在量子场论（QFT）中，箱归一化（box normalization）是一种数学处理技巧，主要用于简化计算和物理分析。它的核心思想是将系统限制在一个有限大小的空间区域（比如一个立方体“箱子”），然后对这个有限空间中的场进行归一化处理。这样做可以避免一些在无限空间中出现的发散或不便处理的问题。

一、箱归一化的基本思想

  1. 引入一个有限体积的空间盒子：

    • 假设我们考虑一个边长为 $ L $ 的三维立方体盒子。
    • 在这个盒子内研究场的行为，边界条件通常取为周期边界条件（periodic boundary conditions）： $$ \phi(\mathbf{x} + L\hat{e}_i) = \phi(\mathbf{x}) $$ 这样做的好处是动量本征态仍然是平面波，并且具有离散的动量值。

  2. 动量变为离散的：

    • 在这种情况下，动量不再连续，而是变成一组离散的值： $$ \mathbf{p} = \frac{2\pi}{L}(n_x, n_y, n_z), \quad n_x, n_y, n_z \in \mathbb{Z} $$

  3. 归一化方式改变：

    • 波函数或场模在有限体积下更容易归一化，例如平面波的归一化为： $$ \psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{V}} e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}, \quad V = L^3 $$

二、箱归一化的目的与作用

1. 处理无限空间中的发散问题

  • 在无限空间中，动量是连续的，自由粒子的波函数不能真正归一化到 1（因为积分发散）。
  • 使用箱归一化后，波函数在有限空间中可归一化，便于具体计算。

2. 方便计算散射振幅、能级等

  • 在量子场论的微扰理论中，尤其是在费曼图展开时，箱归一化使得中间过程的态密度、动量求和等更清晰。
  • 后续可以通过让 $ L \to \infty $ 来恢复到真实物理情况。

3. 用于统计力学或热场理论

  • 箱子的设定也常用于构建有限体积内的统计系综，例如在热场理论中。

三、箱归一化的物理意义

虽然“把整个宇宙放进一个盒子里”听起来有些人为构造，但它有明确的物理动机：

  • 实际实验中，探测器的测量范围总是有限的。
  • 很多宏观现象可以近似为有限体积系统。
  • 数值模拟（如格点场论）中必须使用有限体积。

四、例子：自由标量场的箱归一化

对于自由实标量场 $\phi(x)$，其展开式在箱归一化下为：

$$ \phi(t, \mathbf{x}) = \sum_{\mathbf{p}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}} V}} \left( a_{\mathbf{p}} e^{-i p \cdot x} + a_{\mathbf{p}}^\dagger e^{i p \cdot x} \right) $$

其中：

  • $\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}$，
  • 动量 $\mathbf{p}$ 是离散的，
  • 求和 $\sum_{\mathbf{p}}$ 取代了原本的积分 $\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}$，
  • 归一化因子中有 $\sqrt{V}$，这是因为空间体积有限。

五、何时取消箱归一化？

在完成具体计算（如跃迁概率、散射截面）之后，通常会取极限 $ L \to \infty $，从而恢复到连续动量谱，并用积分代替求和：

$$ \sum_{\mathbf{p}} \to \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3p $$

总结

目的 方法 优点 局限
处理无限空间中的发散问题 将系统限制在有限体积 $ V $ 中 简化归一化、使动量离散 需要最后取极限 $ V \to \infty $

如果你感兴趣，我还可以进一步介绍箱归一化在费曼规则、态密度、红外发散等问题中的应用。