自由粒子的薛定谔方程解可以通过以下步骤推导和分析：
1. 自由粒子的薛定谔方程
对于质量为 \( m \)不受外力作用的自由粒子，定态薛定谔方程为： \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) \] 其中：
- \( \hbar \) 是约化普朗克常数，
- \( \psi(\mathbf{r}) \) 是波函数，
- \( E \) 是能量本征值，
- \( \nabla^2 \) 是拉普拉斯算符（在三维空间中为 \( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \)）。
2. 平面波解
方程的解是平面波形式： \[ \psi(\mathbf{r}) = A e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \] 其中：
- \( \mathbf{k} \) 是波矢，方向沿粒子动量方向，
- \( \mathbf{r} \) 是位置矢量，
- \( A \) 是归一化常数。
验证：
将平面波代入薛定谔方程： \[ \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) = -k^2 \psi(\mathbf{r}), \quad \text{其中} \quad k^2 = |\mathbf{k}|^2 \] 因此： \[ -\frac{\hbar^2}{2m} (-k^2 \psi) = E \psi \implies \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = E \] 这表明平面波确实是解，且能量为： \[ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \]
3. 物理意义
- 动量与波矢关系：德布罗意关系给出动量 \( \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} \)，因此能量也可写为 \( E = \frac{p^2}{2m} \)。
- 波函数性质：
- 平面波的模方 \( |\psi|^2 = |A|^2 \) 是常数，表示粒子在空间各处出现的概率均匀分布（非物理的严格解，需叠加为波包）。
- 平面波是动量算符的本征态，对应确定动量 \( \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} \)。
4. 时间依赖解
含时薛定谔方程的解为： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = A e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \] 其中 \( \omega = \frac{E}{\hbar} = \frac{\hbar k^2}{2m} \)。
5. 归一化问题
平面波在无限空间中无法直接归一化（\( \int |\psi|^2 d\mathbf{r} \) 发散）。通常采用两种处理方式：
- 箱归一化：假设粒子在有限体积 \( V \) 中，取 \( A = \frac{1}{\sqrt{V}} \)。
- 波包叠加：构造局域化的波包 \( \Psi(\mathbf{r}, t) = \int \phi(\mathbf{k}) e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} d\mathbf{k} \)，其中 \( \phi(\mathbf{k}) \) 是动量空间分布函数。
6. 一维情况
在一维空间中，解简化为： \[ \psi(x) = A e^{i k x} + B e^{-i k x} \] 对应向右（\( +k \)）和向左（\( -k \)）传播的平面波，能量均为 \( E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \)。
总结
自由粒子的解是平面波，具有确定的动量和能量，但需通过波包或归一化技巧处理其物理意义。
\[ \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} \]
即：
\[ \mathbf{k} = \frac{\mathbf{p}}{\hbar} \]
因此，自由粒子的 薛定谔方程解（平面波解）可以改写为：
1. 定态薛定谔方程的解（用 \( \mathbf{p} \) 表示）
\[ \psi(\mathbf{r}) = A e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} = A e^{i \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{\hbar}} \]
2. 能量关系
薛定谔方程给出： \[ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \] 代入 \( \mathbf{k} = \frac{\mathbf{p}}{\hbar} \)，得到： \[ E = \frac{p^2}{2m} \] 这与经典自由粒子的动能一致。
3. 含时薛定谔方程的解
含时波函数为： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = A e^{i \left( \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{\hbar} - \omega t \right)} \] 其中角频率 \( \omega \) 由 \( E = \hbar \omega \) 给出： \[ \omega = \frac{E}{\hbar} = \frac{p^2}{2m \hbar} \] 因此，完整解为： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = A e^{i \left( \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{\hbar} - \frac{p^2 t}{2m \hbar} \right)} \]
