洛伦兹变换中的相对速度叠加公式用于计算在一个参考系中观察到的两个惯性参考系之间的相对速度。以下是详细的推导过程：
1. 洛伦兹变换回顾
设两个惯性参考系 \( S \) 和 \( S’ \)，\( S’ \) 以速度 \( u \) 沿 \( x \) 轴相对 \( S \) 运动。洛伦兹变换为： \[ \begin{cases} x’ = \gamma_u (x - ut), \ t’ = \gamma_u \left(t - \frac{u x}{c^2}\right), \end{cases} \] 其中 \( \gamma_u = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \)。
类似地，若另一参考系 \( S’’ \) 以速度 \( v \) 相对 \( S’ \) 运动，其变换为： \[ \begin{cases} x’’ = \gamma_v (x’ - v t’), \ t’’ = \gamma_v \left(t’ - \frac{v x’}{c^2}\right), \end{cases} \] 其中 \( \gamma_v = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \)。
2. 组合洛伦兹变换
将 \( S \to S’ \to S’’ \) 的变换组合，得到 \( S \to S’’ \) 的变换。将 \( x’ \) 和 \( t’ \) 代入 \( x’’ \) 表达式： \[ x’’ = \gamma_v \left[\gamma_u (x - ut) - v \gamma_u \left(t - \frac{u x}{c^2}\right)\right]. \] 整理后： \[ x’’ = \gamma_v \gamma_u \left[x \left(1 + \frac{u v}{c^2}\right) - t(u + v)\right]. \]
类似地，对时间变换： \[ t’’ = \gamma_v \gamma_u \left[t \left(1 + \frac{u v}{c^2}\right) - \frac{x(u + v)}{c^2}\right]. \]
3. 等效速度 \( w \) 的引入
设 \( S’’ \) 相对 \( S \) 的速度为 \( w \)，则直接洛伦兹变换应为： \[ \begin{cases} x’’ = \gamma_w (x - w t), \ t’’ = \gamma_w \left(t - \frac{w x}{c^2}\right), \end{cases} \] 其中 \( \gamma_w = \frac{1}{\sqrt{1 - w^2/c^2}} \)。
4. 比较系数求 \( w \)
将组合变换与直接变换对比，要求系数一致： \[ \gamma_w = \gamma_u \gamma_v \left(1 + \frac{u v}{c^2}\right), \] 且速度关系为： \[ w = \frac{u + v}{1 + \frac{u v}{c^2}}. \]
推导步骤：
- 由 \( x’’ \) 的表达式，令 \( \gamma_w = \gamma_u \gamma_v (1 + u v / c^2) \)。
- 代入 \( \gamma_w \) 的定义，解出 \( w \)： \[ w = \frac{u + v}{1 + u v / c^2}. \]
5. 结论
相对论速度叠加公式为： \[ w = \frac{u + v}{1 + \frac{u v}{c^2}}. \] 当 \( u, v \ll c \) 时，分母趋近于 1，公式退化为经典速度叠加 \( w \approx u + v \)。
关键点：
- 洛伦兹变换的线性性保证了速度叠加的非线性。
- 公式保证了合成速度不会超过光速 \( c \)（如 \( u = v = 0.9c \) 时，\( w = \frac{1.8c}{1.81} \approx 0.994c \)）。
- 适用于同方向运动；若方向不同，需分解速度分量后分别处理。
此推导严格遵循了狭义相对论的基本原理，确保了所有惯性参考系中光速不变性。
1. 洛伦兹变换
从 \( S \) 到 \( S’ \) 的洛伦兹变换为： \[ \begin{cases} x’ = \gamma (x - u t), \ t’ = \gamma \left(t - \frac{u x}{c^2}\right), \end{cases} \] 其中 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \)。
2. 速度的定义
在 \( S’ \) 系中，物体的速度为： \[ v = \frac{dx’}{dt’}. \] 我们需要求在 \( S \) 系中的速度： \[ w = \frac{dx}{dt}. \]
3. 计算微分
对洛伦兹变换取微分： \[ dx’ = \gamma (dx - u dt), \] \[ dt’ = \gamma \left(dt - \frac{u dx}{c^2}\right). \]
4. 速度关系
将 \( dx’ \) 和 \( dt’ \) 代入 \( v \) 的定义： \[ v = \frac{dx’}{dt’} = \frac{\gamma (dx - u dt)}{\gamma \left(dt - \frac{u dx}{c^2}\right)} = \frac{dx - u dt}{dt - \frac{u dx}{c^2}}. \] 将 \( dx = w dt \) 代入： \[ v = \frac{w dt - u dt}{dt - \frac{u w dt}{c^2}} = \frac{(w - u) dt}{dt \left(1 - \frac{u w}{c^2}\right)} = \frac{w - u}{1 - \frac{u w}{c^2}}. \]
5. 解方程求 \( w \)
整理方程： \[ v \left(1 - \frac{u w}{c^2}\right) = w - u, \] \[ v - \frac{u v w}{c^2} = w - u, \] 将含 \( w \) 的项移到一边： \[ v + u = w + \frac{u v w}{c^2}, \] \[ v + u = w \left(1 + \frac{u v}{c^2}\right), \] 解得： \[ w = \frac{u + v}{1 + \frac{u v}{c^2}}. \]
6. 结论
这就是洛伦兹速度叠加公式： \[ w = \frac{u + v}{1 + \frac{u v}{c^2}}. \]
关键点：
- 通过微分和速度定义直接关联两个参考系中的速度。
- 当 \( u, v \ll c \) 时，分母趋近于 1，公式退化为经典速度叠加 \( w \approx u + v \)。
- 公式确保合成速度不会超过光速 \( c \)。