在物理学中，\( F^{\mu\nu} \) 通常表示电磁场张量（electromagnetic field tensor），也称为法拉第张量（Faraday tensor）。它是描述电磁场的反对称二阶张量，将电场和磁场统一为一个四维时空中的张量。

定义

在四维闵可夫斯基时空中（指标 \(\mu, \nu = 0, 1, 2, 3\)，其中 \(0\) 代表时间分量，\(1, 2, 3\) 代表空间分量），电磁场张量 \( F^{\mu\nu} \) 的显式形式为：

\[ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \]

其中：

  • \( E_x, E_y, E_z \) 是电场的三个分量，
  • \( B_x, B_y, B_z \) 是磁场的三个分量，
  • \( c \) 是光速。

物理意义

  1. 电场和磁场的统一：

    • 时间-空间分量（\( F^{0i} \) 或 \( F^{i0} \)）对应电场 \( \mathbf{E} \)。
    • 空间-空间分量（\( F^{ij} \)）对应磁场 \( \mathbf{B} \)。

  2. 协变形式：

    • 电磁场张量的协变形式 \( F_{\mu\nu} \) 可以通过降指标得到： \[ F_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha} \eta_{\nu\beta} F^{\alpha\beta}, \] 其中 \( \eta_{\mu\nu} \) 是闵可夫斯基度规（通常取 \( \eta_{\mu\nu} = \text{diag}(1, -1, -1, -1) \)）。

  3. 对偶张量：

    • 电磁场的对偶张量 \( \tilde{F}^{\mu\nu} \) 定义为： \[ \tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} F_{\alpha\beta}, \] 其中 \( \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} \) 是四维完全反对称列维-奇维塔符号。

作用

  1. 麦克斯韦方程的协变形式：

    • 齐次麦克斯韦方程（法拉第定律和磁场无源性）可以写为： \[ \partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0. \]
    • 非齐次麦克斯韦方程（高斯定律和安培-麦克斯韦定律）可以写为： \[ \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu, \] 其中 \( J^\nu \) 是四维电流密度。

  2. 洛伦兹力：

    • 带电粒子的运动方程中，洛伦兹力可以表示为： \[ \frac{d p^\mu}{d \tau} = q F^{\mu\nu} u_\nu, \] 其中 \( p^\mu \) 是四维动量，\( u_\nu \) 是四维速度，\( q \) 是电荷。

其他场景

  • 在更一般的规范场论（如非阿贝尔规范理论）中，\( F^{\mu\nu} \) 可以表示规范场强张量，例如在量子色动力学（QCD）中描述胶子场的张量。

总结：\( F^{\mu\nu} \) 是电磁场张量，用于将电场和磁场统一为一个四维反对称张量，是描述经典电动力学和规范场论的核心对象。

把F_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha} \eta_{\nu\beta} F^{\alpha\beta}写成矩阵和求和形式

将 \( F_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha} \eta_{\nu\beta} F^{\alpha\beta} \) 展开为矩阵和求和形式

1. 张量分量展开（求和形式）

由于 \(\eta_{\mu\alpha}\) 和 \(\eta_{\nu\beta}\) 是对角的（仅在 \(\alpha = \mu\) 和 \(\beta = \nu\) 时非零），我们可以显式写出求和过程：

\[ F_{\mu\nu} = \sum_{\alpha=0}^3 \sum_{\beta=0}^3 \eta_{\mu\alpha} \eta_{\nu\beta} F^{\alpha\beta} \]

由于 \(\eta_{\mu\alpha}\) 仅在 \(\alpha = \mu\) 时非零，\(\eta_{\nu\beta}\) 仅在 \(\beta = \nu\) 时非零，因此求和实际上只有一项：

\[ F_{\mu\nu} = \eta_{\mu\mu} \eta_{\nu\nu} F^{\mu\nu} \]

（注意：这里 \(\eta_{\mu\mu}\) 表示 \(\eta_{\mu\alpha}\) 在 \(\alpha = \mu\) 时的值，而不是对 \(\mu\) 求和！）

