双曲函数（Hyperbolic Functions）是与三角函数类似的一类函数，但在定义上基于双曲线而非单位圆。它们在数学、物理和工程中有广泛应用，尤其在描述双曲线几何、悬链线、热传导等领域。以下是主要的双曲函数及其性质：
1. 基本双曲函数
- 双曲正弦（Hyperbolic Sine）
\[ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \] - 双曲余弦（Hyperbolic Cosine）
\[ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \] - 双曲正切（Hyperbolic Tangent）
\[ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \] - 双曲余切、正割、余割
\[ \coth x = \frac{1}{\tanh x}, \quad \sech x = \frac{1}{\cosh x}, \quad \csch x = \frac{1}{\sinh x} \]
2. 与三角函数的关系
双曲函数与三角函数在形式上相似，但符号不同（部分公式通过虚数单位 \(i\) 关联）：
- \(\sinh x = -i \sin(ix)\)
- \(\cosh x = \cos(ix)\)
- \(\tanh x = -i \tan(ix)\)
3. 恒等式
- 基本恒等式
\[ \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \] （类比于三角函数的 \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)） - 和角公式
\[ \sinh(x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y \] \[ \cosh(x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y \]
4. 导数和积分
- 导数
\[ \frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x, \quad \frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x \] \[ \frac{d}{dx} \tanh x = \sech^2 x \] - 积分
\[ \int \sinh x , dx = \cosh x + C, \quad \int \cosh x , dx = \sinh x + C \]
5. 反双曲函数
通过自然对数表示：
- 反双曲正弦
\[ \arsinh x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \] - 反双曲余弦
\[ \arcosh x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \quad (x \geq 1) \] - 反双曲正切
\[ \artanh x = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \quad (|x| < 1) \]
6. 应用场景
- 悬链线问题：悬链线的形状由 \(\cosh x\) 描述。
- 相对论：双曲函数用于描述洛伦兹变换中的快度（rapidity）。
- 积分计算：某些积分可通过双曲代换简化。
示例
计算 \(\cosh(2x)\) 的表达式：
利用和角公式：
\[
\cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1
\]
如果需要更具体的解释或应用示例，可以进一步探讨！
双曲函数与洛伦兹变换的深层联系
双曲函数（\(\cosh \phi, \sinh \phi\)）在狭义相对论中扮演着核心角色，它们与洛伦兹变换的关系类似于三角函数与欧几里得旋转的关系。下面我们详细探讨它们的性质、几何意义，以及如何自然地导出洛伦兹变换。
1. 双曲函数的定义
双曲函数是指数函数的组合： \[ \cosh \phi = \frac{e^\phi + e^{-\phi}}{2}, \quad \sinh \phi = \frac{e^\phi - e^{-\phi}}{2} \] 它们满足恒等式： \[ \cosh^2 \phi - \sinh^2 \phi = 1 \] 这与三角函数的 \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\) 类似，但符号不同，反映了双曲几何的特性。
2. 双曲函数与闵可夫斯基时空
在狭义相对论中，时空坐标 \((ct, x)\) 构成闵可夫斯基空间，其“距离”（时空间隔）定义为： \[ s^2 = (ct)^2 - x^2 \] 要保持这个间隔不变，我们需要双曲旋转（Lorentz boost），而不是普通的旋转。
双曲旋转（Lorentz Boost）
设参考系 \(S’\) 以速度 \(v\) 沿 \(x\) 方向运动，其坐标变换可以写成： \[ ct’ = ct \cosh \phi - x \sinh \phi \] \[ x’ = -ct \sinh \phi + x \cosh \phi \] 其中 \(\phi\) 是快度（rapidity），与速度 \(v\) 的关系为： \[ \tanh \phi = \frac{v}{c} \]
3. 为什么双曲函数适用于洛伦兹变换？
(1) 保持时空间隔不变
代入变换后： \[ (ct’)^2 - (x’)^2 = (ct)^2 \cosh^2 \phi - 2ctx \cosh \phi \sinh \phi + x^2 \sinh^2 \phi - \left[ c^2 t^2 \sinh^2 \phi - 2ctx \sinh \phi \cosh \phi + x^2 \cosh^2 \phi \right] \] 整理后： \[ (ct’)^2 - (x’)^2 = c^2 t^2 (\cosh^2 \phi - \sinh^2 \phi) - x^2 (\cosh^2 \phi - \sinh^2 \phi) \] 由于 \(\cosh^2 \phi - \sinh^2 \phi = 1\)，所以： \[ (ct’)^2 - (x’)^2 = (ct)^2 - x^2 \] 结论：双曲旋转保持时空间隔不变。
(2) 与速度 \(v\) 的关系
在 \(S’\) 系的原点 \(x’ = 0\)，我们有： \[ x’ = -ct \sinh \phi + x \cosh \phi = 0 \implies x = ct \tanh \phi \] 但 \(x = vt\)（因为 \(S’\) 以速度 \(v\) 运动），所以： \[ \tanh \phi = \frac{v}{c} \] 由此可以解出： \[ \cosh \phi = \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2 \phi}} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma \] \[ \sinh \phi = \tanh \phi \cosh \phi = \frac{v/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma \frac{v}{c} \] 这样，洛伦兹变换可以写成： \[ ct’ = \gamma (ct - \frac{v}{c} x) \] \[ x’ = \gamma (x - v t) \]
4. 双曲函数的几何意义
(1) 双曲旋转 vs 欧几里得旋转
-
欧几里得旋转（普通空间）： \[ x’ = x \cos \theta - y \sin \theta \] \[ y’ = x \sin \theta + y \cos \theta \] 保持 \(x^2 + y^2\) 不变。
-
双曲旋转（闵可夫斯基时空）： \[ ct’ = ct \cosh \phi - x \sinh \phi \] \[ x’ = -ct \sinh \phi + x \cosh \phi \] 保持 \((ct)^2 - x^2\) 不变。
(2) 快度 \(\phi\) 的物理意义
- 在经典力学中，速度可以直接相加 \(v = v_1 + v_2\)。
- 在相对论中，速度合成遵循双曲加法： \[ \phi = \phi_1 + \phi_2 \implies v = c \tanh(\phi_1 + \phi_2) \] 这使得光速 \(c\) 成为速度上限。
5. 总结
- 双曲函数 \(\cosh \phi, \sinh \phi\) 是洛伦兹变换的自然表达，类似于欧几里得旋转中的三角函数。
- 快度 \(\phi\) 与速度 \(v\) 的关系： \[ \tanh \phi = \frac{v}{c}, \quad \phi = \tanh^{-1}\left(\frac{v}{c}\right) \]
- 洛伦兹变换可以写成双曲旋转形式： \[ \begin{cases} ct’ = ct \cosh \phi - x \sinh \phi \ x’ = -ct \sinh \phi + x \cosh \phi \end{cases} \]
- 双曲函数保证时空间隔不变，并自然地导出相对论的速度合成法则。
最终结论
双曲函数 \(\cosh \phi\) 和 \(\sinh \phi\) 是描述洛伦兹变换最自然的数学工具，它们揭示了狭义相对论背后的双曲几何结构，并完美地解释了为什么光速 \(c\) 是速度上限。