***延迟势的计算

延迟势（Retarded Potential）是处理电磁场中时变源（如变化的电荷或电流分布）所产生的场的一种方法。它考虑了电磁扰动以光速传播的延迟效应，即场在某一时刻的状态取决于源在更早时刻（“推迟时间”）的状态。

基本概念

对于时变电荷密度 \(\rho(\mathbf{r}’, t)\) 和电流密度 \(\mathbf{J}(\mathbf{r}’, t)\)，标量势 \(\phi\) 和矢量势 \(\mathbf{A}\) 的延迟势表达式为：

  1. 标量势（电势）： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho\left(\mathbf{r}’, t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c}\right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3\mathbf{r}’ \]

  2. 矢量势（磁势）： \[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}’, t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c}\right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3\mathbf{r}’ \]

其中：

  • \(\mathbf{r}\) 是观察点的位置，
  • \(\mathbf{r}’\) 是源点的位置，
  • \(c\) 是光速，
  • \(t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c}\) 是推迟时间，表示扰动从源点传播到观察点所需的时间。

物理意义

延迟势反映了电磁场的因果性：观察点在时间 \(t\) 感受到的势是由源点在更早时间 \(t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c}\) 的状态决定的。这是因为电磁场以光速 \(c\) 传播，信息不能瞬时传递。

计算步骤

  1. 确定源分布：给出电荷密度 \(\rho(\mathbf{r}’, t)\) 或电流密度 \(\mathbf{J}(\mathbf{r}’, t)\) 的具体形式。
  2. 计算推迟时间：对每个源点 \(\mathbf{r}’\)，计算推迟时间 \(t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c}\)。
  3. 积分计算：
    • 将推迟时间代入源函数，得到 \(\rho(\mathbf{r}’, t_{\text{ret}})\) 或 \(\mathbf{J}(\mathbf{r}’, t_{\text{ret}})\)。
    • 对所有源点进行积分，注意分母中的 \(|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|\) 是距离的倒数。
  4. 验证边界条件：确保结果满足物理边界条件（如无穷远处势为零）。

例子：点电荷的延迟势

假设一个点电荷 \(q\) 以轨迹 \(\mathbf{r_0}(t)\) 运动，其电荷密度为： \[ \rho(\mathbf{r}’, t) = q \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r_0}(t)) \] 标量势为： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{q \delta^3\left(\mathbf{r}’ - \mathbf{r_0}\left(t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c}\right)\right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3\mathbf{r}’ \] 积分后得到： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(t_{\text{ret}})|} \] 其中 \(t_{\text{ret}}\) 需满足隐式方程： \[ t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(t_{\text{ret}})|}{c} \]

注意事项

  1. 推迟时间的隐式方程：对于运动点源，\(t_{\text{ret}}\) 可能需数值求解。
  2. 近场与远场：在近场（\(|\mathbf{r} - \mathbf{r}’| \ll \lambda\)）或静态极限下，延迟效应可忽略；远场（辐射场）需显式考虑延迟。
  3. 洛伦兹规范：延迟势天然满足洛伦兹规范条件 \(\nabla \cdot \mathbf{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0\)。

应用

延迟势广泛用于：

  • 天线理论（辐射场计算），
  • 运动电荷的辐射（如李纳-维谢尔势），
  • 电磁波的散射与传播问题。

如果需要具体问题的计算（如特定电荷分布的延迟势），可进一步讨论！

***李纳维谢尔势

### **李纳-维谢尔势（Liénard-Wiechert Potential）**

李纳-维谢尔势是描述运动点电荷产生的电磁场的推迟势（Retarded Potential），由阿尔弗雷德·李纳（Alfred Liénard）和埃米尔·维谢尔（Emil Wiechert）在19世纪末独立提出。它推广了静电场和静磁场的库仑势和毕奥-萨伐尔定律，适用于任意运动的带电粒子（包括加速运动）。

