实数球谐函数（Real Spherical Harmonics）是球谐函数（Spherical Harmonics）的实数形式表示，常用于物理和工程领域（如量子力学、电磁学、计算机图形学等），因为它们避免了复数运算的复杂性。
1. 复数球谐函数
复数球谐函数 \( Y_{l}^{m}(\theta, \phi) \) 定义在球坐标系 \((r, \theta, \phi)\) 上，满足拉普拉斯方程，其表达式为： \[ Y_{l}^{m}(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(2l+1)(l-|m|)!}{4\pi(l+|m|)!}} , P_{l}^{|m|}(\cos\theta) , e^{im\phi} \] 其中：
- \( l \) 是角量子数（非负整数，\( l \geq 0 \)），
- \( m \) 是磁量子数（整数，\( -l \leq m \leq l \)），
- \( P_{l}^{m}(x) \) 是连带勒让德多项式（Associated Legendre Polynomials）。
2. 实数球谐函数的构造
实数球谐函数通过复数球谐函数的线性组合得到，分为两种情况：
（1）\( m > 0 \) 和 \( m < 0 \) 的组合
对于 \( m \neq 0 \)，实数球谐函数定义为： \[ y_{l}^{m}(\theta, \phi) = \begin{cases} \sqrt{2} (-1)^m , \text{Re}(Y_{l}^{m}) = \sqrt{2} , N_{l}^{m} , P_{l}^{m}(\cos\theta) \cos(m\phi), & m > 0, \\ \sqrt{2} (-1)^m , \text{Im}(Y_{l}^{-m}) = \sqrt{2} , N_{l}^{m} , P_{l}^{|m|}(\cos\theta) \sin(|m|\phi), & m < 0, \end{cases} \] 其中归一化系数 \( N_{l}^{m} \) 为： \[ N_{l}^{m} = \sqrt{\frac{(2l+1)(l-|m|)!}{4\pi(l+|m|)!}}. \]
（2）\( m = 0 \) 的情况
对于 \( m = 0 \)，实数球谐函数与复数形式一致： \[ y_{l}^{0}(\theta, \phi) = Y_{l}^{0}(\theta, \phi) = N_{l}^{0} , P_{l}^{0}(\cos\theta), \] 其中 \( P_{l}^{0}(x) \) 是勒让德多项式（Legendre Polynomials）。
3. 归一化与正交性
实数球谐函数满足正交归一条件： \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} y_{l}^{m}(\theta, \phi) , y_{l’}^{m’}(\theta, \phi) , \sin\theta , d\theta , d\phi = \delta_{ll’} \delta_{mm’}, \] 其中 \( \delta_{ij} \) 是克罗内克δ函数。
4. 前几阶实数球谐函数
以下是低阶（\( l = 0, 1, 2 \)）的实数球谐函数表达式：
\( l = 0 \)（s轨道）：
\[ y_{0}^{0} = \frac{1}{\sqrt{4\pi}} \]
\( l = 1 \)（p轨道）：
\[ \begin{aligned} y_{1}^{-1} &= \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \sin\theta \sin\phi, \\ y_{1}^{0} &= \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos\theta, \\ y_{1}^{1} &= \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \sin\theta \cos\phi. \end{aligned} \]
\( l = 2 \)（d轨道）：
\[ \begin{aligned} y_{2}^{-2} &= \sqrt{\frac{15}{16\pi}} \sin^2\theta \sin(2\phi), \\ y_{2}^{-1} &= \sqrt{\frac{15}{4\pi}} \sin\theta \cos\theta \sin\phi, \\ y_{2}^{0} &= \sqrt{\frac{5}{16\pi}} (3\cos^2\theta - 1), \\ y_{2}^{1} &= \sqrt{\frac{15}{4\pi}} \sin\theta \cos\theta \cos\phi, \\ y_{2}^{2} &= \sqrt{\frac{15}{16\pi}} \sin^2\theta \cos(2\phi). \end{aligned} \]
5. 应用
实数球谐函数广泛用于：
- 量子力学：描述原子轨道的角度部分（如s, p, d轨道）。
- 电磁学：多极展开中表示电势或磁场。
- 计算机图形学：环境光照（Spherical Harmonics Lighting）和法线分布表示。
6. 与复数形式的关系
实数球谐函数是复数球谐函数的线性组合： \[ y_{l}^{m} = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}} \left( Y_{l}^{-|m|} + (-1)^m Y_{l}^{|m|} \right), & m < 0, \\ Y_{l}^{0}, & m = 0, \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \left( Y_{l}^{-|m|} - (-1)^m Y_{l}^{|m|} \right), & m > 0. \end{cases} \]
总结
实数球谐函数通过将复数形式的虚部和实部分离，提供了更直观的物理表示，同时保持了正交归一性和完备性。