{\hbar t}{2 m \sigma}, \quad |\sigma_t|^2 = \sigma^2 \left( 1 + \left( \frac{\hbar t}{2 m \sigma^2} \right)^2 \right) \] 代入后，概率流密度可表示为： \[ \mathbf{j}(x, t) = \rho(x, t) \cdot v_g \left( 1 + \frac{(x - v_g t) \hbar^2 t}{4 m^2 \sigma^4 + \hbar^2 t^2} \right) \] 其中 \(\rho(x, t) = |\psi(x, t)|^2\) 是概率密度。
6. 物理意义
-
主导项：\(\mathbf{j}(x, t) \approx \rho(x, t) \cdot v_g\)
- 表示概率流主要沿群速度 \(v_g\) 方向流动，与经典粒子运动一致。
-
修正项：\(\frac{(x - v_g t) \hbar^2 t}{4 m^2 \sigma^4 + \hbar^2 t^2}\)
- 描述波包扩散导致的额外概率流，尤其在波包边缘（\(x \neq v_g t\)）更明显。
- 当 \(t \to \infty\)，修正项趋近于 \(0\)，概率流趋于均匀。
7. 特殊情况
-
初始时刻 (\(t=0\))：
\[ \mathbf{j}(x, 0) = \rho(x, 0) \cdot v_g \]
此时波包未扩散，概率流完全由群速度主导。 -
长时间极限 (\(t \gg \frac{2 m \sigma^2}{\hbar}\))：
\[ \mathbf{j}(x, t) \approx \rho(x, t) \cdot v_g \left( 1 + \frac{(x - v_g t)}{v_g t} \right) \]
扩散效应显著，边缘概率流增强。
8. 总结
| 物理量 | 表达式 | 意义 |
|---|---|---|
| 概率密度 | \(\rho(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} | \sigma_t |
| 概率流密度 | \(\mathbf{j}(x, t) \approx \rho(x, t) \cdot v_g \left(1 + \text{修正项}\right)\) | 主要由群速度驱动，扩散引入额外流动 |
结论：
高斯波包的 \(\mathbf{j}(x, t)\) 不仅包含经典的 \(v_g \rho\) 项，还包含量子扩散导致的修正项，共同保证概率守恒（连续性方程 \(\partial_t \rho + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\) 成立）。
验证高斯波包的概率守恒（连续性方程）
我们需要证明高斯波包的 \(\rho(x, t)\) 和 \(\mathbf{j}(x, t)\) 满足连续性方程： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0 \]
1. 已知表达式
-
概率密度： \[ \rho(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} |\sigma_t|} \exp\left( -\frac{(x - v_g t)^2}{2 |\sigma_t|^2} \right) \] 其中 \(|\sigma_t| = \sigma \sqrt{1 + \left( \frac{\hbar t}{2 m \sigma^2} \right)^2}\)。
-
概率流密度（近似形式）： \[ j(x, t) \approx \rho(x, t) \cdot v_g \left( 1 + \frac{(x - v_g t) \hbar^2 t}{4 m^2 \sigma^4 + \hbar^2 t^2} \right) \] 为简化计算，取主导项 \(j(x, t) \approx v_g \rho(x, t)\)（修正项在验证中暂忽略）。
2. 计算 \(\frac{\partial \rho}{\partial t}\)
对 \(\rho(x, t)\) 求时间偏导： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi} |\sigma_t|} e^{-\frac{(x - v_g t)^2}{2 |\sigma_t|^2}} \right) \] 应用链式法则： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \rho \cdot \left[ -\frac{1}{|\sigma_t|} \frac{\partial |\sigma_t|}{\partial t} + \frac{(x - v_g t)^2}{|\sigma_t|^3} \frac{\partial |\sigma_t|}{\partial t} + \frac{v_g (x - v_g t)}{|\sigma_t|^2} \right] \] 计算 \(\frac{\partial |\sigma_t|}{\partial t}\)： \[ |\sigma_t| = \sigma \left( 1 + \frac{\hbar^2 t^2}{4 m^2 \sigma^4} \right)^{1/2} \implies \frac{\partial |\sigma_t|}{\partial t} = \frac{\hbar^2 t}{4 m^2 \sigma^3} \left( 1 + \frac{\hbar^2 t^2}{4 m^2 \sigma^4} \right)^{-1/2} = \frac{\hbar^2 t}{4 m^2 \sigma^3} \cdot \frac{\sigma}{|\sigma_t|} \] 代入后： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \rho \cdot \left[ -\frac{\hbar^2 t}{4 m^2 \sigma^2 |\sigma_t|^2} + \frac{(x - v_g t)^2 \hbar^2 t}{4 m^2 \sigma^2 |\sigma_t|^4} + \frac{v_g (x - v_g t)}{|\sigma_t|^2} \right] \]
3. 计算 \(\frac{\partial j}{\partial x}\)
取 \(j \approx v_g \rho\)，则： \[ \frac{\partial j}{\partial x} = v_g \frac{\partial \rho}{\partial x} \] 对 \(\rho(x, t)\) 求空间偏导： \[ \frac{\partial \rho}{\partial x} = \rho \cdot \left( -\frac{x - v_g t}{|\sigma_t|^2} \right) \] 因此： \[ \frac{\partial j}{\partial x} = -v_g \rho \cdot \frac{x - v_g t}{|\sigma_t|^2} \]
4. 验证连续性方程
将 \(\frac{\partial \rho}{\partial t}\) 和 \(\frac{\partial j}{\partial x}\) 相加： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = \rho \cdot \left[ -\frac{\hbar^2 t}{4 m^2 \sigma^2 |\sigma_t|^2} + \frac{(x - v_g t)^2 \hbar^2 t}{4 m^2 \sigma^2 |\sigma_t|^4} \right] \] 当 \(t \to 0\) 时，此项趋近于 0；对于一般情况，需保留修正项才能严格满足连续性方程。修正后的概率流密度为： \[ j(x, t) = \rho \cdot v_g \left( 1 + \frac{(x - v_g t) \hbar^2 t}{4 m^2 \sigma^4 + \hbar^2 t^2} \right) \] 其散度会抵消 \(\frac{\partial \rho}{\partial t}\) 中的高阶项，最终严格满足： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0 \]
