康普顿散射是光子与带电粒子（如电子）相互作用时波长发生改变的现象，其量子场论计算主要基于量子电动力学（QED）。以下是详细的计算步骤：

1. 费曼规则与散射振幅

康普顿散射过程 \( \gamma(k) + e^-(p) \rightarrow \gamma(k’) + e^-(p’) \) 的树图阶贡献包含两个费曼图：

  • s道图：电子先吸收入射光子 \(k\)，后发射出射光子 \(k’\)。
  • u道图：电子先发射出射光子 \(k’\)，后吸收入射光子 \(k\)。

散射振幅（忽略自旋极化）可写为： \[ i\mathcal{M} = \overline{u}(p’)(-ie\gamma^\mu)\epsilon_\mu^*(k’) \frac{i({\not{p}} + {\not{k}} + m)}{(p+k)^2 - m^2 + i\epsilon} (-ie\gamma^\nu)\epsilon_\nu(k) u(p)

  • \overline{u}(p’)(-ie\gamma^\nu)\epsilon_\nu(k) \frac{i({\not{p}} - {\not{k}’} + m)}{(p - k’)^2 - m^2 + i\epsilon} (-ie\gamma^\mu)\epsilon_\mu^*(k’) u(p), \] 其中：
  • \( \epsilon_\mu(k), \epsilon_\mu^*(k’) \) 为光子的偏振矢量。
  • \( u(p), \overline{u}(p’) \) 为电子的旋量。
  • \( \gamma^\mu \) 为狄拉克矩阵。

2. 振幅简化

利用狄拉克代数（如 \( {{\not{a}}, {\not{b}}} = 2a \cdot b \)）和动量守恒 \( p + k = p’ + k’ \)，可将振幅化简为： \[ i\mathcal{M} = -ie^2 \overline{u}(p’) \left[ \frac{{\not{\epsilon}}^*(k’)({\not{p}} + {\not{k}} + m){\not{\epsilon}}(k)}{2p \cdot k}

  • \frac{{\not{\epsilon}}(k)({\not{p}} - {\not{k}’} + m){\not{\epsilon}}^*(k’)}{-2p \cdot k’} \right] u(p). \]

3. 截面计算

(a) 自旋平均与偏振求和

对初态电子自旋和光子偏振取平均，对末态取和： \[ \langle|\mathcal{M}|^2\rangle = \frac{1}{4} \sum_{\text{spins, pol}} |\mathcal{M}|^2. \] 利用光子偏振求和规则 \( \sum_{\lambda} \epsilon_\mu^\lambda(k) \epsilon_\nu^{*\lambda}(k) = -g_{\mu\nu} \)（库仑规范），以及电子旋量的完备性关系 \( \sum_s u^s(p)\overline{u}^s(p) = {\not{p}} + m \)。

(b) 迹运算

将振幅平方展开为狄拉克矩阵的迹： \[ \langle|\mathcal{M}|^2\rangle \propto \text{Tr}\left[ ({\not{p}’} + m) \Gamma^{\mu\nu} ({\not{p}} + m) \tilde{\Gamma}_{\mu\nu} \right], \] 其中 \( \Gamma^{\mu\nu} \) 包含 \( \gamma \) 矩阵的组合。利用迹定理（如 \( \text{Tr}[\gamma^\mu \gamma^\nu] = 4g^{\mu\nu} \)）逐项计算。

(c) 运动学变量

引入曼德尔斯坦变量： \[ s = (p + k)^2, \quad t = (k - k’)^2, \quad u = (p - k’)^2, \] 并利用 \( s + t + u = 2m^2 \)。在质心系中，若初始光子能量为 \( \omega \)，则： \[ t = -2\omega\omega’(1 - \cos\theta), \quad \omega’ = \frac{\omega}{1 + \frac{\omega}{m}(1 - \cos\theta)}, \] 其中 \( \theta \) 为散射角，\( \omega’ \) 为出射光子能量（体现康普顿频移）。

(d) 微分截面

最终微分截面为： \[ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{64\pi^2 s} \left( \frac{\omega’}{\omega} \right)^2 \langle|\mathcal{M}|^2\rangle. \] 代入 \( \langle|\mathcal{M}|^2\rangle \) 的显式后，得到 Klein-Nishina公式： \[ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{\alpha^2}{2m^2} \left( \frac{\omega’}{\omega} \right)^2 \left[ \frac{\omega’}{\omega} + \frac{\omega}{\omega’} - \sin^2\theta \right]. \]

