同时性与洛伦兹变换

我们假设在O’坐标系内一个尺子，长度为L’，从两端分别同时发射一束光，光速为c，到中点相遇，

总时间为\( t’=\frac{L’}{c} \)，时间差 \( \Delta t’=0 \)

那么在O坐标系内观察呢？

假设在O上尺子长度为L，观察两束光，也是在尺子中间相遇，但发射时间不同，一边耗时为\(t_1\), 另一边耗时\(t_2\)，

那么一边走的距离为\(L/2=(c-v)t_1\)，另一边为\(L/2=(c+v)t_2\)，所以:

\( t=t_1+t_2=\frac{L}{2(c-v)}+\frac{L}{2(c+v)}=\frac{Lc}{(c^2-v^2)} \)

\( = \gamma^2 \frac{L}{c} \)

\( \Delta t=t_1-t_2=\frac{L}{2(c-v)}-\frac{L}{2(c+v)} =\frac{L v}{(c^2-v^2)}\)

\(= \gamma^2 \frac{L v}{c^2} \)

此时，如果我们让 \(L=L’/ \gamma \)，也就是尺缩，则有：

\( t= \gamma^2 \frac{L}{c} =\gamma \frac{L’}{c} =\gamma t’ \)

\(\Delta t = \gamma \frac{L’ v}{c^2} \)

\(\frac{L’}{\gamma} + v\Delta t = \frac{L’}{\gamma} + \gamma \frac{L’ v^2}{c^2} =\gamma L’ \)

这里的尺缩和洛伦兹变换的尺缩是矛盾的，

也就是在\(\Delta t’=0\)时，应该是：

\( \Delta x=\gamma(\Delta x’-v\Delta t’)=\gamma \Delta x’ \)

这说明在测量时间之前，是先测了长度，发现长度是缩短了，然后再测的时间，分了两次来测量

那么，我们如何才能不是假设而是直接证明得到尺缩呢？使用一维的方式，是无法推导出来的