以前证明洛伦兹变换，都是使用的直角三角形，而没有使用斜线的方式。
现在我们考虑斜线的方式，其实也要使用直角三角形，如下图：
图中，从O随意发射一束光线，经过时间t，到达点\(P(t,x)\)，P点在x轴上的投影为\(x\)，此时O’坐标系走了\(vt\)，在O’坐标系中，P点在O’的x轴的投影值为\(x’\), 从O’到P点光走的距离为\(ct’\)
我们需要分段求从x到\(x’+vt’\)的关系，先求\(vt\)和\(vt’\)的关系，再求\(x-vt\)和\(x’\)的关系。
我们首先把ct线段OP拉到点q，使得O’q垂直于x轴(ct’也同步变化)，Oq=ct，如下图：
此时，我们很容易证明\(vt=\gamma vt’\):
此时，\(x=vt\)，\(x’=0\)，根据\((ct)^2 -x^2 =(ct’)^2 -x’^2\)，可得：
\(t=\gamma t’\)，于是有：
\( vt=\gamma vt’ \)
然后我们再求\(x-vt\)与\(x’\)的关系，因为是对应关系，所以也应该是\((x-vt)=\gamma x’ \)
我们也把当前的O’作为O的原点，把O’P拉到O’q和x-vt成c/v比例的直角三角形\((O’q/(x-vt)=c/v)\)，对应的ct’也做相应的变化，如下图：
使用式子 \((ct)^2-x^2=(ct’)^2-x’^2\)
此时\(ct=>O’q=(x-vt)*c/v\)，\(ct’=>x’*c/v\)，而式子中的x’此时对应着0 (q在O’上的投影为0)，所以有：
\( ((x-vt)*c/v)^2 -(x-vt)^2 =(x’*c/v)^2 -0 \)，于是可以得到：
\( (x-vt) =\gamma x’ \)，于是有：
\( x =\gamma x’ + vt =\gamma x’ + \gamma vt’ =\gamma (x’+vt’)\)