4. 一维情况
如果考虑一维自由粒子（沿 \( x \) 方向运动），波函数为： \[ \psi(x) = A e^{i \frac{p x}{\hbar}} + B e^{-i \frac{p x}{\hbar}} \] 其中：
- \( A e^{i \frac{p x}{\hbar}} \) 表示向右运动的粒子（动量 \( +p \)），
- \( B e^{-i \frac{p x}{\hbar}} \) 表示向左运动的粒子（动量 \( -p \)）。
5. 归一化问题
由于平面波在无限空间中无法归一化（\( \int |\psi|^2 , d\mathbf{r} \) 发散），通常采用：
- 箱归一化（Box normalization）：假设粒子在边长为 \( L \) 的立方体中，取 \( A = \frac{1}{\sqrt{L^3}} \)（三维）或 \( A = \frac{1}{\sqrt{L}} \)（一维）。
- 波包表示：叠加不同动量的平面波，构造局域化的波函数： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = \int \phi(\mathbf{p}) e^{i \left( \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{\hbar} - \frac{p^2 t}{2m \hbar} \right)} , d\mathbf{p} \] 其中 \( \phi(\mathbf{p}) \) 是动量空间的波包分布函数。
总结
自由粒子的薛定谔方程解用动量 \( \mathbf{p} \) 表示为： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = A e^{i \left( \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{\hbar} - \frac{p^2 t}{2m \hbar} \right)} \]
- 物理意义：该解对应 确定动量 \( \mathbf{p} \) 的状态，但空间概率密度 \( |\Psi|^2 = |A|^2 \) 均匀分布（需波包描述实际粒子）。
- 能量：\( E = \frac{p^2}{2m} \)，与经典自由粒子一致。
1. 定态薛定谔方程
考虑 时间无关的薛定谔方程（定态方程）： \[ \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V \right] \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) \] 其中 \( V = m_0 c^2 \)，代入得： \[ \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + m_0 c^2 \right] \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) \] 可以重新整理为： \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) = (E - m_0 c^2) \psi(\mathbf{r}) \] 令： \[ E’ = E - m_0 c^2 \] 则方程变为： \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) = E’ \psi(\mathbf{r}) \] 这与 自由粒子薛定谔方程 的形式完全相同，只是能量零点移动了 \( m_0 c^2 \)。
2. 平面波解
该方程的解仍然是 平面波： \[ \psi(\mathbf{r}) = A e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \] 其中波矢 \( \mathbf{k} \) 满足： \[ E’ = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \] 即： \[ E - m_0 c^2 = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \] 因此，总能量 \( E \) 为： \[ E = m_0 c^2 + \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \] 这表示：
- \( m_0 c^2 \) 是静能（势能贡献），
- \( \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \) 是动能部分。
3. 含时薛定谔方程的解
含时薛定谔方程： \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + m_0 c^2 \right] \Psi(\mathbf{r}, t) \] 其解为： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = \psi(\mathbf{r}) e^{-i \frac{E}{\hbar} t} = A e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \] 其中： \[ \omega = \frac{E}{\hbar} = \frac{m_0 c^2}{\hbar} + \frac{\hbar k^2}{2m} \] 可以看出：
- \( \frac{m_0 c^2}{\hbar} \) 是静能对应的频率（类似“零点振动”），
- \( \frac{\hbar k^2}{2m} \) 是动能贡献的频率。
4. 物理意义
- 能量关系：
\[
E = m_0 c^2 + \frac{p^2}{2m}
\]
其中 \( \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} \)。这表明：
- \( m_0 c^2 \) 是静能（即使粒子静止也存在），
