严格按给定方程求解
我们需要解方程： \[ (ct)^2 - (x_0 + vt)^2 = (ct’)^2 - x_0’^2 \]
第一步：展开方程
左边展开： \[ (ct)^2 - (x_0 + vt)^2 = c^2t^2 - x_0^2 - 2x_0vt - v^2t^2 \] 右边： \[ (ct’)^2 - x_0’^2 \]
第二步：建立等式
\[ c^2t^2 - x_0^2 - 2x_0vt - v^2t^2 = c^2t’^2 - x_0’^2 \]
第三步：整理方程
将所有项移到左边： \[ (c^2 - v^2)t^2 - 2x_0vt - x_0^2 - c^2t’^2 + x_0’^2 = 0 \]
第四步：解关于t的二次方程
这是一个标准的二次方程形式： \[ At^2 + Bt + C = 0 \] 其中： \[ A = c^2 - v^2 \] \[ B = -2x_0v \] \[ C = -x_0^2 - c^2t’^2 + x_0’^2 \]
使用求根公式： \[ t = \frac{-B ± \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \]
第五步：计算判别式
\[ Δ = B^2 - 4AC \] \[ = (-2x_0v)^2 - 4(c^2 - v^2)(-x_0^2 - c^2t’^2 + x_0’^2) \] \[ = 4x_0^2v^2 + 4(c^2 - v^2)(x_0^2 + c^2t’^2 - x_0’^2) \]
第六步：最终解
\[ t = \frac{2x_0v ± \sqrt{4x_0^2v^2 + 4(c^2 - v^2)(x_0^2 + c^2t’^2 - x_0’^2)}}{2(c^2 - v^2)} \] \[ = \frac{x_0v ± \sqrt{x_0^2v^2 + (c^2 - v^2)(x_0^2 + c^2t’^2 - x_0’^2)}}{c^2 - v^2} \]
关键说明：
- 这是最一般的解，没有引入任何额外假设
- 解中包含x₀’项，若需要进一步简化，需明确x₀’与x₀的关系
- 若假设x₀’=0（即x₀’²=0），解可简化为： \[ t = \frac{x_0v ± \sqrt{x_0^2v^2 + (c^2 - v^2)(x_0^2 + c^2t’^2)}}{c^2 - v^2} \]
物理意义：
这个解描述了在不同参考系中时间坐标的变换关系，保持时空间隔不变。完整的物理解释需要更多信息来确定x₀’的具体含义。
问题重述
我们需要在之前得到的解中，将判别式（根号下的内容）表达为完全平方形式 \((At’ + B)^2\)，并求出系数 \(A\) 和 \(B\)。
之前得到的解为： \[ t = \frac{x_0v \pm \sqrt{x_0^2v^2 + (c^2 - v^2)(x_0^2 + c^2t’^2 - x_0’^2)}}{c^2 - v^2} \]
步骤 1：设定判别式为完全平方
设判别式： \[ \Delta = x_0^2v^2 + (c^2 - v^2)(x_0^2 + c^2t’^2 - x_0’^2) = (At’ + B)^2 \]
展开右边： \[ (At’ + B)^2 = A^2t’^2 + 2ABt’ + B^2 \]
步骤 2：比较系数
将判别式展开： \[ \Delta = x_0^2v^2 + (c^2 - v^2)x_0^2 + (c^2 - v^2)c^2t’^2 - (c^2 - v^2)x_0’^2 \] \[ = [x_0^2v^2 + (c^2 - v^2)x_0^2] + (c^2 - v^2)c^2t’^2 - (c^2 - v^2)x_0’^2 \]
与 \((At’ + B)^2\) 展开式比较，对应系数相等：
-
\(t’^2\) 项： \[ (c^2 - v^2)c^2 = A^2 \] \[ A = c\sqrt{c^2 - v^2} \]
-
\(t’\) 项： \[ 2AB = 0 \implies B = 0 \quad (\text{因为 } A \neq 0) \]
-
常数项： \[ x_0^2v^2 + (c^2 - v^2)x_0^2 - (c^2 - v^2)x_0’^2 = B^2 = 0 \]
步骤 3：解关于 \(x_0’\) 的方程
从常数项等于 0： \[ x_0^2v^2 + (c^2 - v^2)x_0^2 - (c^2 - v^2)x_0’^2 = 0 \] \[ x_0^2(v^2 + c^2 - v^2) = (c^2 - v^2)x_0’^2 \] \[ c^2x_0^2 = (c^2 - v^2)x_0’^2 \] \[ x_0’^2 = \frac{c^2x_0^2}{c^2 - v^2} \] \[ x_0’ = \frac{cx_0}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \gamma c x_0 \] 其中 \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\) 是洛伦兹因子。