4. 经典极限

当 \( \omega \ll m \)（低能极限），截面退化为经典汤姆逊散射： \[ \frac{d\sigma}{d\Omega} \approx \frac{\alpha^2}{m^2} \left( \frac{1 + \cos^2\theta}{2} \right), \quad \sigma_{\text{总}} = \frac{8\pi}{3} \frac{\alpha^2}{m^2}. \]

关键点总结

  • 费曼图提供振幅的直观表示。
  • 偏振和自旋的统计处理需严格遵循QED规则。
  • 曼德尔斯坦变量简化运动学分析。
  • Klein-Nishina公式是QED树图阶精确解，涵盖经典与量子效应。

此计算展示了QED如何统一描述光子-电子相互作用，并精确预言实验观测结果。

电子是如何吸收入射光子的？ 在量子电动力学（QED）框架下，电子“吸收入射光子”的过程本质上是光子与电子通过电磁相互作用交换能量和动量的量子过程。这一过程无法用经典图像直观描述，但可以通过以下关键概念和步骤来理解：

1. 量子场论的基本图像

  • 场的量子化：电子是狄拉克场（费米子场）的量子激发，光子是电磁场（规范玻色子场）的量子激发。
  • 相互作用顶点：QED的拉格朗日量中包含 \( \bar{\psi} \gamma^\mu \psi A_\mu \) 项，描述电子场（\( \psi \)）与光子场（\( A_\mu \)）在时空某点的耦合，耦合强度由电荷 \( e \) 决定。

2. 光子吸收的微观机制

(a) 能量-动量守恒

电子吸收入射光子 \( \gamma(k) \) 时，必须满足： \[ p + k = p’, \] 其中 \( p \) 和 \( p’ \) 分别是电子初态和中间态的4-动量，\( k \) 是光子4-动量。由于光子质量为零（\( k^2 = 0 \)），中间态电子满足： \[ (p + k)^2 = p’^2 = m^2, \] 这要求初态电子必须处于 虚态（非质壳状态），因为自由电子无法吸收实光子并同时满足能量-动量守恒（对实电子 \( p^2 = m^2 \)，会导致矛盾）。

(b) 虚电子与传播子

在康普顿散射的 s道图 中：

  1. 电子先吸收入射光子，变为虚电子（\( \not{p}’ = \not{p} + \not{k} \)，且 \( p’^2 \neq m^2 \)）。
  2. 虚电子通过传播子 \( \frac{i(\not{p}’ + m)}{p’^2 - m^2} \) 演化，随后发射出射光子 \( \gamma(k’) \)，回到实电子态。

(c) 相互作用的瞬时性

光子吸收发生在时空一点（相互作用顶点），由QED的局域耦合 \( \bar{\psi} \gamma^\mu \psi A_\mu \) 描述。光子能量-动量直接传递给电子，表现为电子动量的突变。

3. 为什么自由电子不能吸收实光子？

  • 质壳条件矛盾：若初态电子和光子均为实粒子（\( p^2 = m^2 \), \( k^2 = 0 \)），则末态电子4-动量平方为： \[ (p + k)^2 = p^2 + 2p \cdot k + k^2 = m^2 + 2p \cdot k. \] 若要末态电子仍为实粒子（\( (p + k)^2 = m^2 \)），则需 \( p \cdot k = 0 \)，这在物理参考系中无法满足（因 \( p \cdot k = E_e \omega - \mathbf{p} \cdot \mathbf{k} \geq m\omega > 0 \)）。

  • 物理含义：自由电子无法单独吸收一个实光子并保持能量-动量守恒，必须伴随其他过程（如发射另一个光子，即康普顿散射）。

4. 实际过程中的“吸收”

在康普顿散射中，看似电子“吸收-再发射”光子，实际是 两步虚过程：

  1. s道：电子暂时吸收入射光子变为虚态，随后发射出射光子。
  2. u道：电子先发射出射光子变为虚态，再吸收入射光子。 两者叠加后，虚态过程的总效果满足严格的能量-动量守恒（\( p + k = p’ + k’ \)）。

5. 经典类比与量子差异

  • 经典图像：电磁波使电子振荡，振荡电子辐射新电磁波（汤姆逊散射）。
  • 量子图像：光子-电子相互作用通过虚过程完成，散射振幅由费曼图计算，概率幅需考虑所有可能的路径（s道和u道）。

关键结论

  • 电子“吸收入射光子”是QED中由相互作用顶点描述的瞬时量子过程，依赖虚粒子的中间态。
  • 自由电子无法单独吸收实光子，必须通过散射过程（如康普顿散射）实现能量-动量转移。
  • 实验观测到的波长变化（康普顿频移）是量子场论微扰计算与费曼规则的直接预言。