波动方程与洛伦兹变换

推导一般的波动方程好的，我们来一步一步推导波动方程，以经典的一维波动方程为例，并说明如何推广到高维情况。我们会从物理原理出发，最终得到：

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

其中，$ u(x,t) $ 是波的位移（或任何传播的物理量），$ v $ 是波速。

1. 一维波动方程的推导（以弦振动为例）

考虑一根均匀的、绷紧的弹性弦（如吉他弦），假设：

弦的线密度（单位长度质量）为 $ \rho $（常数）。
弦的张力为 $ T $（常数，即弦被拉紧的程度）。
弦做微小横向振动，位移 $ u(x,t) $ 沿垂直于弦的方向（即 $ y $ 方向）。

步骤 1：受力分析（牛顿第二定律）

取弦的一小段 $ \Delta x $，分析其受力：

张力在 $ x $ 方向：
- 左端张力 $ T $ 的水平分量为 $ T \cos \theta_1 \approx T $（因为 $ \theta_1 $ 很小，$ \cos \theta \approx 1 $）。
- 右端张力 $ T $ 的水平分量为 $ T \cos \theta_2 \approx T $。
- 水平方向合力 ≈ 0（平衡）。
张力在 $ y $ 方向：
- 左端张力的垂直分量：$ T \sin \theta_1 \approx T \tan \theta_1 = T \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x} $（因为 $ \theta $ 很小，$ \sin \theta \approx \tan \theta = \frac{\partial u}{\partial x} $）。
- 右端张力的垂直分量：$ T \sin \theta_2 \approx T \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x+\Delta x} $。
- 垂直方向合力：
  
  \[ F_y = T \left( \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x+\Delta x} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x} \right) \approx T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \Delta x \]
  
  （用了泰勒展开 $ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x+\Delta x} \approx \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \Delta x $）。
牛顿第二定律：
- 小段 $ \Delta x $ 的质量：$ m = \rho \Delta x $。
- 加速度：$ a = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} $。
- 所以： \[ F_y = m a \implies T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \Delta x = \rho \Delta x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \] 两边约去 $ \Delta x $，得到： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

步骤 2：定义波速 $ v $

令： \[ v = \sqrt{\frac{T}{\rho}} \] 则方程变为： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] 这就是一维波动方程。

2. 高维波动方程的推导

对于二维（如薄膜振动）或三维（如声波）情况，推导类似，但需要使用拉普拉斯算子 $ \nabla^2 $。

以二维声波为例

假设：

声波在空气中传播，压强变化 $ p(x,y,t) $。
空气密度 $ \rho $，体积弹性模量 $ B $（介质的弹性性质）。

通过流体力学分析（欧拉方程 + 连续性方程），可以得到： \[ \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = \frac{B}{\rho} \nabla^2 p \] 定义声速： \[ v = \sqrt{\frac{B}{\rho}} \] 则波动方程为： \[ \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = v^2 \nabla^2 p \] 其中： \[ \nabla^2 p = \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial y^2} \quad (\text{二维}) \] 或 \[ \nabla^2 p = \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial z^2} \quad (\text{三维}) \]

3. 电磁波的波动方程（真空中）

由麦克斯韦方程组出发，可以推导出电磁波的波动方程。以电场 $ \mathbf{E} $ 为例： \[ \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \] 定义光速： \[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \] 则方程变为： \[ \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \mathbf{E} \] （注：这里 $ c $ 是真空光速，而介质中的电磁波速 $ v = \frac{c}{n} $，$ n $ 是折射率。）

总结

一维波动方程（如弦振动）： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad v = \sqrt{\frac{T}{\rho}} \]
高维波动方程（如声波、水波）： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \nabla^2 u, \quad v \text{ 取决于介质性质} \]
电磁波方程（真空中）： \[ \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \mathbf{E}, \quad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \]

核心思想：
波动方程的推导基于 牛顿第二定律（力学） 或 麦克斯韦方程组（电磁学），最终形式由介质的物理性质决定波速 $ v $。

验证这个波动方程，不符合伽利略变换，其他的不要说

验证：波动方程不符合伽利略变换

我们以一维波动方程为例，验证它在伽利略变换下是否保持形式不变。如果方程形式改变，则说明它不符合伽利略相对性原理。

1. 伽利略变换回顾

伽利略变换描述了两个惯性参考系 $ S $（静止系）和 $ S’ $（以速度 $ V $ 沿 $ x $ 方向运动）之间的坐标关系： \[ \begin{cases} x’ = x - V t, \ t’ = t. \end{cases} \] 其导数的变换关系为： \[ \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x’}, \quad \frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t’} - V \frac{\partial}{\partial x’}. \]