- \( \frac{p^2}{2m} \) 是非相对论动能。
- 波函数：
- 仍然是平面波，但总能量包含静能项。
- 如果 \( V = m_0 c^2 \) 是全局常数，它不会影响粒子的运动（因为只有能量差才有物理意义）。
5. 归一化
由于 \( V \) 是常数，归一化方式与自由粒子相同：
- 箱归一化（Box normalization）： \[ \psi(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{V}} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \] 其中 \( V \) 是归一化体积。
- 波包表示（更物理）： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = \int \phi(\mathbf{k}) e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} , d\mathbf{k} \] 其中 \( \omega = \frac{m_0 c^2}{\hbar} + \frac{\hbar k^2}{2m} \)。
6. 特殊情况讨论
(1) 零动能（\( \mathbf{k} = 0 \)）
如果粒子静止（\( \mathbf{p} = 0 \)），则： \[ E = m_0 c^2 \] 波函数为： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = A e^{-i \frac{m_0 c^2}{\hbar} t} \] 这表示一个静止粒子，仅具有静能 \( m_0 c^2 \)。
(2) 相对论修正
严格来说，\( m_0 c^2 \) 是 相对论静能，但薛定谔方程是非相对论的。如果考虑 相对论量子力学（如 Klein-Gordon 方程或 Dirac 方程），静能项会自动出现，而这里我们只是人为加入了一个常数势能。
总结
对于 \( V = m_0 c^2 \) 的薛定谔方程：
- 定态解 仍然是平面波： \[ \psi(\mathbf{r}) = A e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \]
- 能量 包含静能项： \[ E = m_0 c^2 + \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \]
- 含时解 为： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = A e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}, \quad \omega = \frac{m_0 c^2}{\hbar} + \frac{\hbar k^2}{2m} \]
- 物理意义：
- \( m_0 c^2 \) 是静能，不影响动力学（因为它是常数）。
- 粒子的运动仍然由动能部分 \( \frac{p^2}{2m} \) 决定。
这个解表明，加入一个全局常数势能 \( V = m_0 c^2 \) 不会改变粒子的运动状态，只是整体移动了能量零点。
1. 能量与频率关系
在之前的解中，总能量 \( E \) 和角频率 \( \omega \) 的关系为： \[ E = \hbar \omega = m_0 c^2 + \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \] 因此： \[ \omega = \frac{m_0 c^2}{\hbar} + \frac{\hbar k^2}{2m} \]
2. 计算 \( \frac{\omega}{k} \)
相速度定义为： \[ v_p = \frac{\omega}{k} \] 代入 \( \omega \) 的表达式： \[ v_p = \frac{ \frac{m_0 c^2}{\hbar} + \frac{\hbar k^2}{2m} }{k} = \frac{m_0 c^2}{\hbar k} + \frac{\hbar k}{2m} \]
(1) 物理意义
-
第一项 \( \frac{m_0 c^2}{\hbar k} \)：
由静能 \( m_0 c^2 \) 贡献，当 \( k \to 0 \)（长波长极限），此项主导，\( v_p \to \infty \)，表示静能使相位传播极快（但无实际物理效应，因为静能不携带信息）。 -
第二项 \( \frac{\hbar k}{2m} \)：
来自动能部分，与自由粒子的经典相速度一致（见下文对比）。
(2) 对比自由粒子（\( V = 0 \)）
若 \( V = 0 \)，则 \( \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} \)，相速度为： \[ v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m} = \frac{p}{2m} \] 其中 \( p = \hbar k \)。这与经典自由粒子的 相速度 一致（但经典粒子的群速度 \( v_g = \frac{p}{m} \) 才是物理速度）。
3. 群速度 \( v_g \)（物理速度）
群速度描述波包的传播速度，由 \( v_g = \frac{d\omega}{dk} \) 给出： \[ v_g = \frac{d}{dk} \left( \frac{m_0 c^2}{\hbar} + \frac{\hbar k^2}{2m} \right) = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} \] 这与经典动量-速度关系一致，说明：
- 群速度 \( v_g \) 是粒子的实际运动速度。
- 相速度 \( v_p \) 仅描述相位变化，可能超光速（但无物理意义）。
4. 特殊情况讨论
(1) 零动量（\( k \to 0 \)）
- 当 \( k \to 0 \)，\( v_p \to \infty \)，但 \( v_g \to 0 \)（粒子静止）。