步骤 4：验证
将 \(x_0’ = \gamma c x_0\) 代回判别式： \[ \Delta = (c^2 - v^2)c^2t’^2 + c^2x_0^2 - (c^2 - v^2)\gamma^2c^2x_0^2 \] 计算 \(\gamma^2\)： \[ \gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2/c^2} = \frac{c^2}{c^2 - v^2} \] 因此： \[ \Delta = c^2(c^2 - v^2)t’^2 + c^2x_0^2 - (c^2 - v^2)\frac{c^2}{c^2 - v^2}c^2x_0^2 \] \[ = c^2(c^2 - v^2)t’^2 + c^2x_0^2 - c^4x_0^2/(c^2 - v^2) \] 看起来这里有问题，让我们重新计算：
实际上，从步骤3得到 \(x_0’ = \gamma c x_0\)，因此： \[ x_0’^2 = \gamma^2 c^2 x_0^2 = \frac{c^4 x_0^2}{c^2 - v^2} \] 代回判别式： \[ \Delta = c^2(c^2 - v^2)t’^2 + c^2x_0^2 - (c^2 - v^2)\frac{c^4 x_0^2}{c^2 - v^2} \] \[ = c^2(c^2 - v^2)t’^2 + c^2x_0^2 - c^4x_0^2 \] \[ = c^2(c^2 - v^2)t’^2 + c^2x_0^2(1 - c^2) \] 这仍然不一致，可能在步骤3的推导中有误。
修正步骤3
从常数项等于0： \[ x_0^2v^2 + (c^2 - v^2)x_0^2 - (c^2 - v^2)x_0’^2 = 0 \] \[ x_0^2(v^2 + c^2 - v^2) = (c^2 - v^2)x_0’^2 \] \[ c^2x_0^2 = (c^2 - v^2)x_0’^2 \] \[ x_0’ = \frac{cx_0}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \gamma x_0 \cdot \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}} \] 看起来这里 \(\gamma\) 的定义需要调整。实际上：
\[ x_0’ = \frac{cx_0}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{x_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma x_0 \]
因此，正确的 \(x_0’\) 是：
\[ x_0’ = \gamma x_0 \]
重新验证
将 \(x_0’ = \gamma x_0\) 代回判别式： \[ \Delta = c^2(c^2 - v^2)t’^2 + c^2x_0^2 - (c^2 - v^2)\gamma^2x_0^2 \] \[ = c^2(c^2 - v^2)t’^2 + c^2x_0^2 - (c^2 - v^2)\frac{x_0^2}{1 - v^2/c^2} \] \[ = c^2(c^2 - v^2)t’^2 + c^2x_0^2 - \frac{(c^2 - v^2)c^2x_0^2}{c^2 - v^2} \] \[ = c^2(c^2 - v^2)t’^2 + c^2x_0^2 - c^2x_0^2 \] \[ = c^2(c^2 - v^2)t’^2 \]
这正是 \((At’)^2\) 的形式，其中 \(A = c\sqrt{c^2 - v^2}\)，验证了我们的解。
最终解
当且仅当： \[ x_0’ = \gamma x_0 = \frac{x_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \] 时，判别式为完全平方： \[ \Delta = [c\sqrt{c^2 - v^2} \cdot t’]^2 \]
此时 \(t\) 的解为： \[ t = \frac{x_0v \pm c\sqrt{c^2 - v^2} \cdot t’}{c^2 - v^2} \]
物理意义
- 长度收缩：\(x_0’ = \gamma x_0\) 是洛伦兹收缩的逆形式，表示在运动方向上长度的相对论效应。
- 时间变换：解给出了 \(t\) 和 \(t’\) 之间的线性关系，符合狭义相对论的时间变换。
- 自洽性：结果与洛伦兹变换一致，验证了相对论时空变换的自洽性。
总结
在严格的数学推导下，我们发现：
- 要使判别式为完全平方 \((At’)^2\)，必须满足 \(x_0’ = \gamma x_0\)。
- 此时 \(A = c\sqrt{c^2 - v^2}\)，\(B = 0\)。
- \(t\) 的解为： \[ t = \frac{x_0v \pm c\sqrt{c^2 - v^2} \cdot t’}{c^2 - v^2} \]
这个结果完全基于给定的方程和数学推导，没有引入额外的物理假设。