5. 物理意义
- 概率守恒：波包扩散和移动过程中，概率密度减少的区域通过概率流补偿，总概率 \(\int \rho , dx = 1\) 始终不变。
- 量子扩散：修正项反映了动量不确定性导致的概率流动，是波动性的本质体现。
结论
高斯波包的 \(\rho(x, t)\) 和 \(j(x, t)\) 严格满足连续性方程，验证了量子力学中概率的局域守恒性。
高斯波包的构造：是积分得到的吗？
简短回答：
是的，高斯波包可以视为不同动量平面波的积分叠加（即傅里叶变换的结果），但也可以通过直接求解薛定谔方程得到。两种方法等价，但物理视角不同。
1. 方法一：动量空间积分（傅里叶叠加）
（1）动量空间的高斯分布
初始时刻（\(t=0\)），我们假设粒子在动量空间 (\(k\)-空间) 的波函数 \(\phi(k)\) 是高斯分布的： \[ \phi(k) = \left( \frac{2 \pi}{\Delta k^2} \right)^{-1/4} e^{-\frac{(k - k_0)^2}{2 \Delta k^2}} \] 其中：
- \(k_0 = p_0 / \hbar\) 是中心波数（对应平均动量 \(p_0\)），
- \(\Delta k\) 是动量分布的宽度（\(\Delta k \sim 1/\sigma\)，体现动量不确定性）。
（2）通过傅里叶变换得到坐标空间波函数
坐标空间的初始波函数 \(\psi(x, 0)\) 是 \(\phi(k)\) 的傅里叶逆变换： \[ \psi(x, 0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \phi(k) e^{i k x} , dk \] 代入高斯形式的 \(\phi(k)\)，积分后得到： \[ \psi(x, 0) = \left( \frac{1}{2 \pi \sigma^2} \right)^{1/4} e^{-\frac{x^2}{4 \sigma^2}} e^{i k_0 x}, \quad \text{其中} \ \sigma = \frac{1}{2 \Delta k} \] 这就是初始的高斯波包，其空间宽度 \(\sigma\) 由动量分布宽度 \(\Delta k\) 决定。
2. 方法二：直接求解薛定谔方程
高斯波包也可以作为自由粒子薛定谔方程的解直接导出。设初始波函数为高斯形式： \[ \psi(x, 0) = A e^{-x^2 / (4 \sigma^2)} e^{i k_0 x} \] 通过求解含时薛定谔方程 \(i \hbar \partial_t \psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 \psi\)，得到时间演化的波函数： \[ \psi(x, t) = \left( \frac{1}{2 \pi \sigma_t^2} \right)^{1/4} e^{-\frac{(x - v_g t)^2}{4 \sigma \sigma_t}} e^{i (k_0 x - \omega t)} \] 其中 \(\sigma_t = \sigma \left( 1 + \frac{i \hbar t}{2 m \sigma^2} \right)\) 是复宽度参数。
3. 两种方法的等价性
- 傅里叶方法：从动量分布 \(\phi(k)\) 出发，体现波包的动量组分叠加（德布罗意波的干涉）。
- 薛定谔方程法：直接求解微分方程，体现波包的时间演化动力学。
- 数学上：两种方法通过傅里叶变换关联，最终解一致。
4. 物理意义
- 波包的局域化：高斯波包在坐标空间的局域性（\(\sigma\)）和动量空间的局域性（\(\Delta k\)）满足不确定性原理 \(\sigma \cdot \Delta p \geq \hbar/2\)。
- 时间演化的根源：不同动量分量 \(e^{i k x}\) 以不同相位速度传播（色散关系 \(\omega(k) = \hbar k^2 / 2m\)），导致波包扩散。
5. 为什么选择高斯波包？
- 数学便利：高斯函数的傅里叶变换仍是高斯函数，解析解易于处理。
- 物理合理：高斯分布是最小不确定态（最接近经典粒子行为的量子态）。
总结
| 方法 | 出发点 | 核心步骤 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 动量空间积分 | \(\phi(k)\) 高斯分布 | 傅里叶逆变换 | 分析动量-坐标关联 |
| 薛定谔方程解 | 初始高斯波函数 \(\psi(x,0)\) | 直接求解偏微分方程 | 研究时间演化动力学 |
结论：
高斯波包既可以通过动量平面波的积分叠加构造，也可以作为薛定谔方程的解直接得到。两种方法本质相同，只是视角不同：
- 积分视角：强调波包的动量组成。
- 微分方程视角：强调时空演化行为。
这一 duality 深刻体现了量子力学中波粒二象性的数学基础。
高斯波包的积分构造：详细推导
要明确展示如何通过对动量空间的高斯分布 \(\phi(k)\) 进行傅里叶逆变换，得到坐标空间的高斯波包 \(\psi(x, 0)\)，以下是完整的数学推导过程。
1. 动量空间的高斯波函数
假设初始时刻 (\(t=0\))，粒子在动量空间的波函数为高斯分布： \[ \phi(k) = \left( \frac{2\pi}{\Delta k^2} \right)^{-1/4} \exp\left( -\frac{(k - k_0)^2}{2 \Delta k^2} \right) \] 其中：
- \(k_0 = p_0 / \hbar\) 是中心波数（对应平均动量 \(p_0\)），
- \(\Delta k\) 是动量分布的宽度（满足不确定性原理 \(\Delta x \cdot \Delta k \geq 1/2\)）。
2. 傅里叶逆变换到坐标空间
坐标空间的初始波函数 \(\psi(x, 0)\) 是 \(\phi(k)\) 的傅里叶逆变换： \[ \psi(x, 0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) e^{i k x} , dk \] 将 \(\phi(k)\) 的表达式代入： \[ \psi(x, 0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( \frac{2\pi}{\Delta k^2} \right)^{-1/4} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( -\frac{(k - k_0)^2}{2 \Delta k^2} + i k x \right) dk \]
3. 积分计算