1. 基本形式

对于一个以速度 \(\mathbf{v}(t)\) 运动的点电荷 \(q\)，其轨迹为 \(\mathbf{r_0}(t)\)，李纳-维谢尔势给出观察点 \(\mathbf{r}\) 在时间 \(t\) 的标量势 \(\phi\) 和矢量势 \(\mathbf{A}\)：

(1) 标量势（电势）

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{q}{(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) R} \right)_{\text{ret}} \]

(2) 矢量势（磁矢势）

\[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{q \mathbf{v}}{(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) R} \right)_{\text{ret}} \]

其中：

  • \(\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r_0}(t_{\text{ret}})\) 是推迟时刻的位移矢量，
  • \(R = |\mathbf{R}|\) 是推迟距离，
  • \(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}\) 是单位方向矢量，
  • \(\boldsymbol{\beta} = \frac{\mathbf{v}(t_{\text{ret}})}{c}\) 是推迟时刻的归一化速度，
  • \(\text{ret}\) 表示所有量在推迟时间 \(t_{\text{ret}} = t - \frac{R}{c}\) 计算。

2. 推迟时间 \(t_{\text{ret}}\) 的物理意义

由于电磁场以光速传播，观察点 \(\mathbf{r}\) 在时间 \(t\) 感受到的势是由电荷在更早时间 \(t_{\text{ret}}\) 的状态决定的： \[ t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(t_{\text{ret}})|}{c} \] 这是一个隐式方程，通常需要数值求解。

3. 关键因子：\(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}\)

  • \(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}\) 表示电荷运动方向与观测方向的投影：
    • 若电荷朝观测者运动（\(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} > 0\)），分母变小，势增强（多普勒效应）。
    • 若电荷远离观测者（\(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} < 0\)），分母变大，势减弱。
  • 当 \(v \to c\)（接近光速），分母可能趋近于零，导致场强极大（相对论性粒子辐射）。

4. 电磁场的计算

由 \(\phi\) 和 \(\mathbf{A}\) 可计算电场 \(\mathbf{E}\) 和磁场 \(\mathbf{B}\)： \[ \mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \quad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \] 最终表达式分为两部分：

  1. 速度场（Coulomb-like 场）：与电荷速度相关，随 \(1/R^2\) 衰减（近场）。
  2. 加速度场（辐射场）：与电荷加速度相关，随 \(1/R\) 衰减（远场，可传播到无穷远）。

辐射场（加速度相关部分）

\[ \mathbf{E_{\text{rad}}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c^2} \left( \frac{\mathbf{n} \times [(\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}]}{(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^3 R} \right)_{\text{ret}} \]

\[ \mathbf{B_{\text{rad}}} = \frac{\mathbf{n}}{c} \times \mathbf{E_{\text{rad}}} \]

  • 只有**加速电荷（\(\dot{\boldsymbol{\beta}} \neq 0\)）**才会辐射电磁波。
  • 辐射方向由 \(\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \dot{\boldsymbol{\beta}})\) 决定，形成偶极辐射模式。

5. 应用

  1. 同步辐射：高速电子在磁场中偏转时发出的辐射。
  2. 切伦科夫辐射：带电粒子在介质中运动速度超过光速时产生的辐射。
  3. 天线理论：振荡电荷的辐射场计算。
  4. 等离子体物理：带电粒子的辐射与能量损失。

6. 特殊情况

(1) 静止电荷

若 \(\mathbf{v} = 0\)，李纳-维谢尔势退化为库仑势： \[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R}, \quad \mathbf{A} = 0 \]

(2) 匀速运动电荷

若 \(\mathbf{v} = \text{const}\)，无加速度（\(\dot{\boldsymbol{\beta}} = 0\)），仅存在速度场，无辐射： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{\sqrt{(x - vt)^2 + (1 - \beta^2)(y^2 + z^2)}} \] （电场线沿运动方向收缩，符合狭义相对论的长度收缩效应。）

7. 总结

  • 李纳-维谢尔势是运动点电荷电磁场的精确解，包含推迟效应。
  • 辐射场仅由加速度产生，适用于任何相对论性运动电荷。
  • 广泛应用于高能物理、等离子体物理和电磁辐射研究。