- 静能 \( m_0 c^2 \) 导致相速度发散，但群速度正确反映静止状态。
(2) 高动量（\( k \gg 0 \)）
- 动能主导，\( v_p \approx \frac{\hbar k}{2m} \)，\( v_g \approx \frac{\hbar k}{m} \)。
- 相速度是群速度的一半，与自由粒子一致。
5. 相对论对比（Klein-Gordon 方程）
若考虑相对论量子力学（Klein-Gordon 方程），频率与波矢的关系为： \[ \omega^2 = c^2 k^2 + \frac{m_0^2 c^4}{\hbar^2} \] 此时相速度为： \[ v_p = \frac{\omega}{k} = c \sqrt{1 + \frac{m_0^2 c^2}{\hbar^2 k^2}} \geq c \] 群速度为： \[ v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{c^2 k}{\omega} \leq c \] 说明：
- 在相对论情况下，相速度可超光速，但群速度不会。
- 非相对论薛定谔方程（本文情况）是低能近似，不适用于高能粒子。
总结
对于 \( V = m_0 c^2 \) 的薛定谔方程解：
-
相速度： \[ v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{m_0 c^2}{\hbar k} + \frac{\hbar k}{2m} \]
- 静能项导致 \( k \to 0 \) 时 \( v_p \to \infty \)（无物理意义）。
- 动能项与非相对论自由粒子一致（\( v_p = \frac{p}{2m} \)）。
-
群速度： \[ v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} \]
- 始终对应经典粒子速度，是物理可观测量。
-
关键区别：
- 相速度描述相位传播，可能超光速。
- 群速度描述能量/信息传播，必须 ≤ \( c \)（在相对论理论中）。
1. 经典哈密顿量 → 量子哈密顿量
(1) 经典带电粒子在电磁场中的哈密顿量
一个电荷为 \( q \)、质量为 \( m \) 的粒子在电磁场中的经典哈密顿量为： \[ H = \frac{1}{2m} (\mathbf{p} - q \mathbf{A})^2 + q \phi \] 其中：
- \( \mathbf{A} \) 是磁矢势（\( \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \)），
- \( \phi \) 是电势（\( \mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \)），
- \( \mathbf{p} \) 是正则动量（不是机械动量）。
(2) 量子化哈密顿量
在量子力学中，正则动量 \( \mathbf{p} \) 替换为算符 \( -i \hbar \nabla \)，因此哈密顿算符为： \[ \hat{H} = \frac{1}{2m} (-i \hbar \nabla - q \mathbf{A})^2 + q \phi \]
2. 运动电荷的薛定谔方程
将哈密顿算符代入薛定谔方程 \( i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H} \Psi \)，得到： \[ i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} (-i \hbar \nabla - q \mathbf{A})^2 + q \phi \right] \Psi \]
展开动能项
展开 \( (-i \hbar \nabla - q \mathbf{A})^2 \)： \[ (-i \hbar \nabla - q \mathbf{A})^2 = -\hbar^2 \nabla^2 + i \hbar q (\nabla \cdot \mathbf{A} + \mathbf{A} \cdot \nabla) + q^2 A^2 \] 因此，薛定谔方程可写为： \[ i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left[ \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 + \frac{i \hbar q}{2m} (\nabla \cdot \mathbf{A} + \mathbf{A} \cdot \nabla) + \frac{q^2}{2m} A^2 + q \phi \right] \Psi \]
3. 规范不变性（Gauge Invariance）
薛定谔方程在电磁场中必须满足 规范不变性，即物理结果不依赖于 \( \mathbf{A} \) 和 \( \phi \) 的具体选择。如果做规范变换： \[ \mathbf{A}’ = \mathbf{A} + \nabla \chi, \quad \phi’ = \phi - \frac{\partial \chi}{\partial t} \] 波函数需相应变换： \[ \Psi’ = \Psi e^{i \frac{q}{\hbar} \chi} \] 可以验证，变换后的波函数 \( \Psi’ \) 满足相同形式的薛定谔方程。
4. 特殊情况讨论
(1) 恒定磁场（\( \phi = 0 \)，\( \mathbf{A} \) 静磁）
若磁场 \( \mathbf{B} = B \hat{z} \) 恒定，选择 朗道规范（Landau gauge） \( \mathbf{A} = (-B y, 0, 0) \)，则薛定谔方程为： \[ i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left[ \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 + \frac{i \hbar q B y}{m} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{q^2 B^2 y^2}{2m} \right] \Psi \] 解为 朗道能级（Landau levels），对应量子霍尔效应中的电子态。