2. 波动方程在 $ S $ 系中的形式

在静止系 $ S $ 中，一维波动方程为： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. \]

3. 变换到运动系 $ S’ $

将方程转换到 $ S’ $ 系，计算二阶导数：

(1) 一阶导数变换

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial t’} - V \frac{\partial u}{\partial x’}, \quad \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x’}. \]

(2) 二阶导数变换

时间二阶导： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) = \left( \frac{\partial}{\partial t’} - V \frac{\partial}{\partial x’} \right) \left( \frac{\partial u}{\partial t’} - V \frac{\partial u}{\partial x’} \right). \] 展开后： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} - 2V \frac{\partial^2 u}{\partial t’ \partial x’} + V^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2}. \]
空间二阶导： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2}. \]

(3) 代入波动方程

将 $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} $ 和 $ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $ 的变换形式代入原方程： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} - 2V \frac{\partial^2 u}{\partial t’ \partial x’} + V^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2}. \] 整理得： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} - 2V \frac{\partial^2 u}{\partial t’ \partial x’} + (V^2 - v^2) \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} = 0. \]

4. 结果分析

在 $ S’ $ 系中，波动方程变为： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} - 2V \frac{\partial^2 u}{\partial t’ \partial x’} + (V^2 - v^2) \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} = 0. \] 与原方程 $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $ 相比：

多出了交叉项 $ \frac{\partial^2 u}{\partial t’ \partial x’} $，说明方程形式改变。
波速项 $ v^2 $ 被修改为 $ V^2 - v^2 $，破坏了不变性。

5. 结论

波动方程在伽利略变换下形式不保持不变，因此：

不符合伽利略相对性原理。
这与经典力学不同（牛顿定律在伽利略变换下形式不变）。
波动方程的协变性需要洛伦兹变换（狭义相对论框架）才能满足，此时 $ v = c $（光速）成为极限速度。

补充说明

电磁波方程（真空中 $ \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \mathbf{E} $）同样不符合伽利略变换，这促使爱因斯坦提出狭义相对论。
声波方程（介质中 $ v \neq c $）也不满足伽利略变换，但通常忽略相对论效应（因 $ v \ll c $）。

因此，波动方程天然要求相对论性时空观，而非经典伽利略时空。

假设x’=f(x,t), t’=g(x,t)，代入波动方程，然后合并同类项

严格推导：一般坐标变换下的波动方程

给定一般坐标变换： \[ x’ = f(x,t), \quad t’ = g(x,t) \]

1. 计算一阶偏导关系

使用链式法则： \[ \frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x’} + \frac{\partial g}{\partial t}\frac{\partial}{\partial t’} \] \[ \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x’} + \frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial}{\partial t’} \]

记： \[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad f_t = \frac{\partial f}{\partial t}, \quad g_x = \frac{\partial g}{\partial x}, \quad g_t = \frac{\partial g}{\partial t} \]

2. 计算二阶偏导

波动方程： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - v^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 \]

展开二阶导数： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = f_{tt}\frac{\partial u}{\partial x’} + g_{tt}\frac{\partial u}{\partial t’} + f_t^2\frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} + 2f_tg_t\frac{\partial^2 u}{\partial x’\partial t’} + g_t^2\frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f_{xx}\frac{\partial u}{\partial x’} + g_{xx}\frac{\partial u}{\partial t’} + f_x^2\frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} + 2f_xg_x\frac{\partial^2 u}{\partial x’\partial t’} + g_x^2\frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} \]

3. 代入并整理

合并同类项后得到： \[ \begin{aligned} &\left(g_t^2 - v^2g_x^2\right)\frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} + \left(2f_tg_t - 2v^2f_xg_x\right)\frac{\partial^2 u}{\partial x’\partial t’} \\ &+ \left(f_t^2 - v^2f_x^2\right)\frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} + \text{(低阶导数项)} = 0 \end{aligned} \]

4. 协变条件

要使方程保持波动方程形式： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} = v^2\frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} \] 需要满足：

交叉项系数为零：$ f_tg_t = v^2f_xg_x $
时间项与空间项比例：$ \frac{g_t^2 - v^2g_x^2}{f_t^2 - v^2f_x^2} = -1/v^2 $

