散射振幅理论

散射振幅理论是量子场论中描述粒子散射过程的核心工具，用于计算粒子相互作用后的状态概率。以下是该理论的系统总结：

散射振幅：描述初态粒子（如动量 \( p_1, p_2 \)）经相互作用后变为末态粒子（如 \( p_3, p_4 \)）的量子概率幅，记为 \( \mathcal{M}(p_1, p_2 \to p_3, p_4) \)。
S矩阵：散射算符 \( \hat{S} \) 的矩阵元，联系初态 \( |i\rangle \) 和末态 \( |f\rangle \)，形式为 \( S_{fi} = \langle f | \hat{S} | i \rangle \)，通常分解为 \( \hat{S} = \mathbb{I} + i\hat{T} \)，其中 \( \hat{T} \) 包含非平凡相互作用。

LSZ约化公式：将散射振幅与关联函数（格林函数）联系： \[ \mathcal{M} \sim \int \prod_{i,j} d^4 x_i d^4 y_j e^{-ip_i x_i + i k_j y_j} \langle \Omega | T \left{ \phi(x_1)\cdots \phi^\dagger(y_1)\cdots \right} | \Omega \rangle, \] 通过留数定理提取外腿极点得到约化振幅。
费曼规则：
- 传播子：标量场 \( \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon} \)，费米子场 \( \frac{i(\slash{p} + m)}{p^2 - m^2 + i\epsilon} \)。
- 顶点因子：如QED中 \( -ie\gamma^\mu \)。
- 积分与对称因子：对未定动量做积分 \( \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \)，并考虑对称性因子 \( 1/n! \)。

幺正性：\( \hat{S}^\dagger \hat{S} = \mathbb{I} \)，确保概率守恒，光学定理 \( \text{Im}, \mathcal{M}_{ii} = \sum_f |\mathcal{M}_{fi}|^2 \) 是其体现。
对称性约束：
- 洛伦兹不变性：振幅为标量函数，依赖动量点积 \( p_i \cdot p_j \)。
- 规范不变性：如QED中满足 \( k_\mu \mathcal{M}^\mu = 0 \)。
解析性：振幅是复能量的解析函数，极点对应粒子质量（如 \( s = m^2 \)），分支割表阈值能。

微扰论：以耦合常数展开，如QED中 \( \alpha \approx 1/137 \) 允许逐阶计算。
- 树图：最低阶贡献（如 \( e^2 \) 阶的Møller散射）。
- 圈图修正：引入发散，需重整化（如电子自能 \( \Sigma(p) \)）。
非微扰工具：
- 1/N展开：大 \( N \) 极限下重求和。
- 格点场论：数值计算路径积分。
- 对偶性：如AdS/CFT中将强耦合问题映射到弱耦合引力理论。

振幅新方法：
- 旋量形式：利用旋量变量 \( \lambda, \tilde{\lambda} \) 表示振幅（如 \( \mathcal{M} = \frac{\langle 12 \rangle^4}{\langle 12 \rangle \langle 23 \rangle \cdots} \)）。
- BCFW递推：通过复变形递归构造树级振幅。
- 正性（Amplituhedron）：几何化振幅，超越费曼图。
红外结构：软定理与记忆效应（如 \( \mathcal{M}_{n+1} \approx S(k) \mathcal{M}_n \) 对软光子 \( k \to 0 \)）。
高维算子：有效场论中 \( \mathcal{L} \supset \frac{c}{\Lambda^2} (\bar{\psi}\psi)^2 \) 的高阶修正。

康普顿散射（\( e^- \gamma \to e^- \gamma \)）： \[ \mathcal{M} \propto \bar{u}(p’) \left( \frac{\epsilon’!!!! (p’!!!! + k!!!! + m)}{(p+k)^2 - m^2} \epsilon!!!! + \frac{\epsilon!!!! (p!!!! - k’!!!! + m)}{(p-k’)^2 - m^2} \epsilon’!!!! \right) u(p), \] 其中 \( \epsilon, \epsilon’ \) 为光子极化矢量。
杨-米尔斯理论：胶子三顶点 \( \sim f^{abc} [g^{\mu\nu}(k_1 - k_2)^\rho + \text{cyclic}] \)。

散射振幅理论不仅是实验预测的工具（如LHC截面计算），也推动了数学物理的交叉（如镜像对称、簇代数）。其发展持续深化对量子时空本质的理解。