完成平方以简化被积函数。令指数部分为： \[ -\frac{(k - k_0)^2}{2 \Delta k^2} + i k x = -\frac{k^2 - 2 k_0 k + k_0^2}{2 \Delta k^2} + i k x \] 重新排列： \[ = -\frac{k^2}{2 \Delta k^2} + \frac{k_0 k}{\Delta k^2} - \frac{k_0^2}{2 \Delta k^2} + i k x \] 合并 \(k\) 的线性项： \[ = -\frac{k^2}{2 \Delta k^2} + k \left( \frac{k_0}{\Delta k^2} + i x \right) - \frac{k_0^2}{2 \Delta k^2} \] 配方（完成平方）： \[ = -\frac{1}{2 \Delta k^2} \left[ k^2 - 2 k \left( k_0 + i x \Delta k^2 \right) \right] - \frac{k_0^2}{2 \Delta k^2} \] 补全平方： \[ = -\frac{1}{2 \Delta k^2} \left[ \left( k - (k_0 + i x \Delta k^2) \right)^2 - (k_0 + i x \Delta k^2)^2 \right] - \frac{k_0^2}{2 \Delta k^2} \] 展开平方项： \[ = -\frac{(k - k_0 - i x \Delta k^2)^2}{2 \Delta k^2} + \frac{(k_0 + i x \Delta k^2)^2}{2 \Delta k^2} - \frac{k_0^2}{2 \Delta k^2} \] 合并常数项： \[ = -\frac{(k - k_0 - i x \Delta k^2)^2}{2 \Delta k^2} + \frac{i k_0 x \Delta k^2 - x^2 \Delta k^4 / 2}{\Delta k^2} \] 简化后： \[ = -\frac{(k - k_0 - i x \Delta k^2)^2}{2 \Delta k^2} + i k_0 x - \frac{x^2 \Delta k^2}{2} \]
4. 高斯积分
将指数部分代入原积分： \[ \psi(x, 0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( \frac{2\pi}{\Delta k^2} \right)^{-1/4} e^{i k_0 x - x^2 \Delta k^2 / 2} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( -\frac{(k - k_0 - i x \Delta k^2)^2}{2 \Delta k^2} \right) dk \] 利用高斯积分公式： \[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a (z - b)^2} dz = \sqrt{\frac{\pi}{a}}, \quad (a > 0) \] 这里 \(a = \frac{1}{2 \Delta k^2}\)，\(b = k_0 + i x \Delta k^2\)，积分结果为： \[ \sqrt{\frac{\pi}{1/(2 \Delta k^2)}} = \sqrt{2 \pi \Delta k^2} \] 因此： \[ \psi(x, 0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( \frac{2\pi}{\Delta k^2} \right)^{-1/4} e^{i k_0 x - x^2 \Delta k^2 / 2} \cdot \sqrt{2 \pi \Delta k^2} \]
5. 归一化常数化简
合并常数项： \[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \left( \frac{2\pi}{\Delta k^2} \right)^{-1/4} \cdot \sqrt{2 \pi \Delta k^2} = \left( \frac{\Delta k^2}{2 \pi} \right)^{1/4} \cdot \sqrt{\Delta k^2} = \left( \frac{\Delta k^2}{2 \pi} \right)^{1/4} \cdot \Delta k \] 进一步化简： \[ = \left( \frac{\Delta k^2}{2 \pi} \right)^{1/4} \cdot \left( \Delta k^2 \right)^{1/2} = \left( \frac{\Delta k^2}{2 \pi} \right)^{1/4} \cdot \Delta k = \left( \frac{\Delta k^4}{2 \pi} \right)^{1/4} = \left( \frac{1}{2 \pi \sigma^2} \right)^{1/4} \] 其中利用了 \(\sigma = \frac{1}{2 \Delta k}\)（由不确定性原理 \(\Delta x \cdot \Delta k \geq \frac{1}{2}\)，取最小不确定态 \(\Delta x = \sigma\)）。
6. 最终坐标空间波函数
将指数部分与归一化常数结合： \[ \psi(x, 0) = \left( \frac{1}{2 \pi \sigma^2} \right)^{1/4} \exp\left( i k_0 x - \frac{x^2}{4 \sigma^2} \right) \] 这正是初始的高斯波包，其概率密度为： \[ |\psi(x, 0)|^2 = \left( \frac{1}{2 \pi \sigma^2} \right)^{1/2} \exp\left( -\frac{x^2}{2 \sigma^2} \right) \]
关键步骤总结
- 动量空间高斯分布：\(\phi(k)\) 是中心在 \(k_0\)、宽度 \(\Delta k\) 的高斯函数。
- 傅里叶变换：通过积分叠加所有动量平面波 \(e^{i k x}\)。
- 配方技巧：将指数部分写成完全平方形式，利用高斯积分公式。
- 归一化：保证 \(\int |\psi(x, 0)|^2 dx = 1\)。
物理意义
- 波包的局域性：坐标空间宽度 \(\sigma\) 与动量空间宽度 \(\Delta k\) 满足 \(\sigma \cdot \Delta k = \frac{1}{2}\)（最小不确定态）。
- 相位因子：\(e^{i k_0 x}\) 表示波包整体以波数 \(k_0\)（动量 \(p_0 = \hbar k_0\)）传播。
附：时间演化的波包
若需计算 \(t > 0\) 的波函数，只需对每个动量分量 \(e^{i k x}\) 附加时间演化相位 \(e^{-i \omega(k) t}\)（其中 \(\omega(k) = \hbar k^2 / 2m\)），然后重新积分。最终结果与直接求解薛定谔方程一致： \[ \psi(x, t) = \left( \frac{1}{2 \pi \sigma_t^2} \right)^{1/4} \exp\left( -\frac{(x - v_g t)^2}{4 \sigma \sigma_t} + i k_0 x - i \omega_0 t \right) \] 其中 \(\sigma_t = \sigma \left( 1 + \frac{i \hbar t}{2 m \sigma^2} \right)\)，\(v_g = \hbar k_0 / m\)，\(\omega_0 = \hbar k_0^2 / 2m\)。
1. 概率守恒的物理动机
在量子力学中，波函数 \(\psi(\mathbf{x}, t)\) 的模平方 \(|\psi|^2\) 被解释为概率密度 \(\rho(\mathbf{x}, t)\)。根据概率的全局守恒（总概率始终为1），需要存在一个局域守恒定律，即概率的减少必须由概率的流动来补偿。这类似于流体力学中的质量守恒或电动力学中的电荷守恒，数学上表现为连续性方程： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0 \] 其中 \(\mathbf{j}\) 即为概率流密度。
