1. 四维间隔的定义
在四维闵可夫斯基时空中，两个事件之间的间隔 \( \Delta s^2 \) 定义为： \[ \Delta s^2 = -c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 \] 其中：
- \( c \) 是光速，
- \( \Delta t \) 是时间间隔，
- \( \Delta x, \Delta y, \Delta z \) 是空间间隔分量。
若采用自然单位制（\( c = 1 \)），公式简化为： \[ \Delta s^2 = -(\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 \]
2. 间隔的分类
根据 \( \Delta s^2 \) 的符号，间隔分为三类：
- 类时间隔（\(\Delta s^2 < 0\)）：
两事件可通过低于光速的运动关联（因果性可能成立）。 - 类空间隔（\(\Delta s^2 > 0\)）：
两事件无法通过光速以内的运动关联（无因果联系）。 - 光间隔（\(\Delta s^2 = 0\)）：
两事件仅能通过光信号联系（如光子传播）。
3. 洛伦兹不变性
四维间隔是洛伦兹不变量，即在惯性参考系间的洛伦兹变换下保持不变。这一性质是相对论和量子场论的基础，确保物理定律在不同惯性系中形式一致。
4. 四维矢量表示
用四维坐标 \( x^\mu = (t, x, y, z) \)（自然单位制），间隔可写为： \[ \Delta s^2 = \eta_{\mu\nu} \Delta x^\mu \Delta x^\nu \] 其中 \( \eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, 1, 1, 1) \) 是闵可夫斯基度规，\( \mu, \nu = 0,1,2,3 \)。
5. 量子场论中的意义
- 因果性：场算符在类空间隔处的对易关系为零（如标量场的 \([\phi(x), \phi(y)] = 0\) 当 \( (x-y)^2 > 0 \)），保证类空间隔事件互不影响。
- 传播子：费曼传播子等格林函数的行为依赖间隔的类时/类空性质，反映粒子传播的因果结构。
6. 示例
若事件A在原点 \( (0, 0, 0, 0) \)，事件B在 \( (t, x, 0, 0) \)：
- 若 \( \Delta s^2 = -t^2 + x^2 < 0 \)（类时），B在A的因果未来或过去。
- 若 \( \Delta s^2 > 0 \)（类空），A与B无因果关联。
四维间隔是连接相对论时空与量子场动力学的基础工具，其不变性直接关联到量子场论的协变性和微观因果性要求。
1. 闵可夫斯基度规 \(\eta_{\mu\nu}\)
度规是一个 \(4 \times 4\) 对角矩阵，表示时空的几何结构（符号约定：\((-, +, +, +)\)）： \[ \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \] 其中 \(\mu\)（行）和 \(\nu\)（列）取值 \(0,1,2,3\)，分别对应时间 \(t\) 和空间 \(x, y, z\) 分量。
2. 四维坐标差 \(\Delta x^\mu\) 和 \(\Delta x^\nu\)
四维坐标差是 4维列向量（或行向量，取决于上下标）： \[ \Delta x^\mu = \begin{pmatrix} \Delta t \\ \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \\ \end{pmatrix}, \quad \Delta x^\nu = \begin{pmatrix} \Delta t \\ \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \\ \end{pmatrix} \]
- 这里 \(\Delta t = t_2 - t_1\)，\(\Delta x = x_2 - x_1\) 等。
- 注意：\(\Delta x^\mu\) 和 \(\Delta x^\nu\) 的矩阵形式相同，但通过上下标区分协变/逆变分量（见下文）。
3. 协变分量 \(\Delta x_\mu\)
通过度规降指标得到协变分量（行向量形式）： \[ \Delta x_\mu = \eta_{\mu\nu} \Delta x^\nu = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta t \\ \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\Delta t \\ \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \\ \end{pmatrix} \]
4. 四维间隔的矩阵运算
四维间隔的表达式为： \[ \Delta s^2 = \eta_{\mu\nu} \Delta x^\mu \Delta x^\nu = \Delta x_\mu \Delta x^\mu \] 展开为矩阵乘法： \[ \Delta s^2 = \begin{pmatrix} \Delta t & \Delta x & \Delta y & \Delta z \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta t \\ \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \\ \end{pmatrix} = -\Delta t^2 + \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 \]
5. 关键点总结
- 度规 \(\eta_{\mu\nu}\)：定义时空的度量结构（区分类时/类空间隔）。
- 坐标差 \(\Delta x^\mu\)：逆变分量（列向量），\(\Delta x_\mu\) 是协变分量（通过度规联系）。
- 矩阵运算：四维间隔是度规“夹在”两个坐标差之间的二次型。
这种形式在量子场论中用于保证洛伦兹协变性，例如场算符的传播子计算或因果结构的分析。
1. 协变 vs. 逆变矢量的定义
在闵可夫斯基时空（度规 \(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, 1, 1, 1)\)）中：
- 逆变矢量（contravariant vector）：\(x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (t, x, y, z)\)