5. 结论

仅当变换满足上述严格条件时，波动方程才能保持形式不变。伽利略变换不满足这些条件，因此波动方程不符合伽利略协变性。

（注：洛伦兹变换是满足这些条件的唯一线性变换，此时要求 $ v = c $）

在等式中去掉f_t和g_x，得到f_x和g_t的关系

在协变条件等式中消去 $ f_t $ 和 $ g_x $，求解 $ f_x $ 和 $ g_t $ 的关系

给定波动方程的协变条件：

交叉项消失条件： \[ f_t g_t = v^2 f_x g_x \quad (1) \]
时间-空间导数比例关系： \[ \frac{g_t^2 - v^2 g_x^2}{f_t^2 - v^2 f_x^2} = -\frac{1}{v^2} \quad (2) \]

目标

消去 $ f_t $ 和 $ g_x $，推导 $ f_x $ 和 $ g_t $ 必须满足的关系。

步骤 1：从方程 (1) 解出 $ g_x $

\[ g_x = \frac{f_t g_t}{v^2 f_x} \quad (3) \]

步骤 2：将 $ g_x $ 代入方程 (2)

将式 (3) 代入方程 (2)： \[ \frac{g_t^2 - v^2 \left( \frac{f_t g_t}{v^2 f_x} \right)^2}{f_t^2 - v^2 f_x^2} = -\frac{1}{v^2} \] 化简分子： \[ g_t^2 - \frac{f_t^2 g_t^2}{v^2 f_x^2} = g_t^2 \left( 1 - \frac{f_t^2}{v^2 f_x^2} \right) \] 因此方程变为： \[ \frac{g_t^2 \left( 1 - \frac{f_t^2}{v^2 f_x^2} \right)}{f_t^2 - v^2 f_x^2} = -\frac{1}{v^2} \]

步骤 3：约简分子和分母

观察到： \[ 1 - \frac{f_t^2}{v^2 f_x^2} = \frac{v^2 f_x^2 - f_t^2}{v^2 f_x^2} = -\frac{f_t^2 - v^2 f_x^2}{v^2 f_x^2} \] 因此分子可表示为： \[ g_t^2 \left( -\frac{f_t^2 - v^2 f_x^2}{v^2 f_x^2} \right) = -\frac{g_t^2 (f_t^2 - v^2 f_x^2)}{v^2 f_x^2} \] 代入方程： \[ \frac{ -\frac{g_t^2 (f_t^2 - v^2 f_x^2)}{v^2 f_x^2} }{ f_t^2 - v^2 f_x^2 } = -\frac{1}{v^2} \] 约去 $ f_t^2 - v^2 f_x^2 $（假设 $ f_t^2 \neq v^2 f_x^2 $）： \[ -\frac{g_t^2}{v^2 f_x^2} = -\frac{1}{v^2} \] 两边乘以 $ -v^2 $： \[ \frac{g_t^2}{f_x^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad g_t^2 = f_x^2 \] 因此： \[ g_t = \pm f_x \]

步骤 4：确定 $ f_x $ 和 $ g_t $ 的关系

最终得到： \[ g_t = \pm f_x \] 即：

$ g_t = f_x $，或
$ g_t = -f_x $。

物理意义

$ g_t = \pm f_x $ 表明时间变换的时变部分 $ g_t $ 必须与空间变换的空间梯度 $ f_x $ 相等或相反。
自由度的限制：
- 若 $ g_t = f_x $，则 $ g_x = \frac{f_t}{v^2} $（从式 (3)），此时变换需进一步满足其他约束。
- 若 $ g_t = -f_x $，则 $ g_x = -\frac{f_t}{v^2} $。

结论

在消去 $ f_t $ 和 $ g_x $ 后，$ f_x $ 和 $ g_t $ 必须满足： \[ g_t = \pm f_x \] 这是波动方程协变性的必要非充分条件。完整的变换还需通过 $ f_t $ 和 $ g_x $ 的约束进一步确定（如洛伦兹变换）。

在等式中去掉g_t和g_x，得到f_x和f_t的关系

在协变条件等式中消去 $ g_t $ 和 $ g_x $，求解 $ f_x $ 和 $ f_t $ 的关系

给定波动方程的协变条件：

交叉项消失条件： \[ f_t g_t = v^2 f_x g_x \quad (1) \]
时间-空间导数比例关系： \[ \frac{g_t^2 - v^2 g_x^2}{f_t^2 - v^2 f_x^2} = -\frac{1}{v^2} \quad (2) \]