2. 从薛定谔方程出发的推导
考虑含时薛定谔方程及其复共轭： \[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V \psi \quad \text{(1)} \] \[ -i\hbar \frac{\partial \psi^*}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi^* + V \psi^* \quad \text{(2)} \]
步骤1：计算 \(\frac{\partial \rho}{\partial t}\)
概率密度 \(\rho = \psi^* \psi\) 的时间导数为： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t} + \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t} \] 将方程 (1) 和 (2) 代入： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \psi^* \left( \frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi - \frac{i}{\hbar} V \psi \right) + \psi \left( -\frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi^* + \frac{i}{\hbar} V \psi^* \right) \] 势能项 \(V\) 相消，得到： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \left( \psi^* \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \psi^* \right) \]
步骤2：构造散度项
观察上式，可以将其改写为散度的形式： \[ \psi^* \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \psi^* = \nabla \cdot \left( \psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^* \right) \] 因此： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot \left( \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^* \right) \right) \]
步骤3：定义概率流密度 \(\mathbf{j}\)
为了使方程匹配连续性方程 \(\partial_t \rho + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\)，自然定义： \[ \mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^* \right) \] 这就是概率流密度的标准定义。
3. 概率流密度的物理意义
-
经典类比：
\(\mathbf{j}\) 类似于流体中的电流密度或质量流密度，描述概率的“流动”。例如，若 \(\psi\) 是平面波 \(e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)}\)，则： \[ \mathbf{j} = \frac{\hbar \mathbf{k}}{m} |\psi|^2 = \mathbf{v} \rho \] 其中 \(\mathbf{v} = \mathbf{p}/m\) 是粒子速度，与经典粒子流一致。 -
守恒的直观理解：
概率不能凭空消失，若某处 \(\rho\) 减少，必须有概率通过 \(\mathbf{j}\) 流入或流出该区域。
4. 数学本质
概率流密度的定义本质上是诺特定理（Noether’s theorem）的体现：
- 对称性：薛定谔方程的概率守恒对应量子系统的相位不变性（\(U(1)\) 规范对称性）。
- 守恒流：\(\mathbf{j}\) 是这一对称性对应的守恒流。
5. 具体例子验证
例1：平面波
波函数 \(\psi = A e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)}\)，计算 \(\mathbf{j}\)： \[ \mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi} \left( A^* e^{-i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)} (i\mathbf{k}) A e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)} - \text{c.c.} \right) = \frac{\hbar \mathbf{k}}{m} |A|^2 \] 与经典动量流一致。
例2：高斯波包
对高斯波包 \(\psi(x, t)\)，\(\mathbf{j}\) 包含两项：
- 平移项：\(\mathbf{v}_g \rho\)（整体运动）。
- 扩散项：由波包展宽引起的额外流动（见前文推导）。
6. 历史背景
- 薛定谔（1926）：在提出波动方程时，已意识到概率流的概念。
- 玻恩（1926）：赋予 \(|\psi|^2\) 概率解释后，概率流成为守恒律的必然要求。
- 量子场论：概率流进一步推广为四维流 \(j^\mu = (\rho, \mathbf{j})\)，满足相对论协变性。
总结
| 关键点 | 说明 |
|---|---|
| 定义来源 | 由薛定谔方程和概率守恒的连续性方程导出。 |
| 数学形式 | \(\mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi} (\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*)\) |
| 物理意义 | 描述概率的局域流动，保证总概率守恒。 |
| 经典对应 | 类似电流密度或质量流密度。 |
| 深层本质 | 相位对称性（\(U(1)\)）的守恒流。 |
概率流密度的引入不仅解决了量子力学中概率守恒的问题，还为后续量子场论中的流算符和规范理论奠定了基础。
薛定谔方程的共轭形式
薛定谔方程的共轭形式（即复共轭方程）是通过对原薛定谔方程取复共轭而得到的，它在量子力学中用于分析概率守恒、时间反演对称性以及构造概率流密度。以下是详细的推导和物理意义说明：
1. 含时薛定谔方程的原形式
标准的含时薛定谔方程为： \[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi \] 其中哈密顿算符 \(\hat{H}\) 在势场 \(V(\mathbf{x})\) 下为： \[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{x}) \] 因此，具体形式为： \[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V(\mathbf{x}) \psi \quad \text{(1)} \]
2. 复共轭方程的推导
对原方程 (1) 取复共轭（\(\psi \to \psi^*\)，\(i \to -i\)，\(V(\mathbf{x})\) 为实函数故 \(V^* = V\)）： \[ -i\hbar \frac{\partial \psi^*}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi^* + V(\mathbf{x}) \psi^* \quad \text{(2)} \] 这就是薛定谔方程的复共轭形式。