(2) 恒定电场（\( \mathbf{A} = 0 \)，\( \phi = -E x \)）
若电场 \( \mathbf{E} = E \hat{x} \)，则： \[ i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left[ \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 - q E x \right] \Psi \] 解为 Airy 函数，描述电场中的量子隧穿（Stark effect）。
5. 概率流密度（含电磁场）
概率流密度 \( \mathbf{J} \) 需修正为： \[ \mathbf{J} = \frac{\hbar}{2m i} (\Psi^* \nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*) - \frac{q}{m} \mathbf{A} |\Psi|^2 \] 其中：
- 第一项是自由粒子的概率流，
- 第二项是电磁场贡献的 规范流。
6. 相对论修正（Dirac 方程）
若电荷运动接近光速，需使用 Dirac 方程： \[ (i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - q \gamma^\mu A_\mu - m c) \Psi = 0 \] 其中 \( \gamma^\mu \) 是狄拉克矩阵，\( A_\mu = (\phi/c, \mathbf{A}) \)。
总结
运动电荷的薛定谔方程为： \[ i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} (-i \hbar \nabla - q \mathbf{A})^2 + q \phi \right] \Psi \] 关键点：
- 电磁场通过 \( \mathbf{A} \) 和 \( \phi \) 耦合。
- 规范不变性 要求波函数相位随规范变换调整。
- 恒定磁场解对应朗道能级，恒定电场解对应 Airy 函数。
- 概率流密度需额外修正以保持守恒。
用最小作用量原理推导薛定谔方程
最小作用量原理是物理学中的核心方法之一，它通过变分法导出运动方程。我们可以用它来推导 薛定谔方程，具体步骤如下：
1. 构造拉格朗日量（Lagrangian）
在量子力学中，薛定谔方程可以通过 复标量场 \(\Psi(\mathbf{r}, t)\) 的拉格朗日量来描述。我们选择如下形式的拉氏密度（Lagrangian density）：
\[ \mathcal{L} = i \hbar \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} - \frac{\hbar^2}{2m} (\nabla \Psi^*) (\nabla \Psi) - V(\mathbf{r}, t) \Psi^* \Psi \]
其中：
- 第一项 \( i \hbar \Psi^* \partial_t \Psi \) 描述时间演化（类比经典力学中的 \( p \dot{q} \)），
- 第二项 \( -\frac{\hbar^2}{2m} |\nabla \Psi|^2 \) 代表动能项（类比 \( \frac{p^2}{2m} \)），
- 第三项 \( -V \Psi^* \Psi \) 是势能项。
2. 作用量（Action）的定义
作用量 \( S \) 是拉格朗日密度的时空积分： \[ S[\Psi, \Psi^*] = \int \mathcal{L} , d^3 \mathbf{r} , dt = \int \left[ i \hbar \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla \Psi^* \cdot \nabla \Psi - V \Psi^* \Psi \right] d^3 \mathbf{r} , dt \]
3. 最小作用量原理（变分法）
根据最小作用量原理，真实的波函数 \(\Psi\) 和 \(\Psi^*\) 应使作用量 \( S \) 取极值（\(\delta S = 0\)）。我们分别对 \(\Psi^*\) 和 \(\Psi\) 做变分：
(1) 对 \(\Psi^*\) 变分（导出薛定谔方程）
令 \(\Psi^* \rightarrow \Psi^* + \delta \Psi^*\)，并计算 \(\delta S\)： \[ \delta S = \int \left[ i \hbar \delta \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla \delta \Psi^* \cdot \nabla \Psi - V \delta \Psi^* \Psi \right] d^3 \mathbf{r} , dt \] 利用分部积分（边界项消失），得到： \[ \delta S = \int \delta \Psi^* \left[ i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} + \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi - V \Psi \right] d^3 \mathbf{r} , dt = 0 \] 由于 \(\delta \Psi^*\) 任意，故被积函数必须为零： \[ i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V \Psi \] 这正是 薛定谔方程！
(2) 对 \(\Psi\) 变分（导出复共轭方程）
类似地，令 \(\Psi \rightarrow \Psi + \delta \Psi\)，得到： \[ -i \hbar \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi^* + V \Psi^* \] 这是薛定谔方程的复共轭形式，保证概率守恒。