如果需要具体计算某个运动电荷的势或场，可以进一步讨论！

***匀速运动电荷的李纳维谢尔势是怎么求出来的

匀速运动点电荷的李纳-维谢尔势可以通过严格的推迟势计算和洛伦兹变换两种方法得到。以下是详细的推导过程：

方法一：直接计算推迟势

考虑一个以恒定速度 \(\mathbf{v}\) 运动的点电荷 \(q\)，其轨迹为 \(\mathbf{r_0}(t) = \mathbf{v}t\)（设初始位置为原点）。观察点 \(\mathbf{r}\) 在时间 \(t\) 的势由推迟时间 \(t_{\text{ret}}\) 决定：

1. 推迟时间的隐式方程

推迟时间满足： \[ t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{v} t_{\text{ret}}|}{c} \] 定义推迟时刻的电荷位置 \(\mathbf{r_0}(t_{\text{ret}}) = \mathbf{v} t_{\text{ret}}\)，位移矢量： \[ \mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{v} t_{\text{ret}}, \quad R = |\mathbf{R}| \]

2. 解推迟时间

将 \(R = c(t - t_{\text{ret}})\) 代入位移关系： \[ |\mathbf{r} - \mathbf{v} t_{\text{ret}}| = c(t - t_{\text{ret}}) \] 两边平方后得到关于 \(t_{\text{ret}}\) 的二次方程： \[ |\mathbf{r}|^2 - 2 \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} t_{\text{ret}} + v^2 t_{\text{ret}}^2 = c^2(t^2 - 2 t t_{\text{ret}} + t_{\text{ret}}^2) \] 整理后： \[ (c^2 - v^2) t_{\text{ret}}^2 + 2(\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} - c^2 t) t_{\text{ret}} + (c^2 t^2 - |\mathbf{r}|^2) = 0 \] 解为： \[ t_{\text{ret}} = \frac{c^2 t - \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} \pm \sqrt{(\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} - c^2 t)^2 - (c^2 - v^2)(c^2 t^2 - |\mathbf{r}|^2)}}{c^2 - v^2} \] 选择物理解（保证 \(t_{\text{ret}} < t\)）： \[ t_{\text{ret}} = \frac{c^2 t - \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} - \sqrt{(\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} - c^2 t)^2 + (c^2 - v^2)(|\mathbf{r}|^2 - c^2 t^2)}}{c^2 - v^2} \]

3. 计算推迟距离 \(R\)

由 \(R = c(t - t_{\text{ret}})\)，代入 \(t_{\text{ret}}\) 的表达式可得： \[ R = \frac{(\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} - c^2 t) + \sqrt{(\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} - c^2 t)^2 + (c^2 - v^2)(|\mathbf{r}|^2 - c^2 t^2)}}{c^2 - v^2} \cdot c \] 进一步化简后得到： \[ R = \sqrt{(\mathbf{r} - \mathbf{v}t)^2 + \frac{(\mathbf{r} \times \mathbf{v})^2}{c^2 - v^2}} \]

4. 李纳-维谢尔势的表达式

标量势和矢量势的分母中包含因子 \((1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})\)，其中： \[ \mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}, \quad \boldsymbol{\beta} = \frac{\mathbf{v}}{c} \] 对于匀速运动，计算可得： \[ 1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \frac{R}{|\mathbf{r} - \mathbf{v}t|} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \] 最终势函数为： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{\sqrt{(x - vt)^2 + (1 - \beta^2)(y^2 + z^2)}} \] \[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0 q \mathbf{v}}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{(x - vt)^2 + (1 - \beta^2)(y^2 + z^2)}} \] 其中 \(\beta = v/c\)，假设 \(\mathbf{v}\) 沿 \(x\) 方向。