由于 \(\eta_{00} = 1\)，\(\eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = -1\)，我们可以分类讨论：

  • 如果 \(\mu = 0\) 或 \(\nu = 0\)（时间分量）：

    • \(\eta_{00} = +1\)，\(\eta_{ii} = -1\)（空间分量）。
    • 例如：
      • \(F_{0i} = \eta_{00} \eta_{ii} F^{0i} = (+1)(-1) F^{0i} = -F^{0i} = E_i\)（因为 \(F^{0i} = -E_i\)）。
      • \(F_{i0} = \eta_{ii} \eta_{00} F^{i0} = (-1)(+1) F^{i0} = -F^{i0} = -E_i\)（因为 \(F^{i0} = E_i\)）。

  • 如果 \(\mu, \nu\) 都是空间分量（\(i, j = 1, 2, 3\)）：

    • \(\eta_{ii} \eta_{jj} = (-1)(-1) = +1\)。
    • 因此 \(F_{ij} = F^{ij}\)（磁场部分不变）。

2. 矩阵形式

逆变形式 \(F^{\mu\nu}\) 的矩阵：

\[ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \]

协变形式 \(F_{\mu\nu}\) 的矩阵（通过 \(F_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha} \eta_{\nu\beta} F^{\alpha\beta}\) 计算）：

\[ F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \]

计算示例：

  • \(F_{01} = \eta_{00} \eta_{11} F^{01} = (+1)(-1)(-E_x) = E_x\)。
  • \(F_{12} = \eta_{11} \eta_{22} F^{12} = (-1)(-1)(-B_z) = -B_z\)。
  • \(F_{21} = \eta_{22} \eta_{11} F^{21} = (-1)(-1)(B_z) = B_z\)。

3. 总结

  • 逆变 → 协变：
    • 时间-空间分量（\(F^{0i} \to F_{0i}\)）：符号反转（\(-E_i \to E_i\)）。
    • 空间-空间分量（\(F^{ij} \to F_{ij}\)）：保持不变（磁场部分）。
  • 矩阵形式：
    • 逆变 \(F^{\mu\nu}\) 的电场部分带负号，协变 \(F_{\mu\nu}\) 的电场部分带正号。
    • 磁场部分 \(B_i\) 在两种形式中符号相同。

4. 更紧凑的张量表示

如果定义： \[ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \] （其中 \(A_\mu = (\phi, \mathbf{A})\) 是四维势），可以直接验证：

  • \(F_{0i} = \partial_0 A_i - \partial_i A_0 = -\dot{A}_i - \partial_i \phi = E_i\)。
  • \(F_{ij} = \partial_i A_j - \partial_j A_i = -\epsilon_{ijk} B_k\)（磁场部分）。

这与前面的矩阵形式一致。 协变形式的电磁场张量 \( F_{\mu\nu} \) 可以通过降指标从逆变形式 \( F^{\mu\nu} \) 得到：

\[ F_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha} \eta_{\nu\beta} F^{\alpha\beta}, \]

其中闵可夫斯基度规 \( \eta_{\mu\nu} \) 采用 \( (+,-,-,-) \) 约定（即 \( \eta_{\mu\nu} = \text{diag}(1, -1, -1, -1) \)）。

逆变形式 \( F^{\mu\nu} \) 的矩阵表示

逆变形式的电磁场张量（以 \( c=1 \) 为单位制）为：

\[ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \]

协变形式 \( F_{\mu\nu} \) 的矩阵表示

由于度规 \( \eta_{\mu\nu} \) 是对角的，降指标的作用是：

  • 对 \( \mu=0 \) 或 \( \nu=0 \) 的分量，\( \eta_{00} = +1 \)，因此 \( F_{0i} = \eta_{00} \eta_{ii} F^{0i} = (+1)(-1) F^{0i} = -F^{0i} \)。
  • 对纯空间分量 \( \mu, \nu = i,j \)，\( \eta_{ii} \eta_{jj} = (-1)(-1) = +1 \)，因此 \( F_{ij} = F^{ij} \)。