目标

消去 $ g_t $ 和 $ g_x $，推导 $ f_x $ 和 $ f_t $ 必须满足的关系。

步骤 1：从方程 (1) 解出 $ g_x $

\[ g_x = \frac{f_t g_t}{v^2 f_x} \quad (3) \]

步骤 2：将 $ g_x $ 代入方程 (2)

步骤 3：约简分子和分母

步骤 4：确定 $ f_x $ 和 $ f_t $ 的关系

从式 (3) 和 $ g_t = \pm f_x $： \[ g_x = \frac{f_t (\pm f_x)}{v^2 f_x} = \pm \frac{f_t}{v^2} \] 但 $ g_x $ 已被消去，因此无法直接约束 $ f_t $。需要回到原始方程进一步分析。

从方程 (1)： \[ f_t g_t = v^2 f_x g_x \] 代入 $ g_t = \pm f_x $ 和 $ g_x = \pm \frac{f_t}{v^2} $： \[ f_t (\pm f_x) = v^2 f_x \left( \pm \frac{f_t}{v^2} \right) \] 两边恒成立，说明 $ f_t $ 不受约束。

最终关系

消去 $ g_t $ 和 $ g_x $ 后，$ f_x $ 和 $ f_t $ 的关系为： \[ f_x \text{ 任意}, \quad f_t \text{ 任意} \] 但需满足 $ g_t = \pm f_x $ 和 $ g_x = \pm \frac{f_t}{v^2} $。

结论

无法仅通过消去 $ g_t $ 和 $ g_x $ 约束 $ f_x $ 和 $ f_t $，因为：
- $ f_x $ 和 $ f_t $ 可任意取值。
- $ g_t $ 和 $ g_x $ 必须通过 $ g_t = \pm f_x $ 和 $ g_x = \pm \frac{f_t}{v^2} $ 由 $ f_x $ 和 $ f_t $ 决定。
物理意义：
- 波动方程的协变性要求 $ g_t $ 和 $ g_x $ 必须与 $ f_x $ 和 $ f_t $ 耦合，不能完全独立消去。
- 洛伦兹变换是唯一同时满足所有约束的非平凡解。

令f_x=a, f_t=a u，求g_t, g_x

求解步骤

给定条件：

$ f_x = a $
$ f_t = a u $

波动方程协变条件：

交叉项消失条件： \[ f_t g_t = v^2 f_x g_x \]
时间-空间导数比例关系： \[ \frac{g_t^2 - v^2 g_x^2}{f_t^2 - v^2 f_x^2} = -\frac{1}{v^2} \]

步骤 1：代入 $ f_x = a $ 和 $ f_t = a u $ 到交叉项条件

\[ a u \cdot g_t = v^2 a \cdot g_x \] 两边约去 $ a $（假设 $ a \neq 0 $）： \[ u g_t = v^2 g_x \quad \Rightarrow \quad g_x = \frac{u}{v^2} g_t \quad (1) \]

步骤 2：代入 $ f_x = a $、$ f_t = a u $ 和 $ g_x = \frac{u}{v^2} g_t $ 到比例关系

\[ \frac{g_t^2 - v^2 \left( \frac{u}{v^2} g_t \right)^2}{(a u)^2 - v^2 a^2} = -\frac{1}{v^2} \] 化简分子： \[ g_t^2 - \frac{u^2}{v^2} g_t^2 = g_t^2 \left( 1 - \frac{u^2}{v^2} \right) \] 化简分母： \[ a^2 u^2 - v^2 a^2 = a^2 (u^2 - v^2) \] 因此方程变为： \[ \frac{g_t^2 \left( 1 - \frac{u^2}{v^2} \right)}{a^2 (u^2 - v^2)} = -\frac{1}{v^2} \] 注意到 $ 1 - \frac{u^2}{v^2} = -\frac{u^2 - v^2}{v^2} $，所以： \[ \frac{g_t^2 \left( -\frac{u^2 - v^2}{v^2} \right)}{a^2 (u^2 - v^2)} = -\frac{1}{v^2} \] 约去 $ u^2 - v^2 $（假设 $ u^2 \neq v^2 $）： \[ \frac{-g_t^2}{a^2 v^2} = -\frac{1}{v^2} \] 两边乘以 $ -v^2 $： \[ \frac{g_t^2}{a^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad g_t^2 = a^2 \] 因此： \[ g_t = \pm a \]

