一个粒子的动量关系如下：
\( p^2 =p_x^2 +p_y^2 +p_z^2 \)
或：
\( \vec{p} = p_x \vec{x} + p_y \vec{y} + p_z \vec{z} \)
假设一个粒子是绕z轴旋转，所以动量关系要表示为向量方式，x，y方向可以合成一个，比如：
\( \vec{p} = p_x \vec{x} + p_y \vec{y} + p_z \vec{z} \)
\( = p_x \vec{x} + i p_y \vec{x} + p_z \vec{z} \)
这里，是用了 \( \vec{y} =i \vec{x} \)表示了y是x逆时针旋转90度
于是将三个向量，变成了两个向量，上式可以表示为：
\( p_x \vec{x} + i p_y \vec{x} + p_z \vec{z} = (p_x+ip_y, p_z)\begin{pmatrix} \vec{x} \\ \vec{z} \end{pmatrix} \)
我们将\( p^2 =p_x^2 +p_y^2 +p_z^2 \)分成两个分量 \((p_x^2 + p_y^2, p_z^2)\)，并对其开平方：
\( A^2 =(p_x^2 + p_y^2, p_z^2) \)，
可以求得：
\( A=\begin{pmatrix} \sqrt{p_z^2} & \sqrt{p_x^2 + p_y^2} e^{-i \phi} \\ \sqrt{p_x^2 + p_y^2} e^{i \phi} & -\sqrt{p_z^2} \end{pmatrix} \)
\( = \begin{pmatrix} p_z & p_x - i p_y \\ p_x + i p_y & -p_z \end{pmatrix} \)
将其分成\((p_x, p_y, p_z)\)的形式，
\(p_x\)对应的系数，令\(p_y=p_z=0\), 则\(A=\sigma_1\)就是\(p_x\)的系数，
同样，\(p_y\)的系数为\(\sigma_2\), \(p_z\)的系数为\(\sigma_3\)
于是：
\( A=(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3) \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix}=\sigma_1x+\sigma_2y+\sigma_3z \)
由此可以得知：标量的开平方是正负两个值，可以表示为一维矩阵，一维矩阵开平方，可以表示为2*2的矩阵。
====================方法2=======================
假设 \( p=a p_x + b p_y + c p_z \), 并且 \( p^2 =p_x^2 + p_y^2 + p_z ^2 \)，
我们可以得：
\[ p^2 = p \cdot p = (a p_x + b p_y + c p_z) \cdot (a p_x + b p_y + c p_z) \] \[ = a \cdot a p_x^2 + b \cdot b p_y^2 + c \cdot c p_z^2 + 2 a \cdot b p_x p_y + 2 a \cdot c p_x p_z + 2 b \cdot c p_y p_z \] \[ = p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 \]
于是：
\[ a \cdot a = 1, \quad b \cdot b = 1, \quad c \cdot c = 1 \]
\[ a \cdot b = 0, \quad a \cdot c = 0, \quad b \cdot c = 0 \]
但这个结果并不能得到一个合理的解，所以我们要求a,b,c是矩阵，不对易(ab不等于ba)，有四个矩阵：
\( p I = a p_x + b p_y +c p_z \)
\(I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)，上面的结论就变成了：
\[ a \cdot a = I, \quad b \cdot b = I, \quad c \cdot c = I \]
\[ a \cdot b + b \cdot a= 0, \quad a \cdot c + c \cdot a= 0, \quad b \cdot c + c \cdot b= 0 \]
假设 \( a=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)，根据上面的等式就可以求出 \(b=\sigma_2, c=\sigma_3\)