在关系式\((ct)^2-x^2=(ct’)^2-x’^2\)中，我们对t求导，得到：
\( c^2 t - x \frac{dx}{dt} = c^2 t’ \frac{dt’}{dt} - x’ \frac{dx’}{dt} \)
在O坐标系看来，x的变换速度是v，也就是 \( \frac{dx}{dt}=v \)，得到：
\( c^2 t - x v = c^2 t’ \frac{dt’}{dt} - x’ \frac{dx’}{dt} \)
此时只要求出\(\frac{dx’}{dt}=0\)，\(\frac{dt’}{dt}=\frac{1}{\gamma} \)，就可以得到：
\( c^2 t - x v = c^2 t’ / \gamma - 0 \)，即：
\( t’=\gamma (t-xv/c^2) \)
此时，重点求：
\( \frac{dx}{dt}=v \)时：
\(\frac{dx’}{dt}=0\)，
\(\frac{dt’}{dt}=\frac{1}{\gamma} \)
我们对前面的式子：
\[ c^2 t - x v = c^2 t’ \frac{dt’}{dt} - x’ \frac{dx’}{dt} \tag{1} \]
再求一次导数,可得：
\( c^2 - v^2 - x \frac{dv}{dt} = c^2 \left[ \left(\frac{dt’}{dt}\right)^2 + t’ \cdot \frac{d^2 t’}{dt^2} \right] - \left[ \left(\frac{dx’}{dt}\right)^2 + x’ \cdot \frac{d^2 x’}{dt^2} \right] \)
我们假设v是常数，t’和t, x’和t都是一次关系，有：
\(\frac{dv}{dt}=0\)，\( d^2t’/dt^2=0\), \(d^2x’/dt^2=0\)，于是上式简化为：
\[ c^2 - v^2 = c^2 (\frac{dt’}{dt})^2 - (\frac{dx’}{dt})^2 \tag{2} \]
物体静止与O’坐标系，x’是和时间无关的，所以：
\(\frac{dx’}{dt}=0\)，于是有：
\(c^2 - v^2 = c^2 (\frac{dt’}{dt})^2 \)
得到：
\(\frac{dt’}{dt} = \sqrt{\frac{c^2 - v^2}{c^2}}=1/\gamma \)
带入上式(1)，得到：
\( c^2 t - x v = c^2 t’ /\gamma \)，即：
\[ t’=\gamma(t-xv/c^2) \]
=== 另一个方法：
使用\((ct)^2-(x_0+vt)^2=(ct’)^2-x_0’^2\)，对t求导，x_0和x_0’为常数，可得：
\(\frac{dt’}{dt} = \frac{(c^2 - v^2)t - v x_0}{c^2 t’}\)
假设\(\frac{dt’}{dt} =1/\gamma \)，可得：
\(t = \gamma(t’ + \frac{v x_0}{c^2}/\gamma) \), 假设\(x’_0=x_0/\gamma\)，得到：
\(t = \gamma(t’ + \frac{v x’_0}{c^2}) \)
所以，重点是求:
\(x’=x_0\)，对应\(x=x_0+vt\)时：
\(\frac{dt}{dt’}=\gamma \)
\(x_0=\gamma x’_0 \)