4. 物理意义
- 拉格朗日量方法 将薛定谔方程视为 经典场论方程，类似于麦克斯韦方程或 Klein-Gordon 方程。
- 作用量极值 要求波函数满足薛定谔方程，类似于经典力学中粒子轨迹满足欧拉-拉格朗日方程。
- 规范对称性 可通过拉格朗日量进一步分析（如电磁场耦合时的规范不变性）。
5. 推广到电磁场中的带电粒子
若粒子电荷为 \( q \)，在外电磁场 \( (\mathbf{A}, \phi) \) 中，拉格朗日量需修改为： \[ \mathcal{L} = i \hbar \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} - \frac{1}{2m} \left| (-i \hbar \nabla - q \mathbf{A}) \Psi \right|^2 - q \phi \Psi^* \Psi \] 通过变分法可导出 含电磁场的薛定谔方程： \[ i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} (-i \hbar \nabla - q \mathbf{A})^2 + q \phi \right] \Psi \]
总结
通过最小作用量原理推导薛定谔方程的步骤：
- 构造合适的拉格朗日密度 \(\mathcal{L}\)（含动能、势能和时间演化项）。
- 定义作用量 \( S = \int \mathcal{L} , d^3 \mathbf{r} , dt \)。
- 对 \(\Psi^*\) 变分，令 \(\delta S = 0\)，得到薛定谔方程。
- 对 \(\Psi\) 变分，得到复共轭方程（保证概率守恒）。
此方法不仅适用于自由粒子，还可推广至电磁场、相对论量子力学（Dirac 方程）等更复杂情况。
为什么选择这样的拉格朗日密度函数？
在通过最小作用量原理推导薛定谔方程时，我们选择的拉格朗日密度（Lagrangian density）形式并非随意设定，而是基于 量子力学的基本原理 和 经典力学的对应关系。以下是详细解释：
1. 拉格朗日量的核心要求
拉格朗日量（或拉氏密度）的构造需要满足以下条件：
- 能导出正确的运动方程（即薛定谔方程）。
- 保证概率守恒（即波函数的归一性 \( \int |\Psi|^2 d^3\mathbf{r} = 1 \) 不随时间变化）。
- 具有规范不变性（如果存在电磁场，拉氏量应在规范变换下保持不变）。
- 与经典力学对应（在经典极限下能回归哈密顿力学）。
2. 拉格朗日密度的构造思路
我们选择的拉氏密度形式为： \[ \mathcal{L} = i \hbar \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} - \frac{\hbar^2}{2m} (\nabla \Psi^*) (\nabla \Psi) - V \Psi^* \Psi \] 其中各项的物理意义和来源如下：
(1) 时间演化项：\( i \hbar \Psi^* \partial_t \Psi \)
- 类比经典力学的 \( p \dot{q} \)
在经典力学中，拉格朗日量通常包含 \( p \dot{q} \)（广义动量 × 广义速度）。在量子力学中，波函数的相位变化对应“运动”，因此引入 \( \Psi^* \partial_t \Psi \) 描述时间演化。 - 保证概率守恒
这一项的虚数单位 \( i \) 和系数 \( \hbar \) 的选取，使得变分后能导出 \( i \hbar \partial_t \Psi \)，从而满足概率流连续性方程（见下文）。
(2) 动能项：\( -\frac{\hbar^2}{2m} |\nabla \Psi|^2 \)
- 对应经典动能 \( \frac{p^2}{2m} \)
在量子力学中，动量算符 \( \hat{p} = -i \hbar \nabla \)，因此动能算符为 \( \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \)。
拉氏量中的 \( |\nabla \Psi|^2 \) 正是为了在变分后产生 \( \nabla^2 \Psi \) 项。 - 空间导数的平方形式
这种形式保证了方程的局域性（仅依赖场及其一阶导数），并满足洛伦兹协变性（虽然在非相对论量子力学中不严格要求）。
(3) 势能项：\( -V \Psi^* \Psi \)
- 经典势能的量子对应
势能 \( V \) 是位置相关的能量，量子力学中表现为 \( V |\Psi|^2 \)，即势能加权概率密度。 - 保证薛定谔方程的势能项
变分后直接得到 \( V \Psi \)。
3. 为什么不能缺少某一项？
如果拉氏量中缺少某一项，会导致：
-
缺少 \( i \hbar \Psi^* \partial_t \Psi \)
- 无法导出时间导数项 \( i \hbar \partial_t \Psi \)，方程退化为静态（与时间无关）。
- 破坏概率守恒（见下文）。
-
缺少 \( |\nabla \Psi|^2 \)
- 无法导出动能项 \( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi \)，粒子失去“运动”自由度。
-
缺少 \( V \Psi^* \Psi \)
- 无法描述外场作用，方程仅适用于自由粒子。
4. 概率守恒的保证
薛定谔方程要求概率密度 \( \rho = |\Psi|^2 \) 满足连续性方程： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0, \quad \mathbf{J} = \frac{\hbar}{2m i} (\Psi^* \nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*) \] 这一守恒律的成立，直接依赖于拉氏量中 时间演化项 \( i \hbar \Psi^* \partial_t \Psi \) 和 动能项的对称形式。如果拉氏量形式不正确，概率守恒会被破坏。
5. 与经典力学的类比
在经典力学中，拉格朗日量为 \( L = T - V \)（动能减势能）。而在量子场论中：
