驻波方程的推导
考虑两列沿 \( x \) 轴相反方向传播的简谐波：
- 向右传播的波：\( y_1(x,t) = A \sin(kx - \omega t + \phi_1) \)
- 向左传播的波：\( y_2(x,t) = A \sin(kx + \omega t + \phi_2) \)
其中：
- \( A \) 是振幅，
- \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \) 是波数（\( \lambda \) 为波长），
- \( \omega = 2\pi f \) 是角频率（\( f \) 为频率），
- \( \phi_1, \phi_2 \) 是初相位。
假设两列波的初相位相同且为零（\( \phi_1 = \phi_2 = 0 \)），叠加后的波为： \[ y(x,t) = y_1 + y_2 = A \sin(kx - \omega t) + A \sin(kx + \omega t) \]
利用三角恒等式 \( \sin a + \sin b = 2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \)，得到： \[ y(x,t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t) \]
驻波方程的一般形式
驻波的方程通常表示为： \[ y(x,t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t) \]
或更一般地（考虑相位差）： \[ y(x,t) = 2A \cos\left(\frac{\phi_2 - \phi_1}{2}\right) \sin\left(kx + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2}\right) \cos\left(\omega t + \frac{\phi_2 - \phi_1}{2}\right) \]
关键特点
-
空间部分与时间部分分离：
- 空间依赖项：\( \sin(kx) \) 或 \( \cos(kx) \)（由边界条件决定），
- 时间依赖项：\( \cos(\omega t) \)。
-
节点（Node）和腹点（Antinode）：
- 节点：振幅始终为零的点，满足 \( \sin(kx) = 0 \)（即 \( x = \frac{n\lambda}{2} \), \( n \in \mathbb{Z} \)）。
- 腹点：振幅最大的点，满足 \( \sin(kx) = \pm 1 \)（即 \( x = \frac{(2n+1)\lambda}{4} \)）。
-
能量不传播：驻波的能量在节点和腹点之间振荡，但无净能流。
常见边界条件下的驻波
-
固定端（如弦的端点）：
- 边界条件：\( y(0,t) = y(L,t) = 0 \)（长度为 \( L \) 的弦），
- 解的形式：\( y(x,t) = 2A \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos(\omega_n t) \)，其中 \( n \) 为正整数，\( \omega_n = \frac{n\pi v}{L} \)，\( v \) 为波速。
-
自由端（如空气柱的开口端）：
- 腹点出现在边界，需用 \( \cos(kx) \) 形式的解。
示例
一根长度为 \( L \) 的两端固定的弦，其驻波模式为： \[ y(x,t) = 2A \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{n\pi v t}{L}\right) \] 其中 \( n = 1, 2, 3, \dots \) 为模式数，对应不同的谐频。
驻波在声学（乐器）、光学（激光腔）和量子力学（波函数）等领域有广泛应用。
1. 驻波的能量
驻波的能量由 动能 和 势能 组成，但由于驻波是两列反向传播的行波叠加而成，其能量分布与行波不同。
(1) 动能密度
波的动能密度（单位长度的动能）由介质粒子的运动速度决定： \[ K(x,t) = \frac{1}{2} \mu \left( \frac{\partial y}{\partial t} \right)^2 \] 其中：
- \( \mu \) 是线密度（单位长度的质量），
- \( \frac{\partial y}{\partial t} = -2A \omega \sin(kx) \sin(\omega t) \)。
因此： \[ K(x,t) = \frac{1}{2} \mu \left[ -2A \omega \sin(kx) \sin(\omega t) \right]^2 = 2 \mu A^2 \omega^2 \sin^2(kx) \sin^2(\omega t) \]