直接表示时空坐标或四维动量等物理量。 - 协变矢量（covariant vector）：\(x_\mu = \eta_{\mu\nu} x^\nu\)
通过度规降指标得到，其时间分量符号翻转。
2. 具体转换关系
\[ x_\mu = \eta_{\mu\nu} x^\nu = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \\ \end{pmatrix} = (-t, x, y, z) \] 即： \[ x_\mu = (-t, x, y, z), \quad x^\mu = (t, x, y, z) \]
关键区别：仅时间分量 \(x^0 = t\) 的符号相反，空间分量完全相同。
3. 为什么时间分量符号相反？
这是由闵可夫斯基度规的符号约定（\(-, +, +, +\)）决定的：
- 时间维的度规分量 \(\eta_{00} = -1\)，导致降指标时时间分量变号。
- 空间维的度规分量 \(\eta_{ii} = +1\)，因此空间分量不变。
这种符号差异反映了时空的因果结构，确保四维间隔 \(\Delta s^2 = -(\Delta t)^2 + (\Delta x)^2\) 的洛伦兹不变性。
4. 物理意义
- 逆变矢量 \(x^\mu\)：更直接对应物理测量（如坐标、四维动量 \(p^\mu = (E, \mathbf{p})\)）。
- 协变矢量 \(x_\mu\)：用于构造洛伦兹不变量（如 \(x_\mu x^\mu = -t^2 + x^2\)），或协变方程（如 \(\partial_\mu = (\partial_t, \nabla)\)）。
5. 常见应用
-
四维间隔：
\[ \Delta s^2 = \eta_{\mu\nu} \Delta x^\mu \Delta x^\nu = \Delta x_\mu \Delta x^\mu = -(\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 \] -
量子场论中的导数：
- 协变导数 \(\partial_\mu = \left(\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right)\)，
- 逆变导数 \(\partial^\mu = \left(-\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right)\)。
-
能动量关系：
\[ p_\mu p^\mu = -E^2 + \mathbf{p}^2 = -m^2 \quad (\text{质壳条件}) \]
6. 总结
- 逆变矢量 → 协变矢量：仅时间分量符号翻转（\(t \to -t\)），空间分量不变。
- 度规的作用：\(\eta_{\mu\nu}\) 作为“符号转换器”，维系时空的几何结构。
- 本质原因：闵可夫斯基时空的因果性要求时间与空间分量区别对待。
这种关系在相对论性场论（如电磁场的 \(A_\mu\)、狄拉克方程的 \(\gamma^\mu \partial_\mu\)）中无处不在，是协变表述的基础。
1. 矩阵的通用命名规则
矩阵的大小由 行数 × 列数 表示（先行后列）。例如：
- \( m \times n \) 矩阵：有 \( m \) 行、\( n \) 列。
- 方阵：行数 = 列数（如 \( 4 \times 4 \) 的度规矩阵 \(\eta_{\mu\nu}\)）。
2. 四维时空中的常见矩阵
(1) 列向量（逆变矢量 \( \Delta x^\mu \)）
- 大小：\( 4 \times 1 \) 矩阵（4 行 1 列）
- 名称：列向量（Column Vector）
- 示例： \[ \Delta x^\mu = \begin{pmatrix} \Delta t \\ \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \\ \end{pmatrix} \]
(2) 行向量（协变矢量 \( \Delta x_\mu \)）
- 大小：\( 1 \times 4 \) 矩阵（1 行 4 列）
- 名称：行向量（Row Vector）
- 示例： \[ \Delta x_\mu = \begin{pmatrix} -\Delta t & \Delta x & \Delta y & \Delta z \\ \end{pmatrix} \]
(3) 度规张量 \( \eta_{\mu\nu} \)
- 大小：\( 4 \times 4 \) 矩阵
- 名称：方阵（Square Matrix）或 二阶张量
- 示例： \[ \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \]
3. 矩阵运算中的关键点
-
内积（四维间隔）：
行向量 × 度规 × 列向量（顺序不可随意调换！）： \[ \Delta s^2 = \Delta x_\mu \Delta x^\mu = \begin{pmatrix} -\Delta t & \Delta x & \Delta y & \Delta z \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta t \\ \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \\ \end{pmatrix} = -(\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 \] 这里度规 \(\eta_{\mu\nu}\) 的作用隐含在协变矢量的定义中。 -
矩阵乘法规则：
\( (1 \times 4) \times (4 \times 4) \times (4 \times 1) \to (1 \times 1) \)（标量结果）。
4. 物理中的术语对应
- 列向量（\( 4 \times 1 \)）：通常表示逆变矢量（如坐标 \(x^\mu\)、四维动量 \(p^\mu\)）。
- 行向量（\( 1 \times 4 \)）：通常表示协变矢量（如导数算符 \(\partial_\mu\)）。
- 度规（\( 4 \times 4 \)）：用于升降指标，定义时空几何。
5. 总结
- 列向量：\( n \times 1 \) 矩阵，如 \( \Delta x^\mu \)。
- 行向量：\( 1 \times n \) 矩阵，如 \( \Delta x_\mu \)。
- 度规：\( n \times n \) 方阵（相对论中 \( n=4 \)）。
在量子场论和相对论中，这种行列区分是协变性和计算正确性的基础！