哈密顿正则方程（Hamilton’s Canonical Equations）

哈密顿正则方程是分析力学中描述系统演化的核心方程，它采用广义坐标 \( q_i \) 和广义动量 \( p_i \) 来表示动力学，具有对称性和普适性。其形式为： \[ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \] 其中：

  • \( H(q, p, t) \) 是哈密顿量（系统的总能量，通常 \( H = T + V \)）；
  • \( \dot{q}_i \) 和 \( \dot{p}_i \) 分别是广义坐标和广义动量的时间导数。

1. 正则方程的推导

(1) 从拉格朗日力学出发

拉格朗日量 \( L(q, \dot{q}, t) \) 通过勒让德变换（Legendre Transform）转换为哈密顿量 \( H(q, p, t) \)： \[ H(q, p, t) = \sum_i p_i \dot{q}_i - L(q, \dot{q}, t), \quad \text{其中} \quad p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}. \] 对 \( H \) 全微分并利用拉格朗日方程 \( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) = \frac{\partial L}{\partial q_i} \)，可得： \[ dH = \sum_i \left( \dot{q}_i dp_i - \dot{p}_i dq_i \right) - \frac{\partial L}{\partial t} dt. \] 比较 \( dH \) 的表达式： \[ dH = \sum_i \left( \frac{\partial H}{\partial q_i} dq_i + \frac{\partial H}{\partial p_i} dp_i \right) + \frac{\partial H}{\partial t} dt, \] 直接得到正则方程： \[ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}. \]

(2) 从变分原理推导

哈密顿原理要求作用量 \( S = \int L , dt \) 取极值，通过改写为 \( H \) 的形式： \[ \delta S = \delta \int \left( \sum_i p_i \dot{q}_i - H \right) dt = 0, \] 独立变分 \( q_i \) 和 \( p_i \) 后，同样可导出正则方程。

2. 物理意义

  1. 广义坐标的演化：
    \( \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \) 描述了坐标随时间的变化，例如：

    • 若 \( H = \frac{p^2}{2m} + V(q) \)，则 \( \dot{q} = \frac{p}{m} \)（即经典速度定义）。

  2. 广义动量的演化：
    \( \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \) 对应牛顿第二定律的广义形式：

    • 若 \( H \) 含势能 \( V(q) \)，则 \( \dot{p} = -\frac{\partial V}{\partial q} = F \)（广义力）。

  3. 对称性与守恒量：

    • 若 \( H \) 不显含 \( q_i \)，则 \( p_i \) 守恒（动量守恒）；
    • 若 \( H \) 不显含时间 \( t \)，则 \( H \) 自身守恒（能量守恒）。

3. 与拉格朗日力学的对比

性质 拉格朗日力学 哈密顿力学
变量 广义坐标 \( q_i \) 和速度 \( \dot{q}_i \) 广义坐标 \( q_i \) 和动量 \( p_i \)
方程数 \( N \) 个二阶微分方程 \( 2N \) 个一阶微分方程
对称性处理 较复杂（需约束） 更直接（动量显式出现）
适用性 非保守系统较方便 保守系统、统计力学、量子力学更常用

4. 应用示例

简谐振子

  • 哈密顿量：
    \[ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k q^2 \]
  • 正则方程：
    \[ \dot{q} = \frac{p}{m}, \quad \dot{p} = -k q \]
  • 联立后得到谐振动方程：
    \[ \ddot{q} + \omega^2 q = 0 \quad (\omega^2 = k/m). \]

中心力场（行星运动）

  • 哈密顿量：
    \[ H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{L^2}{2mr^2} + V(r) \]
  • 角动量 \( L \) 守恒（因 \( H \) 不依赖 \( \theta \)），径向运动由 \( \dot{p}_r = -\frac{\partial H}{\partial r} \) 决定。

5. 几何解释（辛几何）

哈密顿方程定义了相空间中的辛流形（Symplectic Manifold）：

  • 相空间坐标 \( (q_i, p_i) \) 构成偶数维空间；
  • 辛形式 \( \omega = \sum_i dp_i \wedge dq_i \) 给出体积元不变性（刘维尔定理）；
  • 时间演化是相空间的哈密顿流，保持辛结构不变。

6. 量子力学中的推广

在量子力学中，正则变量 \( q \) 和 \( p \) 变为算符 \( \hat{q} \) 和 \( \hat{p} \)，满足对易关系： \[ [\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar, \] 对应经典泊松括号 \( \{q, p\} = 1 \)。哈密顿方程推广为海森堡运动方程： \[ \frac{d\hat{A}}{dt} = \frac{1}{i\hbar} [\hat{A}, \hat{H}] + \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}. \]

总结

哈密顿正则方程通过对称的一阶微分方程描述了系统的演化：

  1. 形式简洁：将动力学分解为坐标和动量的耦合演化；
  2. 普适性强：适用于经典力学、统计力学、量子场论等领域；
  3. 几何深刻：揭示了相空间的辛结构和守恒律的几何根源。

它是连接经典与量子物理的重要桥梁，也是现代物理理论（如广义相对论、场论）的基础工具。