步骤 3：求 $ g_x $

从式 (1)： \[ g_x = \frac{u}{v^2} g_t = \pm \frac{a u}{v^2} \]

最终解

情况 1： \[ g_t = +a, \quad g_x = +\frac{a u}{v^2} \]
情况 2： \[ g_t = -a, \quad g_x = -\frac{a u}{v^2} \]

物理意义

$ g_t = \pm a $：时间变换的时变部分与空间变换的空间梯度 $ f_x = a $ 同量级。
$ g_x = \pm \frac{a u}{v^2} $：空间变换的时间梯度部分与速度 $ u $ 和波速 $ v $ 相关。
当 $ u = v $ 时，$ g_x = \pm \frac{a}{v} $，与洛伦兹变换中的形式一致（需进一步验证）。

验证洛伦兹变换特例

设 $ u = v $，则： \[ g_t = \pm a, \quad g_x = \pm \frac{a}{v} \] 若取 $ a = \gamma $，则： \[ g_t = \gamma, \quad g_x = \frac{\gamma}{v} \] 这与洛伦兹变换 $ t’ = \gamma \left( t - \frac{v}{c^2} x \right) $ 中的系数一致（当 $ c = 1 $ 时）。

假设a=1，看看是否有矛盾

假设 $ a = 1 $，验证协变条件是否成立

给定：

$ f_x = 1 $
$ f_t = u $ （因为 $ f_t = a u = u $）

波动方程协变条件：

交叉项消失条件： \[ f_t g_t = v^2 f_x g_x \implies u g_t = v^2 g_x \quad (1) \]
时间-空间导数比例关系： \[ \frac{g_t^2 - v^2 g_x^2}{f_t^2 - v^2 f_x^2} = -\frac{1}{v^2} \implies \frac{g_t^2 - v^2 g_x^2}{u^2 - v^2} = -\frac{1}{v^2} \quad (2) \]

步骤 1：从式 (1) 解出 $ g_x $

\[ g_x = \frac{u}{v^2} g_t \quad (3) \]

步骤 2：将 $ g_x $ 代入式 (2)

\[ \frac{g_t^2 - v^2 \left( \frac{u}{v^2} g_t \right)^2}{u^2 - v^2} = -\frac{1}{v^2} \] 化简分子： \[ g_t^2 - \frac{u^2}{v^2} g_t^2 = g_t^2 \left( 1 - \frac{u^2}{v^2} \right) \] 因此方程变为： \[ \frac{g_t^2 \left( 1 - \frac{u^2}{v^2} \right)}{u^2 - v^2} = -\frac{1}{v^2} \] 注意到 $ 1 - \frac{u^2}{v^2} = -\frac{u^2 - v^2}{v^2} $，所以： \[ \frac{g_t^2 \left( -\frac{u^2 - v^2}{v^2} \right)}{u^2 - v^2} = -\frac{1}{v^2} \] 约去 $ u^2 - v^2 $（假设 $ u^2 \neq v^2 $）： \[ -\frac{g_t^2}{v^2} = -\frac{1}{v^2} \implies g_t^2 = 1 \] 因此： \[ g_t = \pm 1 \]

步骤 3：求 $ g_x $

从式 (3)： \[ g_x = \pm \frac{u}{v^2} \]

验证解的合理性

若 $ g_t = +1 $, $ g_x = +\frac{u}{v^2} $：
- 变换形式： \[ x’ = x + u t, \quad t’ = t + \frac{u}{v^2} x \]
- 这与 伽利略变换（$ x’ = x - V t $, $ t’ = t $）不完全一致，但保留了时空耦合项 $ \frac{u}{v^2} x $。
若 $ g_t = -1 $, $ g_x = -\frac{u}{v^2} $：
- 时间反转变换，物理意义较弱。
矛盾点：
- 当 $ u \to v $（波速极限），$ g_x \to \pm \frac{1}{v} $，但 $ g_t^2 - v^2 g_x^2 = 1 - v^2 \cdot \frac{1}{v^2} = 0 $，破坏归一化条件 $ g_t^2 - v^2 g_x^2 = 1 $。

结论

当 $ a = 1 $：
- 协变条件允许 $ g_t = \pm 1 $ 和 $ g_x = \pm \frac{u}{v^2} $，但要求 $ u \neq v $。
- 变换形式为 低速近似下的洛伦兹变换（忽略高阶项 $ \frac{u^2}{v^2} $）。
矛盾出现：
- 当 $ u \to v $，变换失效，与洛伦兹变换的奇点一致。
- 若强制 $ u = v $，则 $ g_t^2 - v^2 g_x^2 = 0 \neq 1 $，破坏协变性。

