1. 驻波的数学表达
驻波的典型数学表达式为： \[ y(x,t) = 2A \cos(kx) \cos(\omega t) \] 其中：
- \( k \) 是波数，\( \omega \) 是角频率，
- \( \cos(kx) \) 是空间依赖项，决定波节（节点）和波腹的位置，
- \( \cos(\omega t) \) 是时间依赖项，决定振幅随时间的变化。
分离性：该表达式明确显示了驻波是空间函数 \( \cos(kx) \) 和时间函数 \( \cos(\omega t) \) 的乘积，即空间和时间变量被分离为独立的因子。
2. 空间特性
- 波节与波腹：驻波的波节（振幅始终为零的点）和波腹（振幅最大的点）的位置由空间项 \( \cos(kx) \) 决定，且这些位置在时间上固定不变。
- 空间分布：振幅的包络 \( 2A \cos(kx) \) 是静态的，仅由位置 \( x \) 决定。
3. 时间特性
- 振动相位：所有非节点位置的质点同步振动（相位相同或相反），时间项 \( \cos(\omega t) \) 控制整体振动的周期性变化。
- 能量存储：驻波的能量在空间上交替存储于动能和势能中，但无净能流（与行波不同）。
4. 与行波的对比
- 行波：行波的表达式为 \( y(x,t) = A \cos(kx \mp \omega t) \)，空间和时间变量耦合在一起，表现为波形的传播。
- 驻波：空间和时间变量分离，波形不传播，能量局域化。
5. 特殊情况与扩展
- 非理想驻波：若两列波的振幅不等或频率不完全相同，可能形成部分驻波（partial standing wave），此时空间和时间的分离性会减弱。
- 复杂系统：在非线性介质或边界条件复杂的情况下（如振动弦的非均匀密度），驻波可能表现出更复杂的时空耦合。
结论
典型的理想驻波是空间和时间分离的，其空间分布（波节/波腹）和时间振动（同步振荡）可以独立描述。这一特性是驻波区别于行波的核心特征之一。但在非理想条件下，分离性可能不严格成立。