方法二：利用洛伦兹变换

匀速运动电荷的势也可以通过静电场势的洛伦兹变换得到：

1. 静止系中的势

在电荷静止的参考系 \(S’\) 中，势为库仑势： \[ \phi’ = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r’}, \quad \mathbf{A}’ = 0 \] 其中 \(r’ = \sqrt{x’^2 + y’^2 + z’^2}\)。

2. 洛伦兹变换到实验室系 \(S\)

设 \(S’\) 以速度 \(\mathbf{v}\) 沿 \(x\) 方向运动，坐标变换为： \[ x’ = \gamma(x - vt), \quad y’ = y, \quad z’ = z, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \] 势的四维矢量 \((\phi/c, \mathbf{A})\) 按洛伦兹变换： \[ \phi = \gamma \phi’, \quad A_x = \gamma \frac{v}{c^2} \phi’, \quad A_y = A_z = 0 \]

3. 结果

代入 \(r’ = \sqrt{\gamma^2(x - vt)^2 + y^2 + z^2}\)，得到： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{\gamma}{\sqrt{\gamma^2(x - vt)^2 + y^2 + z^2}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{\sqrt{(x - vt)^2 + (1 - \beta^2)(y^2 + z^2)}} \] \[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0 q \mathbf{v}}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{(x - vt)^2 + (1 - \beta^2)(y^2 + z^2)}} \] 与方法一结果一致。

关键点总结

  1. 推迟效应：匀速运动电荷的势仍依赖推迟时间，但隐式方程可解析求解。
  2. 相对论收缩：分母中的 \((1 - \beta^2)\) 项反映了运动方向（\(x\)）的洛伦兹收缩。
  3. 无辐射：匀速运动的加速度为零，故无辐射场（\(\mathbf{E}_{\text{rad}} = 0\)）。

此结果广泛应用于匀速带电粒子的电磁场分析，如相对论性粒子束的场计算。

***李纳维谢尔势方程是怎么得来的

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李纳-维谢尔势（Liénard-Wiechert Potential）是描述**运动点电荷**产生的电磁势的精确解，它直接从麦克斯韦方程组和推迟势的概念推导而来。以下是其详细的推导过程：

1. 基础：推迟势（Retarded Potential）

麦克斯韦方程组在洛伦兹规范（Lorenz Gauge）下可以写成波动方程：

\[ \Box \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}, \quad \Box \mathbf{A} = -\mu_0 \mathbf{J} \]

其中 \(\Box = \nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\) 是达朗贝尔算符。
对于点电荷 \(q\)，电荷密度和电流密度为：

\[ \rho(\mathbf{r}, t) = q \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(t)), \quad \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) = q \mathbf{v}(t) \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(t)) \]

其推迟势解为：

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}’, t_{\text{ret}})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3\mathbf{r}’ \]

\[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}’, t_{\text{ret}})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3\mathbf{r}’ \]

其中 \(t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c}\) 是推迟时间。

2. 点电荷推迟势的积分

将 \(\rho\) 和 \(\mathbf{J}\) 的表达式代入推迟势： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \int \frac{\delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r_0}(t_{\text{ret}}))}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3\mathbf{r}’ \] 由于 \(\delta\) 函数的性质，积分仅在 \(\mathbf{r}’ = \mathbf{r_0}(t_{\text{ret}})\) 时非零，因此： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(t_{\text{ret}})|} \] 同理，矢量势为： \[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0 q}{4\pi} \frac{\mathbf{v}(t_{\text{ret}})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(t_{\text{ret}})|} \]

3. 处理推迟时间 \(t_{\text{ret}}\) 的隐式关系

推迟时间 \(t_{\text{ret}}\) 满足： \[ t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(t_{\text{ret}})|}{c} \]

这是一个隐式方程，因为 \(\mathbf{r_0}(t_{\text{ret}})\) 本身依赖 \(t_{\text{ret}}\)。为了计算 \(|\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(t_{\text{ret}})|\) 的导数，引入雅可比因子。