物理意义

$ a = 1 $ 的假设 仅在低速（$ u \ll v $）时近似成立，此时变换接近伽利略变换。
严格协变性 需要 $ a = \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{v^2}}} $，否则无法满足所有约束条件。

直接使用x’=x+ut, t’=t+u/v^2x，代入波动方程试试

直接验证变换 $ x’ = x + u t $, $ t’ = t + \frac{u}{v^2} x $ 是否保持波动方程形式

1. 计算偏导数关系

原波动方程： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

新坐标： \[ x’ = x + u t, \quad t’ = t + \frac{u}{v^2} x \]

利用链式法则： \[ \frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial x’}{\partial t} \frac{\partial}{\partial x’} + \frac{\partial t’}{\partial t} \frac{\partial}{\partial t’} = u \frac{\partial}{\partial x’} + \frac{\partial}{\partial t’} \] \[ \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial x’}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x’} + \frac{\partial t’}{\partial x} \frac{\partial}{\partial t’} = \frac{\partial}{\partial x’} + \frac{u}{v^2} \frac{\partial}{\partial t’} \]

2. 计算二阶导数

时间二阶导： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \left( u \frac{\partial}{\partial x’} + \frac{\partial}{\partial t’} \right)^2 u = u^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} + 2 u \frac{\partial^2 u}{\partial x’ \partial t’} + \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} \]
空间二阶导： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \left( \frac{\partial}{\partial x’} + \frac{u}{v^2} \frac{\partial}{\partial t’} \right)^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} + \frac{2 u}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial x’ \partial t’} + \frac{u^2}{v^4} \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} \]

3. 代入波动方程

\[ u^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} + 2 u \frac{\partial^2 u}{\partial x’ \partial t’} + \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} = v^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} + \frac{2 u}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial x’ \partial t’} + \frac{u^2}{v^4} \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} \right) \]

展开右边： \[ u^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} + 2 u \frac{\partial^2 u}{\partial x’ \partial t’} + \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} + 2 u \frac{\partial^2 u}{\partial x’ \partial t’} + \frac{u^2}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} \]

4. 整理方程

两边消去 $ 2 u \frac{\partial^2 u}{\partial x’ \partial t’} $： \[ u^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} + \frac{u^2}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} \]

移项： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} - \frac{u^2}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} - u^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} \] \[ \left( 1 - \frac{u^2}{v^2} \right) \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} = \left( v^2 - u^2 \right) \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} \]

两边除以 $ 1 - \frac{u^2}{v^2} $： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} = \frac{v^2 - u^2}{1 - \frac{u^2}{v^2}} \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} \]

化简系数： \[ \frac{v^2 - u^2}{1 - \frac{u^2}{v^2}} = \frac{v^2 - u^2}{\frac{v^2 - u^2}{v^2}} = v^2 \]

因此： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} \]

5. 结果

变换后的方程与原波动方程形式完全相同： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t’^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x’^2} \]

结论

变换： \[ x’ = x + u t, \quad t’ = t + \frac{u}{v^2} x \] 严格保持波动方程的形式不变，且无需任何近似（如低速限制）。这与洛伦兹变换在低速下的线性展开一致，但此处对任意 $ u $ 均成立。

关键点

协变性成立：该变换是波动方程的一个对称性变换。
与洛伦兹变换的关系：
- 当 $ u \ll v $ 时，退化为伽利略变换 $ x’ = x + u t $, $ t’ = t $。
- 当 $ u \to v $，变换仍保持数学形式，但物理上需考虑相对论效应。
物理意义：
- 此变换表明波动方程允许一类线性时空混合的对称性，其系数由波速 $ v $ 决定。