(2) 势能密度
波的势能密度由形变决定： \[ U(x,t) = \frac{1}{2} T \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 \] 其中：
- \( T \) 是弦的张力，
- \( \frac{\partial y}{\partial x} = 2A k \cos(kx) \cos(\omega t) \)。
因此： \[ U(x,t) = \frac{1}{2} T \left[ 2A k \cos(kx) \cos(\omega t) \right]^2 = 2 T A^2 k^2 \cos^2(kx) \cos^2(\omega t) \]
由于波速 \( v = \sqrt{T/\mu} \)，且 \( \omega = v k \)，所以 \( T k^2 = \mu \omega^2 \)，因此： \[ U(x,t) = 2 \mu A^2 \omega^2 \cos^2(kx) \cos^2(\omega t) \]
(3) 总能量密度
\[ E(x,t) = K(x,t) + U(x,t) = 2 \mu A^2 \omega^2 \left[ \sin^2(kx) \sin^2(\omega t) + \cos^2(kx) \cos^2(\omega t) \right] \]
(4) 能量分布特点
-
节点（\( \sin(kx) = 0 \)）：
- 动能 \( K = 0 \)（因为 \( \sin(kx) = 0 \)），
- 势能 \( U \) 最大（因为 \( \cos(kx) = \pm 1 \)）。
- 能量集中在势能，表现为弦的形变最大。
-
腹点（\( \cos(kx) = 0 \)）：
- 势能 \( U = 0 \)（因为 \( \cos(kx) = 0 \)），
- 动能 \( K \) 最大（因为 \( \sin(kx) = \pm 1 \)）。
- 能量集中在动能，表现为弦的振动速度最大。
-
能量不传播：
- 行波的能量会沿传播方向流动，但驻波的能量在节点和腹点之间 周期性交换，没有净能量传输。
2. 驻波的动量
对于机械波（如弦上的横波），动量密度（单位长度的动量）为： \[ p(x,t) = \mu \frac{\partial y}{\partial t} \frac{\partial y}{\partial x} \] 代入驻波方程： \[ p(x,t) = \mu \left[ -2A \omega \sin(kx) \sin(\omega t) \right] \left[ 2A k \cos(kx) \cos(\omega t) \right] \] \[ = -4 \mu A^2 \omega k \sin(kx) \cos(kx) \sin(\omega t) \cos(\omega t) \] 利用三角恒等式 \( \sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta \)，可以写成： \[ p(x,t) = -\mu A^2 \omega k \sin(2kx) \sin(2\omega t) \]
动量特点
-
平均动量为零：
- 由于 \( \sin(2\omega t) \) 在一个周期内的平均值为 0，所以 驻波的净动量 = 0。
- 这与能量不传播一致。
-
动量振荡：
- 动量在空间和时间上周期性变化，但无净流动。
3. 与行波对比
| 特性 | 行波 | 驻波 |
|---|---|---|
| 能量传播 | ✅（有净能流） | ❌（能量局部振荡） |
| 动量 | ✅（有净动量） | ❌（平均动量为 0） |
| 节点 | ❌（无固定静止点） | ✅（振幅恒为 0 的点） |
| 应用 | 声波、光波传播 | 乐器、激光腔、量子驻波 |
结论
- 驻波的能量 在节点（势能最大）和腹点（动能最大）之间振荡，但 不传播。
- 驻波的动量 随时间振荡，但 平均动量为零，无净动量传输。
- 这些特性使得驻波在 乐器共振腔、量子力学（如无限深势阱中的波函数） 等场景中有重要应用。
1. 驻波的动态形成过程
(1) 初始阶段：非驻波状态
假设初始时刻，介质中存在 单一行波（如向右传播的波）： \[ y_1(x,t) = A \sin(kx - \omega t) \] 此时介质中没有反向传播的波，因此 不形成驻波，能量会沿传播方向流动。
(2) 反射引入反向波
当波遇到边界（如固定端或自由端）时，会发生反射，生成反向传播的波：
- 固定端反射：相位反转 \( y_2(x,t) = -A \sin(kx + \omega t) \)。