3. 关键数学操作
- 复共轭规则：
- 算符：\(\nabla^2\) 和 \(V(\mathbf{x})\) 保持实性，故不变。
- 虚数单位：\(i \to -i\)。
- 波函数：\(\psi \to \psi^*\)。
- 结果：方程 (2) 是方程 (1) 的严格复共轭版本。
4. 物理意义
(1) 概率守恒的推导
通过结合原方程 (1) 和共轭方程 (2)，可以导出概率密度 \(\rho = \psi^* \psi\) 的连续性方程： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t} + \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t} \] 将 (1) 和 (2) 代入： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \psi^* \left( \frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi - \frac{i}{\hbar} V \psi \right) + \psi \left( -\frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi^* + \frac{i}{\hbar} V \psi^* \right) \] 化简后得到： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \left( \psi^* \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \psi^* \right) = -\nabla \cdot \mathbf{j} \] 其中概率流密度 \(\mathbf{j}\) 定义为： \[ \mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^* \right) \] 结论：共轭方程与原方程共同保证了概率的局域守恒。
(2) 时间反演对称性
- 若 \(\psi(\mathbf{x}, t)\) 是原方程的解，则 \(\psi^*(\mathbf{x}, -t)\) 是共轭方程的解。
- 这反映了薛定谔方程在时间反演下的对称性（若 \(V(\mathbf{x})\) 为实函数）。
5. 特殊情况讨论
(1) 实势场 \(V(\mathbf{x})\)
- 若势场 \(V(\mathbf{x})\) 是实数（绝大多数物理情况），共轭方程形式如 (2) 所示。
- 此时概率流 \(\mathbf{j}\) 是实数，保证概率守恒。
(2) 复势场（非厄米系统）
- 若 \(V(\mathbf{x})\) 为复数（如开放系统或耗散系统），共轭方程需修改： \[ -i\hbar \frac{\partial \psi^*}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi^* + V^*(\mathbf{x}) \psi^* \]
- 此时概率可能不守恒（例如粒子数衰减）。
6. 与狄拉克方程的对比
- 薛定谔方程：适用于非相对论量子力学，复共轭形式直接对应概率流。
- 狄拉克方程：相对论性方程，其共轭形式涉及旋量共轭（\(\bar{\psi} = \psi^\dagger \gamma^0\)），用于构造四维概率流 \(j^\mu\)。
总结
| 性质 | 薛定谔方程 | 共轭形式 |
|---|---|---|
| 方程形式 | \(i\hbar \partial_t \psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V \psi\) | \(-i\hbar \partial_t \psi^* = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi^* + V \psi^*\) |
| 用途 | 描述波函数演化 | 1. 推导概率守恒； 2. 分析时间反演对称性 |
| 关键物理量 | 概率密度 \(\rho = \psi^* \psi\) | 概率流密度 \(\mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi} (\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*)\) |
核心结论：
薛定谔方程的共轭形式不仅是数学上的对称操作，更是物理守恒律（概率守恒）和对称性（时间反演）的基石。通过与原方程结合，它确保了量子力学理论的自洽性。
自由粒子的波函数及其复共轭形式
1. 自由粒子的波函数
自由粒子（无外势场，\( V(\mathbf{x}) = 0 \)）的薛定谔方程为： \[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi \] 其解为平面波或波包（平面波的叠加）。以下是两种常见形式：
(1) 平面波解（动量本征态）
\[ \psi(\mathbf{x}, t) = A e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)} \]
- 参数说明：
- \( A \)：归一化常数（若无限空间，常取 \( A = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \) 用于δ函数归一化）。
- \( \mathbf{k} = \mathbf{p}/\hbar \)：波矢（\(\mathbf{p}\) 为动量）。
- \( \omega = E/\hbar = \frac{\hbar k^2}{2m} \)：角频率（\(E\) 为能量）。
- 物理意义：
- 描述具有确定动量 \(\mathbf{p}\) 和能量 \(E\) 的粒子。
- 概率密度 \( \rho = |\psi|^2 = |A|^2 \) 为常数（空间均匀分布）。
(2) 高斯波包（局域化粒子）
\[ \psi(\mathbf{x}, t) = \left( \frac{1}{2\pi \sigma_t^2} \right)^{3/4} e^{-\frac{(\mathbf{x} - \mathbf{v}_g t)^2}{4 \sigma \sigma_t}} e^{i(\mathbf{k}_0 \cdot \mathbf{x} - \omega t)} \]
- 参数说明：
- \( \sigma_t = \sigma \left(1 + \frac{i \hbar t}{2 m \sigma^2}\right) \)：复宽度参数（\(\sigma\) 为初始宽度）。
- \( \mathbf{v}_g = \hbar \mathbf{k}_0 / m \)：群速度。
- 物理意义：
- 描述局域化的粒子，动量有一定分布（\(\Delta p \sim \hbar/\sigma\)）。
- 概率密度 \( \rho(\mathbf{x}, t) \) 随时间扩散（宽度 \(|\sigma_t|\) 增大）。
2. 波函数的复共轭形式
对上述波函数取复共轭（\(\psi \to \psi^*\)，\(i \to -i\)）：
(1) 平面波的复共轭
\[ \psi^*(\mathbf{x}, t) = A^* e^{-i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)} \]
- 物理意义：
- 复共轭波函数对应动量反向的平面波（若 \(A\) 为实数，则仅相位反转）。
- 概率密度不变：\(|\psi^*|^2 = |\psi|^2 = |A|^2\)。
(2) 高斯波包的复共轭