- \( \frac{\hbar^2}{2m} |\nabla \Psi|^2 \) 类比“动能”，
- \( V |\Psi|^2 \) 类比“势能”，
- \( i \hbar \Psi^* \partial_t \Psi \) 是量子特有的“时间演化项”，确保相位动力学。
6. 规范不变性（电磁场情况）
如果加入电磁场，拉氏量需修改为： \[ \mathcal{L} = i \hbar \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} - \frac{1}{2m} \left| (-i \hbar \nabla - q \mathbf{A}) \Psi \right|^2 - q \phi |\Psi|^2 \] 这种形式在规范变换 \( \mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla \chi \)、\( \phi \to \phi - \partial_t \chi \)、\( \Psi \to \Psi e^{i q \chi / \hbar} \) 下保持不变，体现了物理规律的规范不变性。
总结
选择的拉格朗日密度： \[ \mathcal{L} = i \hbar \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} - \frac{\hbar^2}{2m} |\nabla \Psi|^2 - V |\Psi|^2 \] 是基于以下原则：
- 变分后能正确导出薛定谔方程（含时间导数、动能、势能项）。
- 保证概率守恒（连续性方程成立）。
- 与经典力学对应（动能、势能的自然推广）。
- 可推广至电磁场（规范不变性）。
这种构造是量子力学与经典场论结合的典范，体现了最小作用量原理的普适性。
1. 自由粒子的薛定谔方程
自由粒子（势能 \( V = 0 \)）的薛定谔方程为： \[ i \hbar \frac{\partial \Psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi(\mathbf{r}, t) \]
2. 平面波解
该方程的解是 平面波，形式为： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = A e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \] 其中：
- \( A \) 是归一化常数，
- \( \mathbf{k} \) 是波矢（\( \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} \)），
- \( \omega = \frac{E}{\hbar} = \frac{\hbar k^2}{2m} \)（由色散关系确定）。
3. 复共轭解
取该波函数的复共轭： \[ \Psi^*(\mathbf{r}, t) = A^* e^{-i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \] 它满足 薛定谔方程的复共轭形式： \[ -i \hbar \frac{\partial \Psi^*(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi^*(\mathbf{r}, t) \]
4. 物理意义
- \( \Psi \) 描述动量为 \( \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} \)、能量为 \( E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \) 的粒子。
- \( \Psi^* \) 描述 相同动量但相位相反 的状态（在量子场论中可能对应反粒子，但在非相对论量子力学中仅数学意义）。
5. 概率密度与流
- 概率密度： \[ \rho = |\Psi|^2 = \Psi^* \Psi = |A|^2 \] 是常数（平面波无法直接归一化，需用波包）。
- 概率流密度： \[ \mathbf{J} = \frac{\hbar}{2m i} (\Psi^* \nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*) = \frac{\hbar \mathbf{k}}{m} |A|^2 = \mathbf{v} |A|^2 \] 其中 \( \mathbf{v} = \frac{\mathbf{p}}{m} \) 是经典速度。
6. 归一化问题
平面波在无限空间中无法归一化（\( \int |\Psi|^2 d^3\mathbf{r} \) 发散），通常采用：
- 箱归一化：假设粒子在有限体积 \( V \) 中，取 \( A = \frac{1}{\sqrt{V}} \)。
- 波包表示：叠加不同动量的平面波： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = \int \phi(\mathbf{k}) e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} d^3\mathbf{k} \] 其中 \( \phi(\mathbf{k}) \) 是动量空间波包。
7. 含电磁场的推广
若粒子带电（电荷 \( q \)）且在电磁场中，平面波解需修正为： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = A e^{i \left( \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{\hbar} - \frac{E t}{\hbar} + \frac{q}{\hbar} \chi(\mathbf{r}, t) \right)} \] 其中 \( \chi \) 是规范函数（保证规范不变性）。
总结
自由粒子的解及其复共轭： \[ \Psi = A e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}, \quad \Psi^* = A^* e^{-i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \]