验证这个变换是否符合(ct)^2-x^2=(ct’)^2-x’^2 我们来验证你提出的变换：

$$ x’ = x + ut, \quad t’ = t + \frac{u}{c^2}x \tag{1} $$

是否满足时空不变量的保持，即：

$$ (c t)^2 - x^2 = (c t’)^2 - x’^2 \tag{2} $$

这个不变量是狭义相对论中洛伦兹变换的核心性质之一，它表示在不同惯性参考系中，事件的“时空间隔”保持不变。

一、目标

我们要验证的是：使用变换公式(1)，是否能使下式恒成立：

$$ (c t)^2 - x^2 = (c t’)^2 - x’^2 $$

如果等式成立，则说明该变换保持了时空间隔不变，具有某种“类洛伦兹”性质。

二、代入变换公式

将 $ x’, t’ $ 表达为 $ x, t $ 的函数：

$$ x’ = x + ut \ t’ = t + \frac{u}{c^2}x $$

计算右边：

$$ (c t’)^2 - x’^2 = c^2 \left(t + \frac{u}{c^2}x\right)^2 - (x + ut)^2 $$

分别展开平方项：

第一项：

$$ c^2 \left(t + \frac{u}{c^2}x\right)^2 = c^2 \left(t^2 + 2t \cdot \frac{u}{c^2}x + \left(\frac{u}{c^2}x\right)^2\right) = c^2 t^2 + 2utx + \frac{u^2}{c^2}x^2 $$

第二项：

$$ (x + ut)^2 = x^2 + 2uxt + u^2 t^2 $$

所以：

$$ (c t’)^2 - x’^2 = \left(c^2 t^2 + 2utx + \frac{u^2}{c^2}x^2\right) - \left(x^2 + 2uxt + u^2 t^2\right) $$

合并同类项：

$ c^2 t^2 - u^2 t^2 = t^2(c^2 - u^2) $
$ 2utx - 2utx = 0 $
$ \frac{u^2}{c^2}x^2 - x^2 = x^2\left(\frac{u^2}{c^2} - 1\right) $

所以：

$$ (c t’)^2 - x’^2 = t^2(c^2 - u^2) + x^2\left(\frac{u^2}{c^2} - 1\right) $$

三、比较左右两边

原左边是：

$$ (c t)^2 - x^2 = c^2 t^2 - x^2 $$

而右边我们刚算出是：

$$ t^2(c^2 - u^2) + x^2\left(\frac{u^2}{c^2} - 1\right) $$

这两个表达式 只有当 $ u = 0 $ 时才相等。否则它们不一致。

四、结论

内容	结果
变换公式	$ x’ = x + ut,\quad t’ = t + \frac{u}{c^2}x $
是否满足 $ (ct)^2 - x^2 = (ct’)^2 - x’^2 $?	❌ 否
是否保持时空间隔不变？	❌ 否
是否是洛伦兹变换？	❌ 否

五、对比洛伦兹变换

标准洛伦兹变换为：

$$ x’ = \gamma(x - ut), \quad t’ = \gamma\left(t - \frac{u}{c^2}x\right) $$

其中：

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} $$

在这种情况下，可以严格证明：

$$ (c t)^2 - x^2 = (c t’)^2 - x’^2 $$

因此，只有洛伦兹变换才能保证时空间隔不变。

六、进一步分析

虽然你提供的变换不能保持时空间隔不变，但它确实使得波动方程形式不变（如前文所示）。这说明：

它可能是一个“对称变换”，但不是洛伦兹群中的正则变换。

也就是说，它在某些特定条件下（如波动方程）表现得像洛伦兹变换，但在更一般的时空结构上并不符合相对论要求。

✅ 总结

项目	是否满足
波动方程形式不变	✅ 是（除以 $1 - u^2/c^2$ 后）
时空间隔不变 $(ct)^2 - x^2 = (ct’)^2 - x’^2$	❌ 否
是否为洛伦兹变换	❌ 否
是否可视为某种近似或非标准变换	✅ 可能是微小速度下的近似或特殊变换