- 自由端反射：相位不变 \( y_2(x,t) = A \sin(kx + \omega t) \)。
此时，两列波叠加： \[ y(x,t) = y_1 + y_2 = A \sin(kx - \omega t) \pm A \sin(kx + \omega t) \] 通过三角恒等式，可化为驻波方程： \[ y(x,t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t) \quad \text{（固定端）} \] 或 \[ y(x,t) = 2A \cos(kx) \cos(\omega t) \quad \text{（自由端）} \]
(3) 演化至稳定驻波
- 时间尺度：反射波的建立需要时间（取决于介质的长度和波速）。
- 能量平衡：初始行波的能量逐渐转化为驻波的振动能量，直至系统达到稳态。
2. 外部能量输入对驻波的影响
当外部持续输入能量（如周期性驱动），驻波的特性会发生变化：
(1) 频率匹配共振
- 若驱动频率 \( f_{\text{驱动}} \) 接近系统的 本征频率（由边界条件决定，如 \( f_n = \frac{nv}{2L} \) 对固定端弦），则驻波振幅会显著增大（共振）。
- 能量积累：外部能量优先耦合到驻波模式，而非形成行波。
(2) 频率不匹配时的能量耗散
- 若 \( f_{\text{驱动}} \) 不匹配本征频率：
- 部分能量会以 非驻波模式（如行波或高阶谐波）传播或耗散。
- 系统可能表现出 暂态振荡，直至能量被吸收或辐射出去。
(3) 驻波频率“变快”的条件
- 非线性效应：在高振幅下，介质的非线性特性（如弦的张力变化）可能导致频率升高。
- 参数激励：如周期性调制边界条件（类似“荡秋千”参数共振），可激发更高频率驻波。
3. 多余能量的释放方式
当输入能量无法完全转化为驻波模式时，多余能量会通过以下途径释放：
- 行波辐射
- 不满足驻波条件的频率成分以行波形式传播出去（如声波在管道开口端的辐射）。
- 高阶谐波激发
- 系统可能激发更高阶驻波模式（\( n=2,3,\dots \)），对应更高频率。
- 热能耗散
- 通过介质的阻尼（如内摩擦）转化为热能。
- 边界耗散
- 能量在边界处被吸收（如阻尼器或吸声材料）。
4. 数学描述（以受驱弦为例）
考虑有阻尼和外部驱动的弦振动方程： \[ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} + \gamma \frac{\partial y}{\partial t} - v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = F(x,t) \]
- \( \gamma \)：阻尼系数，
- \( F(x,t) \)：外部驱动力（如 \( F_0 \sin(\omega_{\text{驱动}} t) \)）。
稳态解
当驱动频率 \( \omega_{\text{驱动}} \) 接近某本征频率 \( \omega_n \) 时，驻波振幅最大： \[ y(x,t) \approx \frac{F_0}{\sqrt{(\omega_n^2 - \omega_{\text{驱动}}^2)^2 + (\gamma \omega_{\text{驱动}})^2}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos(\omega_{\text{驱动}} t) \]
- 共振时（\( \omega_{\text{驱动}} = \omega_n \)）：振幅达到峰值。
- 非共振时：能量被阻尼或辐射。
5. 物理实例
(1) 乐器弦的拨动
- 初始拨弦产生宽频振动，但只有满足 \( f_n = \frac{nv}{2L} \) 的频率形成驻波，其余频率快速耗散。
- 持续弓弦（如小提琴）通过摩擦输入能量，维持驻波振动。
(2) 激光腔中的光驻波
- 光子来回反射形成驻波，非共振频率的光子透过腔镜逸出。
(3) 量子力学中的驻波
- 电子在势阱中的波函数必须满足驻波条件（边界处波函数为零），否则能量会以隧穿或辐射形式释放。
结论
- 驻波的形成需要 时间 和 反向波的相干叠加。
- 外部能量输入会优先增强匹配频率的驻波，多余能量通过 行波辐射、高阶模激发或耗散 释放。
- 驻波频率“变快”通常由 非线性效应 或 参数共振 引起。
- 实际系统中，能量输入与耗散的平衡决定了驻波的稳定性和振幅。
1. 系统初始状态（驻波）
-
能量 \( E_0 \)：