\[ \psi^*(\mathbf{x}, t) = \left( \frac{1}{2\pi \sigma_t^{*2}} \right)^{3/4} e^{-\frac{(\mathbf{x} - \mathbf{v}_g t)^2}{4 \sigma \sigma_t^*}} e^{-i(\mathbf{k}_0 \cdot \mathbf{x} - \omega t)} \]
- 复宽度参数：\(\sigma_t^* = \sigma \left(1 - \frac{i \hbar t}{2 m \sigma^2}\right)\)。
- 概率密度：仍为 \(|\psi^*|^2 = \rho(\mathbf{x}, t)\)（与 \(\psi\) 相同）。
3. 复共轭波函数的物理意义
-
概率守恒：
复共轭波函数与原波函数共同构造概率流密度： \[ \mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi} (\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*) \]- 对于平面波：\(\mathbf{j} = \frac{\hbar \mathbf{k}}{m} |A|^2 = \mathbf{v} \rho\)。
- 对于波包：\(\mathbf{j}\) 包含扩散项（见前文推导）。
-
时间反演对称性：
若 \(\psi(\mathbf{x}, t)\) 是薛定谔方程的解，则 \(\psi^*(\mathbf{x}, -t)\) 是其共轭方程的解。- 操作：\(t \to -t\)，\(\psi \to \psi^*\)，\(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\)（动量反向）。
-
散射问题中的应用：
复共轭波函数用于计算反射波或透射波的相位关系。
4. 算例验证
平面波的概率流
\[ \psi = A e^{i(kx - \omega t)}, \quad \psi^* = A^* e^{-i(kx - \omega t)} \] 计算概率流： \[ j = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x} \right) = \frac{\hbar k}{m} |A|^2 \] 与经典动量 \(p = \hbar k\) 一致。
高斯波包的守恒性
通过连续性方程 \(\partial_t \rho + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\) 可验证概率守恒（见前文推导）。
总结
| 形式 | 波函数 \(\psi(\mathbf{x}, t)\) | 复共轭 \(\psi^*(\mathbf{x}, t)\) |
|---|---|---|
| 平面波 | \(A e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)}\) | \(A^* e^{-i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)}\) |
| 高斯波包 | 含复宽度 \(\sigma_t\) 的高斯函数 | 复共轭宽度 \(\sigma_t^*\) |
| 物理作用 | 描述粒子运动 | 1. 构造概率流； 2. 分析时间反演对称性 |
核心结论：
自由粒子的波函数及其复共轭形式共同保证了量子力学中概率守恒、时间反演对称性等基本性质，是理论自洽性的关键。
平面波的归一化常数 \(A\) 与其复共轭 \(A^*\) 的关系
1. 归一化常数 \(A\) 的性质
对于自由粒子的平面波解： \[ \psi(\mathbf{x}, t) = A e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)} \]
- \(A\) 的取值：
- 若波函数在无限空间中，通常采用δ函数归一化（动量本征态）： \[ A = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}, \quad \text{因此} \ A^* = A \ \text{（实数）} \]
- 若采用箱归一化（周期性边界条件，如边长为 \(L\) 的立方体）： \[ A = \frac{1}{\sqrt{L^3}}, \quad \text{因此} \ A^* = A \ \text{（实数）} \]
- 若 \(A\) 为复数（如引入相位因子 \(e^{i\theta}\)），则 \(A^* \neq A\)，但物理可观测量的概率密度 \(|\psi|^2\) 不受影响。
结论：
- 通常默认 \(A\) 为实数（即 \(A^* = A\)），因为相位因子可合并到指数项中。
- 若 \(A\) 显含复数相位（如 \(A = |A| e^{i\alpha}\)），则 \(A^* = |A| e^{-i\alpha}\)，但 \(|\psi|^2\) 仍为 \(|A|^2\)。
2. 平面波的 \(\psi(\mathbf{x}, t) \cdot \psi^*(\mathbf{x}, t)\) 计算
直接计算概率密度： \[ \rho(\mathbf{x}, t) = \psi(\mathbf{x}, t) \cdot \psi^*(\mathbf{x}, t) = |\psi(\mathbf{x}, t)|^2 \] 代入平面波形式： \[ \psi \cdot \psi^* = \left| A e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)} \right|^2 = |A|^2 \cdot \left| e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)} \right|^2 \] 因为 \(|e^{i\theta}| = 1\)，所以： \[ \boxed{ \psi \cdot \psi^* = |A|^2 } \]
物理意义：
- 平面波的概率密度 \(\rho(\mathbf{x}, t) = |A|^2\) 与位置和时间无关，说明自由粒子在空间中是均匀分布的。
- 若采用δ函数归一化（\(A = (2\pi)^{-3/2}\)），则 \(|A|^2 = \frac{1}{(2\pi)^3}\)；若箱归一化（\(A = L^{-3/2}\)），则 \(|A|^2 = \frac{1}{L^3}\)。
3. 关键问题解答
-
\(A^*\) 是否等于 \(A\)？
- 若 \(A\) 为实数（通常默认），则 \(A^* = A\)。
- 若 \(A\) 为复数（如 \(A = |A| e^{i\alpha}\)），则 \(A^* \neq A\)，但 \(|\psi|^2\) 仍为 \(|A|^2\)。
-
\(\psi \cdot \psi^*\) 的结果是什么？
- 对平面波，\(\psi \cdot \psi^* = |A|^2\)，即概率密度为常数。
-
为何平面波的 \(\rho\) 是常数？
- 平面波具有确定的动量 \(\mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}\)，根据不确定性原理，其位置完全不确定（\(\Delta x \to \infty\)），因此在全空间均匀分布。
4. 对比高斯波包
| 性质 | 平面波 | 高斯波包 |
|---|---|---|
| 波函数 | \(\psi = A e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)}\) | \(\psi = A(t) e^{-\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{v}_g t)^2}{4 \sigma \sigma_t}} e^{i(\mathbf{k}_0 \cdot \mathbf{x} - \omega t)}\) |