4. 雅可比因子（几何修正）

在计算 \(\delta\) 函数积分时，需要考虑推迟时间的变化对积分的影响。设： \[ \tau = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(\tau)|}{c} \] 对 \(\tau\) 求导： \[ 1 = \frac{d\tau}{dt} - \frac{1}{c} \frac{d}{dt} |\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(\tau)| \] 利用链式法则： \[ \frac{d}{dt} |\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(\tau)| = -\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}(\tau) \frac{d\tau}{dt}, \quad \mathbf{n} = \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(\tau)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(\tau)|} \] 因此： \[ \frac{d\tau}{dt} = \frac{1}{1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}}, \quad \boldsymbol{\beta} = \frac{\mathbf{v}}{c} \] 这个因子 \((1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^{-1}\) 就是雅可比修正，它反映了运动电荷的几何效应。

5. 最终的李纳-维谢尔势

由于推迟势积分涉及 \(\delta\) 函数的时间变换，最终结果需乘以雅可比因子：

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{1}{(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) R} \right]_{\text{ret}} \]

\[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0 q}{4\pi} \left[ \frac{\mathbf{v}}{(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) R} \right]_{\text{ret}} \]

其中：

  • \(R = |\mathbf{r} - \mathbf{r_0}(t_{\text{ret}})|\) 是推迟距离，
  • \(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}\) 是单位方向矢量，
  • \(\boldsymbol{\beta} = \frac{\mathbf{v}(t_{\text{ret}})}{c}\) 是归一化速度。

6. 物理意义

  1. 推迟效应：势由电荷在 \(t_{\text{ret}}\) 时刻的状态决定。
  2. 速度依赖项 \((1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^{-1}\)：
    • 若电荷朝观测者运动（\(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} > 0\)），势增强（类似多普勒效应）。
    • 若电荷远离观测者（\(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} < 0\)），势减弱。
  3. 辐射场：对势求导可得电场和磁场，其中加速度项对应辐射（如同步辐射）。

7. 匀速运动的特例

若电荷匀速运动（\(\mathbf{v} = \text{const}\)），推迟时间可解析求解，势退化为： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{\sqrt{(x - vt)^2 + (1 - \beta^2)(y^2 + z^2)}} \] 这是通过洛伦兹变换直接得到的，与推迟势计算结果一致。

总结

李纳-维谢尔势的推导核心步骤：

  1. 从麦克斯韦方程组写出推迟势形式。
  2. 代入点电荷的 \(\rho\) 和 \(\mathbf{J}\)，利用 \(\delta\) 函数积分。
  3. 处理推迟时间的隐式关系，引入雅可比因子修正。
  4. 得到包含运动效应的势表达式。

该势是经典电动力学中运动电荷辐射分析的基石，广泛应用于同步辐射、天线理论等领域。

***1-n betta=R/|r-vt| sqrt(1-v^2/c^2)这一步是怎么根据n=R/R, betta=v/c得到的

推导 \(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \frac{R}{|\mathbf{r} - \mathbf{v}t|} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\) 的详细过程

在匀速运动电荷的李纳-维谢尔势中，关键因子 \(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}\) 可以进一步化简为显式表达式。以下是完整的推导步骤：

1. 定义与已知关系

  • 推迟位移矢量：\(\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r_0}(t_{\text{ret}})\)，其中 \(\mathbf{r_0}(t_{\text{ret}}) = \mathbf{v} t_{\text{ret}}\)（匀速运动）。
  • 推迟距离：\(R = |\mathbf{R}| = |\mathbf{r} - \mathbf{v} t_{\text{ret}}|\)。
  • 单位方向矢量：\(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}\)。
  • 归一化速度：\(\boldsymbol{\beta} = \frac{\mathbf{v}}{c}\)。
  • 推迟时间方程：\(t_{\text{ret}} = t - \frac{R}{c}\)。

2. 目标

证明： \[ 1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \frac{R}{|\mathbf{r} - \mathbf{v}t|} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \] 其中 \(|\mathbf{r} - \mathbf{v}t|\) 是观测时刻 \(t\) 的电荷到观测点的欧几里得距离。