驻波的总能量由动能和势能组成，时间平均值为： \[ E_0 = \frac{1}{2} \mu \int_0^L \left[ \left( \frac{\partial y}{\partial t} \right)^2 + v^2 \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 \right] dx \] 对于基模驻波 \( y(x,t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t) \)，积分后得到： \[ E_0 = 2 \mu A^2 \omega^2 L \] 其中 \( \mu \) 是线密度，\( L \) 是系统长度，\( \omega \) 是角频率。 -
动量 \( p_0 \)：
驻波的 时间平均动量 为零（因动量密度 \( p(x,t) \) 振荡对称）： \[ p_0 = 0 \]
2. 输入能量 \( E_1 \) 和动量 \( p_1 \)
- 输入可能来自 外部驱动（如周期性力）或 行波入射。
- 若输入频率匹配系统的本征频率（共振），能量优先转化为驻波模式；否则部分能量被反射或耗散。
3. 稳定后的守恒关系
假设系统达到新的稳态（可能振幅增大或频率变化），并辐射出能量 \( E_2 \) 和动量 \( p_2 \)，则：
(1) 能量守恒
\[ E_0 + E_1 = E_{\text{new}} + E_2 \]
- \( E_{\text{new}} \)：新稳态下驻波的能量（如振幅增大后的能量）。
- 若输入完全共振（无耗散），则 \( E_2 = 0 \)，所有输入能量转化为驻波能量。
- 若非共振，部分能量以辐射（\( E_2 \)）或热耗散形式损失。
(2) 动量守恒
\[ p_0 + p_1 = p_{\text{new}} + p_2 \]
- 驻波的 \( p_0 = 0 \)，因此： \[ p_1 = p_{\text{new}} + p_2 \]
- 驻波本身无净动量（\( p_{\text{new}} = 0 \)），因此辐射动量 \( p_2 \) 必须平衡输入动量： \[ p_2 = p_1 \] 这意味着 多余动量通过辐射的行波带走（如声波或电磁波辐射）。
4. 具体场景分析
案例1：共振驱动（\( E_2 = 0 \), \( p_2 = 0 \)）
- 输入频率匹配驻波本征频率，能量完全转化为驻波振动： \[ E_{\text{new}} = E_0 + E_1, \quad p_{\text{new}} = 0 \]
- 动量守恒要求 \( p_1 = 0 \)（如对称驱动或行波正入射反射）。
案例2：非共振驱动（\( E_2 \neq 0 \), \( p_2 \neq 0 \)）
- 输入频率不匹配时，系统辐射行波或高阶模式：
\[
E_2 = E_1 - \Delta E, \quad p_2 = p_1
\]
- \( \Delta E \)：驻波吸收的能量（可能激发更高阶驻波模式）。
- 动量由辐射波带走（如反射或透射行波）。
5. 辐射能量的计算
若系统通过行波辐射释放能量 \( E_2 \)，其动量 \( p_2 \) 与能量关系为： \[ p_2 = \frac{E_2}{v} \quad \text{（行波动量-能量关系）} \] 其中 \( v \) 是波速。结合动量守恒 \( p_2 = p_1 \)，可得： \[ E_2 = p_1 v \]
6. 总结关系式
| 物理量 | 关系式 | 说明 |
|---|---|---|
| 能量守恒 | \( E_0 + E_1 = E_{\text{new}} + E_2 \) | 输入能量分配为驻波和辐射 |
| 动量守恒 | \( p_1 = p_2 \) | 辐射动量平衡输入动量 |
| 辐射能量 | \( E_2 = p_1 v \)（行波情形） | 仅适用于行波辐射 |
7. 应用示例
吉他弦的拨动
- 初始能量 \( E_0 \)：弦静止时的零能量（假设无初始振动）。
- 输入 \( E_1 \)：拨弦的动能。
- 稳态后：能量转化为驻波（\( E_{\text{new}} \)）和空气辐射声波（\( E_2 \)）。
- 动量 \( p_1 \approx 0 \)（手指对称拨动），因此 \( p_2 \approx 0 \)。
激光腔的光子入射
- 输入光子能量 \( E_1 = \hbar \omega \)，动量 \( p_1 = \hbar k \)。
- 若频率共振，光子能量完全转化为腔内驻波（\( E_2 = 0 \)）。
- 若非共振，光子被反射（\( E_2 = E_1 \), \( p_2 = -p_1 \)）。
关键点
- 驻波本身 不携带净动量，但可存储能量。
- 输入动量的平衡必须通过辐射或反射实现。
- 能量分配取决于频率匹配程度（共振时 \( E_2 \to 0 \)）。
- 非线性系统中，可能激发高阶模式（\( E_{\text{new}} \) 包含多频成分）。