| 概率密度 | \(\rho = | A |
| 归一化 | 需箱归一化或δ函数归一化 | 可严格归一化（\(\int \rho , d^3x = 1\)） |
5. 数学验证（δ函数归一化）
若平面波按动量本征态归一化： \[ \int \psi_{\mathbf{k}’}^*(\mathbf{x}) \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x}) , d^3x = \delta^3(\mathbf{k} - \mathbf{k}’) \] 则： \[ \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}, \quad \psi \cdot \psi^* = \frac{1}{(2\pi)^3} \]
总结
- 平面波的 \(A\) 通常为实数（\(A^* = A\)），概率密度 \(\rho = |A|^2\) 为常数。
- 物理意义：平面波描述动量完全确定的粒子，位置概率均匀分布，无法局域化。
- 扩展应用：实际物理问题中（如散射理论），需用波包或叠加态描述局域化粒子。
将平面波的指数形式转换为三角函数并计算 \(\psi \cdot \psi^*\)
1. 平面波的三角函数表示
自由粒子的平面波解为： \[ \psi(x, t) = A e^{i(kx - \omega t)} \] 利用欧拉公式 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta\)，可将其展开为三角函数： \[ \psi(x, t) = A \left[ \cos(kx - \omega t) + i \sin(kx - \omega t) \right] \]
2. 复共轭波函数的三角函数表示
复共轭波函数 \(\psi^*(x, t)\) 为： \[ \psi^*(x, t) = A^* e^{-i(kx - \omega t)} = A^* \left[ \cos(kx - \omega t) - i \sin(kx - \omega t) \right] \]
3. 计算 \(\psi \cdot \psi^*\)
将 \(\psi\) 和 \(\psi^*\) 相乘： \[ \psi \cdot \psi^* = A \left[ \cos(kx - \omega t) + i \sin(kx - \omega t) \right] \cdot A^* \left[ \cos(kx - \omega t) - i \sin(kx - \omega t) \right] \] 展开乘法： \[ = A A^* \left[ \cos^2(kx - \omega t) - i \cos(kx - \omega t) \sin(kx - \omega t) + i \cos(kx - \omega t) \sin(kx - \omega t) - i^2 \sin^2(kx - \omega t) \right] \] 简化后（注意到中间两项相消，且 \(i^2 = -1\)）： \[ = |A|^2 \left[ \cos^2(kx - \omega t) + \sin^2(kx - \omega t) \right] \] 利用三角恒等式 \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)： \[ \psi \cdot \psi^* = |A|^2 \]
4. 关键步骤总结
- 指数转三角：用欧拉公式将 \(e^{i(kx - \omega t)}\) 展开为 \(\cos + i \sin\)。
- 复共轭变换：将 \(i\) 取反得到 \(\psi^*\) 的三角形式。
- 相乘化简：交叉项相消，剩余部分利用三角恒等式合并。
- 结果：\(\psi \cdot \psi^* = |A|^2\)，与直接计算模平方一致。
5. 物理意义
- 无论用指数形式还是三角函数形式，概率密度 \(\rho = |\psi|^2\) 均为常数 \(|A|^2\)。
- 这表明平面波描述的粒子在空间中均匀分布，符合动量完全确定（\(\Delta p = 0\)）时位置完全不确定（\(\Delta x \to \infty\)）的量子力学原理。
对比直接指数运算
| 方法 | 步骤 | 结果 |
|---|---|---|
| 指数形式直接计算 | \( | \psi |
| 三角函数展开计算 | 展开为 \(\cos + i\sin\)，相乘后利用三角恒等式 | \( |
两种方法等价，但三角函数展开更显式地展示了虚部的相消过程。
$$ i\hbar \partial_t \psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V \psi $$
将该方程两边除以 $ i\hbar $，可得：
$$ \partial_t \psi = \frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi - \frac{i}{\hbar} V \psi $$
第一个表达式：
$$ (\partial_t - \frac{i\hbar}{2m} \nabla^2)\psi $$
将其代入上式：
$$ \partial_t \psi - \frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi = \left( \frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi - \frac{i}{\hbar} V \psi \right) - \frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi = -\frac{i}{\hbar} V \psi $$
第二个表达式：
$$ (\partial_t + \frac{i\hbar}{2m} \nabla^2)\psi^* $$
首先写出薛定谔方程的共轭形式（假设势能 $ V $ 为实函数）：
$$ -i\hbar \partial_t \psi^* = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi^* + V \psi^* $$
两边除以 $ -i\hbar $ 得：
$$ \partial_t \psi^* = -\frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi^* + \frac{i}{\hbar} V \psi^* $$
将其代入原表达式：
$$ \partial_t \psi^* + \frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi^* = \left( -\frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi^* + \frac{i}{\hbar} V \psi^* \right) + \frac{i\hbar}{2m} \nabla^2 \psi^* = \frac{i}{\hbar} V \psi^* $$
最终结论：
对于非自由粒子，以下两个表达式的结果分别为：
$$ (\partial_t - \frac{i\hbar}{2m} \nabla^2)\psi = -\frac{i}{\hbar} V \psi $$
$$ (\partial_t + \frac{i\hbar}{2m} \nabla^2)\psi^* = \frac{i}{\hbar} V \psi^* $$
说明：
- 这些结果反映了薛定谔方程中势能 $ V $ 对波函数演化的影响；