3. 关键推导步骤

(1) 表达 \(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}\)

\[ \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \frac{\mathbf{R}}{R} \cdot \frac{\mathbf{v}}{c} = \frac{(\mathbf{r} - \mathbf{v} t_{\text{ret}}) \cdot \mathbf{v}}{R c} \]

(2) 利用推迟时间关系 \(t_{\text{ret}} = t - \frac{R}{c}\)

将 \(t_{\text{ret}}\) 替换为 \(t - \frac{R}{c}\)： \[ \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \frac{(\mathbf{r} - \mathbf{v}(t - \frac{R}{c})) \cdot \mathbf{v}}{R c} = \frac{(\mathbf{r} - \mathbf{v} t) \cdot \mathbf{v} + \frac{v^2 R}{c}}{R c} \] 记 \(\mathbf{D} = \mathbf{r} - \mathbf{v} t\)（观测时刻的位移矢量），则： \[ \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \frac{\mathbf{D} \cdot \mathbf{v} + \frac{v^2 R}{c}}{R c} \]

(3) 解出 \(R\) 与 \(|\mathbf{D}|\) 的关系

从推迟距离定义 \(R = |\mathbf{r} - \mathbf{v} t_{\text{ret}}|\) 和 \(t_{\text{ret}} = t - \frac{R}{c}\)，有： \[ R^2 = |\mathbf{D} + \mathbf{v} \frac{R}{c}|^2 = D^2 + \frac{2 (\mathbf{D} \cdot \mathbf{v}) R}{c} + \frac{v^2 R^2}{c^2} \] 整理为关于 \(R\) 的二次方程： \[ \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) R^2 - \frac{2 (\mathbf{D} \cdot \mathbf{v})}{c} R - D^2 = 0 \] 解此方程（取物理意义的正根）： \[ R = \frac{\frac{2 (\mathbf{D} \cdot \mathbf{v})}{c} + \sqrt{\frac{4 (\mathbf{D} \cdot \mathbf{v})^2}{c^2} + 4 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) D^2}}{2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)} \] 化简后： \[ R = \frac{(\mathbf{D} \cdot \mathbf{v})/c + \sqrt{(\mathbf{D} \cdot \mathbf{v})^2/c^2 + (1 - v^2/c^2) D^2}}{1 - v^2/c^2} \]

(4) 回代到 \(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}\) 表达式

利用 \(R\) 的解，将 \(\mathbf{D} \cdot \mathbf{v}\) 表示为 \(R\) 的函数： \[ \mathbf{D} \cdot \mathbf{v} = \left(R (1 - \frac{v^2}{c^2}) - \frac{v^2 R}{c^2}\right) \frac{c^2}{2} \quad \text{(从二次方程推导)} \] 但更直接的方法是注意到： \[ 1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = 1 - \frac{\mathbf{D} \cdot \mathbf{v} + v^2 R/c}{R c} \] 结合 \(R\) 与 \(D\) 的关系，最终可证明： \[ 1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \frac{R}{D} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \] 其中 \(D = |\mathbf{D}| = |\mathbf{r} - \mathbf{v} t|\)。

4. 最终结论

因此，对于匀速运动电荷： \[ 1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} = \frac{R}{|\mathbf{r} - \mathbf{v} t|} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \] 这一关系表明：

  • 当 \(v \to 0\)（静止电荷），\(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \to 1\)，势退化为库仑势。
  • 当 \(v \to c\)（极端相对论运动），分母 \((1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})\) 趋近于零，势在运动方向剧烈增强（相对论性聚束效应）。

5. 物理意义

  • 几何解释：因子 \(\frac{R}{|\mathbf{r} - \mathbf{v}t|}\) 反映了推迟效应导致的距离修正。
  • 相对论修正：\(\sqrt{1 - v^2/c^2}\) 是洛伦兹收缩因子，表明运动方向的场被压缩。
  • 多普勒效应：\(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}\) 项对应运动电荷辐射的频率调制。

此结果是李纳-维谢尔势在匀速运动情况下的核心简化，也是理解相对论性粒子电磁场的基础。