如果你是在研究非标准时空变换或试图构造新的对称性模型，这是一个非常有启发性的方向！欢迎继续深入探讨。

1. 一维波动方程的推导（以弦振动为例）#

步骤 1：受力分析（牛顿第二定律）#

步骤 2：定义波速 \( v \)#

2. 高维波动方程的推导#

以二维声波为例#

3. 电磁波的波动方程（真空中）#

总结#

验证：波动方程不符合伽利略变换#

1. 伽利略变换回顾#

2. 波动方程在 \( S \) 系中的形式#

3. 变换到运动系 \( S’ \)#

(1) 一阶导数变换#

(2) 二阶导数变换#

(3) 代入波动方程#

4. 结果分析#

5. 结论#

补充说明#

严格推导：一般坐标变换下的波动方程#

1. 计算一阶偏导关系#

2. 计算二阶偏导#

3. 代入并整理#

4. 协变条件#

5. 结论#

在协变条件等式中消去 \( f_t \) 和 \( g_x \)，求解 \( f_x \) 和 \( g_t \) 的关系#

目标#

步骤 1：从方程 (1) 解出 \( g_x \)#

步骤 2：将 \( g_x \) 代入方程 (2)#

步骤 3：约简分子和分母#

步骤 4：确定 \( f_x \) 和 \( g_t \) 的关系#

物理意义#

结论#

在协变条件等式中消去 \( g_t \) 和 \( g_x \)，求解 \( f_x \) 和 \( f_t \) 的关系#

目标#

步骤 1：从方程 (1) 解出 \( g_x \)#

步骤 2：将 \( g_x \) 代入方程 (2)#

步骤 3：约简分子和分母#

步骤 4：确定 \( f_x \) 和 \( f_t \) 的关系#

最终关系#

结论#

求解步骤#

步骤 1：代入 \( f_x = a \) 和 \( f_t = a u \) 到交叉项条件#

步骤 2：代入 \( f_x = a \)、\( f_t = a u \) 和 \( g_x = \frac{u}{v^2} g_t \) 到比例关系#

步骤 3：求 \( g_x \)#

最终解#

物理意义#

验证洛伦兹变换特例#

假设 \( a = 1 \)，验证协变条件是否成立#

步骤 1：从式 (1) 解出 \( g_x \)#

步骤 2：将 \( g_x \) 代入式 (2)#

步骤 3：求 \( g_x \)#

验证解的合理性#

结论#

物理意义#

直接验证变换 \( x’ = x + u t \), \( t’ = t + \frac{u}{v^2} x \) 是否保持波动方程形式#

1. 计算偏导数关系#

2. 计算二阶导数#

3. 代入波动方程#

4. 整理方程#

5. 结果#

结论#

关键点#

一、目标#

二、代入变换公式#

第一项：#

第二项：#

三、比较左右两边#

四、结论#

五、对比洛伦兹变换#

六、进一步分析#

✅ 总结#

1. 一维波动方程的推导（以弦振动为例）

步骤 1：受力分析（牛顿第二定律）

步骤 2：定义波速 \( v \)

2. 高维波动方程的推导

以二维声波为例

3. 电磁波的波动方程（真空中）

总结

验证：波动方程不符合伽利略变换

1. 伽利略变换回顾

2. 波动方程在 \( S \) 系中的形式

3. 变换到运动系 \( S’ \)

(1) 一阶导数变换

(2) 二阶导数变换

(3) 代入波动方程

4. 结果分析

5. 结论

补充说明

严格推导：一般坐标变换下的波动方程

1. 计算一阶偏导关系

2. 计算二阶偏导

3. 代入并整理

4. 协变条件

5. 结论

在协变条件等式中消去 \( f_t \) 和 \( g_x \)，求解 \( f_x \) 和 \( g_t \) 的关系

目标

步骤 1：从方程 (1) 解出 \( g_x \)

步骤 2：将 \( g_x \) 代入方程 (2)

步骤 3：约简分子和分母

步骤 4：确定 \( f_x \) 和 \( g_t \) 的关系

物理意义

结论

在协变条件等式中消去 \( g_t \) 和 \( g_x \)，求解 \( f_x \) 和 \( f_t \) 的关系

目标

步骤 1：从方程 (1) 解出 \( g_x \)

步骤 2：将 \( g_x \) 代入方程 (2)

步骤 3：约简分子和分母

步骤 4：确定 \( f_x \) 和 \( f_t \) 的关系

最终关系

结论

求解步骤

步骤 1：代入 \( f_x = a \) 和 \( f_t = a u \) 到交叉项条件

步骤 2：代入 \( f_x = a \)、\( f_t = a u \) 和 \( g_x = \frac{u}{v^2} g_t \) 到比例关系

步骤 3：求 \( g_x \)

最终解

物理意义

验证洛伦兹变换特例

假设 \( a = 1 \)，验证协变条件是否成立

步骤 1：从式 (1) 解出 \( g_x \)

步骤 2：将 \( g_x \) 代入式 (2)

步骤 3：求 \( g_x \)

验证解的合理性

结论

物理意义

直接验证变换 \( x’ = x + u t \), \( t’ = t + \frac{u}{v^2} x \) 是否保持波动方程形式

1. 计算偏导数关系

2. 计算二阶导数

3. 代入波动方程

4. 整理方程

5. 结果

结论

关键点

一、目标

二、代入变换公式

第一项：

第二项：

三、比较左右两边

四、结论

五、对比洛伦兹变换

六、进一步分析

✅ 总结