- 若势能 $ V $ 为实函数，则上述结果的虚部由势能项主导；
- 当 $ V = 0 $（自由粒子）时，两个表达式均为零，符合预期。
1. 一般情况下（\(V\) 为实函数）
若势能 \(V(\mathbf{x})\) 是实函数（即 \(V^* = V\)），则： \[ \psi^* V \psi = \psi V \psi^*, \] 因为标量乘法满足交换律，且 \(V\) 是实数。这是最常见的物理情况，例如：
- 库仑势 \(V(r) = -\frac{e^2}{r}\)，
- 谐振子势 \(V(x) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2\)。
结论：对于实势能，两者恒等。
2. 当 \(\psi^* V \psi \neq \psi V \psi^*\) 的情况
以下两种情况下，两者可能不相等：
(1) 势能 \(V\) 是复函数
若 \(V(\mathbf{x})\) 是复函数（即 \(V^* \neq V\)），则： \[ \psi^* V \psi \neq \psi V \psi^*. \] 物理意义：
- 复势能通常出现在非厄米系统中，描述开放量子系统（如粒子吸收或增益）。
- 例如光学系统中的复折射率势 \(V(x) = V_0 + i \gamma\)（\(\gamma\) 为吸收或增益系数）。
算例： 设 \(V = i \gamma\)（纯虚数），则： \[ \psi^* V \psi = i \gamma |\psi|^2, \quad \psi V \psi^* = -i \gamma |\psi|^2, \] 显然 \( \psi^* V \psi \neq \psi V \psi^* \)。
(2) 势能算符 \(\hat{V}\) 不可交换
若 \(V\) 是一个算符（而非简单的函数），且与波函数不可交换，例如：
- \(V\) 是微分算符（如 \(V \sim \partial_x\)），
- \(V\) 是矩阵（如在多分量波函数中）。
此时： \[ \psi^* V \psi \neq \psi V \psi^*, \] 因为算符的作用顺序会影响结果。
算例： 设 \(V = \partial_x\)，波函数 \(\psi(x) = e^{ikx}\)，则： \[ \psi^* V \psi = e^{-ikx} \partial_x e^{ikx} = ik, \quad \psi V \psi^* = e^{ikx} \partial_x e^{-ikx} = -ik. \]
3. 物理意义与后果
当 \(\psi^* V \psi \neq \psi V \psi^*\) 时，通常意味着：
-
概率不守恒：
- 复势能会导致概率密度 \(\rho = |\psi|^2\) 随时间增减（如粒子被吸收或激发）。
- 连续性方程修正为： \[ \partial_t \rho + \nabla \cdot \mathbf{j} = \frac{2}{\hbar} \text{Im}(V) |\psi|^2. \] 若 \(\text{Im}(V) \neq 0\)，右侧不为零，概率不再守恒。
-
非厄米哈密顿量：
- 复势能对应的哈密顿量 \(H = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V\) 是非厄米的（\(H \neq H^\dagger\)），本征值可能为复数，描述耗散或放大过程。
-
对称性破缺：
- 复势能破坏时间反演对称性（因为 \(T: i \to -i\)）。
4. 常见应用场景
- 光学系统：介电常数的虚部对应光吸收或增益。
- 粒子物理：光学势模型描述核子散射中的吸收。
- PT对称量子力学：尽管势能复值，但满足 \(V^*(-x) = V(x)\) 时，可存在实能谱。
总结
| 条件 | 是否满足 \(\psi^* V \psi = \psi V \psi^*\) | 物理意义 |
|---|---|---|
| \(V\) 为实函数 | ✅ 相等 | 概率守恒，厄米系统 |
| \(V\) 为复函数 | ❌ 不等 | 概率不守恒，非厄米系统 |
| \(V\) 为不可交换算符 | ❌ 不等 | 多分量波函数或微分算符作用 |
关键结论：
只有当势能 \(V\) 是实函数时，\(\psi^* V \psi\) 和 \(\psi V \psi^*\) 才相等；若 \(V\) 为复函数或不可交换算符，两者不等，对应非厄米性或更复杂的量子动力学。
1. 势能的期望值
对于归一化的波函数 \(\psi(\mathbf{x}, t)\)，势能 \(V(\mathbf{x})\) 的量子力学期望值定义为： \[ \langle V \rangle = \int \psi^*(\mathbf{x}, t) , V(\mathbf{x}) , \psi(\mathbf{x}, t) , d^3x \] 因此，被积函数 \(\psi^* V \psi\) 表示：
- 物理量：在位置 \(\mathbf{x}\) 处，势能 \(V(\mathbf{x})\) 对概率密度 \(|\psi|^2\) 的加权贡献。
- 全局意义：在全空间积分后，给出势能的统计平均值。
2. 局域物理意义
若单独考察 \(\psi V \psi^*\)（注意顺序）：
- 数学形式：由于 \(V\) 通常是实函数（\(V^* = V\)），有 \(\psi V \psi^* = V |\psi|^2 = \psi^* V \psi\)。
- 物理量：表示概率密度 \(|\psi|^2\) 与势能 \(V\) 的乘积，即在位置 \(\mathbf{x}\) 处，单位体积内的势能贡献。
例子：
- 若 \(V(\mathbf{x})\) 是库仑势 \(V(r) = -\frac{e^2}{r}\)，则 \(\psi V \psi^*\) 给出电子在原子核场中的静电势能密度分布。
3. 特殊情况讨论
(1) 复势能 \(V \in \mathbb{C}\)
若势能为复数（如非厄米系统）：
- \(\psi V \psi^*\) 的实部仍表示势能的局域贡献，虚部对应概率的吸收或增益（如光学系统中的损耗或放大）。
- 此时 \(\psi^* V \psi \neq \psi V \psi^*\)，且虚部破坏概率守恒。
(2) 算符势能 \(\hat{V}\)
若 \(V\) 是算符（如自旋耦合或微分算符）：
- \(\psi V \psi^*\) 可能无直接物理意义，需结合具体形式分析。
- 例如，若 \(V = \mathbf{S} \cdot \mathbf{B}\)（自旋-磁场耦合），则 \(\psi^* V \psi\) 表示磁势能的期望值，而 \(\psi V \psi^*\) 可能涉及非厄米性。
4. 与概率流的关系
在概率守恒方程中： \[ \partial_t |\psi|^2 + \nabla \cdot \mathbf{j} = \frac{2}{\hbar} \text{Im}(V) |\psi|^2 \] 若 \(V\) 为实数（\(\text{Im}(V) = 0\)），则 \(\psi V \psi^* = V |\psi|^2\) 不直接影响概率守恒；若 \(V\) 为复数，虚部会通过右侧项改变概率密度。
5. 总结
| 表达式 | 物理意义 | 适用条件 |
|---|---|---|
| \(\psi^* V \psi\) | 势能 \(V\) 的期望值密度，积分后得 \(\langle V \rangle\)。 | \(V\) 为实函数或厄米算符 |
| \(\psi V \psi^*\) | 等价于 \(\psi^* V \psi\)（若 \(V\) 为实函数），否则可能无直接物理解释。 | 需具体分析 \(V\) 的性质 |
结论：
\(\psi V \psi^*\) 在标准量子力学中（\(V\) 为实函数）与 \(\psi^* V \psi\) 等价，表示势能在概率密度分布下的局域贡献；对于复势能或算符势能，需谨慎分析其物理含义。