因此，协变形式 \( F_{\mu\nu} \) 的矩阵为：

\[ F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \]

对比逆变与协变形式

  • 电场部分（时间-空间分量）：

    • 逆变 \( F^{0i} = -E_i \)，协变 \( F_{0i} = +E_i \)（符号相反）。
    • 逆变 \( F^{i0} = +E_i \)，协变 \( F_{i0} = -E_i \)。

  • 磁场部分（空间-空间分量）：

    • 逆变和协变形式相同：\( F^{ij} = F_{ij} \)。

物理意义

协变形式 \( F_{\mu\nu} \) 在计算中经常出现，例如：

  1. 电磁场的不变量： \[ F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} = 2(B^2 - E^2) \]
  2. 对偶张量： \[ \tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} F_{\alpha\beta} \] 其中 \( \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} \) 是四维反对称张量。

总结

协变形式的电磁场张量 \( F_{\mu\nu} \) 的矩阵为：

\[ F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \]

其特点是电场部分符号与逆变形式相反，而磁场部分保持不变。

你的观察是正确的：从数学上讲，\(\eta_{\mu\alpha}\) 和 \(\eta_{\nu\beta}\) 是同一个度规张量，只是使用了不同的哑指标（\(\alpha\) 和 \(\beta\)）来表示缩并运算。它们的本质完全相同，因为闵可夫斯基度规 \(\eta_{\mu\nu}\) 是一个固定的对角张量，与所选用的指标符号无关。

具体说明

  1. 度规张量的定义：

    • 在狭义相对论中，\(\eta_{\mu\nu}\) 是一个固定的对角矩阵（\((+,-,-,-)\) 号约定）： \[ \eta_{\mu\nu} = \text{diag}(1, -1, -1, -1). \]
    • 无论你写成 \(\eta_{\mu\alpha}\)、\(\eta_{\nu\beta}\) 还是 \(\eta_{\rho\sigma}\)，它们都表示同一个数学对象。

  2. 为什么用不同指标？：

    • 在表达式 \(\eta_{\mu\alpha} \eta_{\nu\beta} F^{\alpha\beta}\) 中，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 是哑指标（求和指标），表示要对所有可能的 \(\alpha, \beta\) 值求和。
    • 使用不同的字母（如 \(\alpha\) 和 \(\beta\)）是为了明确区分两个独立的求和过程，避免混淆。如果写成 \(\eta_{\mu\alpha} \eta_{\nu\alpha}\)，可能会误以为要对同一个指标 \(\alpha\) 求和两次（这是错误的）。

  3. 类比举例：

    • 就像在多重积分中，\(\int f(x) dx \cdot \int g(y) dy\) 和 \(\int f(x) dx \cdot \int g(x) dx\) 是等价的，因为积分变量 \(x\) 和 \(y\) 是哑变量。但为了清晰性，通常会选择不同的符号。

关键结论

  • \(\eta_{\mu\alpha}\) 和 \(\eta_{\nu\beta}\) 是同一个度规张量，只是用了不同的哑指标符号。
  • 这种写法是为了在缩并运算（如 \(\eta_{\mu\alpha} \eta_{\nu\beta} F^{\alpha\beta}\)）中清晰地表示对哪些指标求和。

进一步思考

如果你尝试展开计算，例如对 \(\mu=0, \nu=1\)： \[ F_{01} = \eta_{0\alpha} \eta_{1\beta} F^{\alpha\beta}, \] 你会发现只有 \(\alpha=0\) 和 \(\beta=1\) 的项非零（因为 \(\eta_{\mu\nu}\) 是对角的）： \[ F_{01} = \eta_{00} \eta_{11} F^{01} = (+1)(-1)(-E_x) = E_x. \] 这里 \(\eta_{0\alpha}\) 和 \(\eta_{1\beta}\) 的“不同下标”只是数学上的标记，实际计算时它们都代表同一个度规张量。