- 两者分别满足薛定谔方程及其复共轭方程。
- 复共轭解在非相对论量子力学中无新物理，但在量子场论中可能对应反粒子。
将自由粒子平面波解代入拉格朗日密度公式
我们首先回顾自由粒子的 拉格朗日密度（Lagrangian density），然后代入平面波解 \( \Psi \) 及其复共轭 \( \Psi^* \)，计算各项的贡献。
1. 自由粒子的拉格朗日密度
自由粒子（无外势场 \( V = 0 \)）的拉格朗日密度为： \[ \mathcal{L} = i \hbar \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} - \frac{\hbar^2}{2m} (\nabla \Psi^*) (\nabla \Psi) \] 其中：
- \( \Psi(\mathbf{r}, t) = A e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \)（平面波解），
- \( \Psi^*(\mathbf{r}, t) = A^* e^{-i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \)（复共轭解）。
2. 计算各项贡献
(1) 时间导数项：\( i \hbar \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} \)
计算 \( \frac{\partial \Psi}{\partial t} \)： \[ \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( A e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \right) = -i \omega \Psi \] 因此： \[ i \hbar \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} = i \hbar \Psi^* (-i \omega \Psi) = \hbar \omega |\Psi|^2 \] 由于 \( |\Psi|^2 = \Psi^* \Psi = |A|^2 \)，最终： \[ i \hbar \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hbar \omega |A|^2 \]
(2) 动能项：\( -\frac{\hbar^2}{2m} (\nabla \Psi^*) (\nabla \Psi) \)
计算 \( \nabla \Psi \) 和 \( \nabla \Psi^* \)： \[ \nabla \Psi = \nabla \left( A e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \right) = i \mathbf{k} \Psi \] \[ \nabla \Psi^* = \nabla \left( A^* e^{-i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \right) = -i \mathbf{k} \Psi^* \] 因此： \[ (\nabla \Psi^*) (\nabla \Psi) = (-i \mathbf{k} \Psi^*) (i \mathbf{k} \Psi) = k^2 |\Psi|^2 = k^2 |A|^2 \] 最终动能项为： \[ -\frac{\hbar^2}{2m} (\nabla \Psi^*) (\nabla \Psi) = -\frac{\hbar^2 k^2}{2m} |A|^2 \]
3. 拉格朗日密度的最终表达式
将两项相加： \[ \mathcal{L} = \hbar \omega |A|^2 - \frac{\hbar^2 k^2}{2m} |A|^2 \] 利用自由粒子的色散关系 \( \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} \)，代入得： \[ \mathcal{L} = \hbar \left( \frac{\hbar k^2}{2m} \right) |A|^2 - \frac{\hbar^2 k^2}{2m} |A|^2 = 0 \]
4. 结果分析
- 拉格朗日密度 \( \mathcal{L} = 0 \)：
这表明 平面波解在拉格朗日框架下的“作用量”为零，符合自由粒子无相互作用的特性。 - 物理意义：
- 平面波是自由粒子的最简单解，其拉氏量为零说明没有“净”动力学结构（因为动能和时间演化项相互抵消）。
- 若要得到非零的作用量，需考虑 波包（wave packet） 或 边界条件（如箱归一化）。
5. 推广：波包情况
若使用 波包（叠加不同 \( \mathbf{k} \) 的平面波）： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = \int \phi(\mathbf{k}) e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} d^3\mathbf{k} \] 则拉格朗日密度 \( \mathcal{L} \) 不再为零，因为不同动量分量之间存在干涉项。
总结
- 自由粒子平面波解代入拉氏密度后，\( \mathcal{L} = 0 \)。
- 时间演化项 \( \hbar \omega |A|^2 \) 和动能项 \( -\frac{\hbar^2 k^2}{2m} |A|^2 \) 相互抵消。
- 物理意义：
- 平面波是“无结构”的解，拉氏量为零反映自由传播无净作用量。
- 实际物理情况（如波包、边界条件）会引入非零 \( \mathcal{L} \)。
- 进一步方向：
- 研究波包的拉氏量，或考虑外场（如电磁场）下的修正。
自由粒子薛定谔方程的解法
自由粒子（无外势场 \( V = 0 \)）的薛定谔方程为： \[ i \hbar \frac{\partial \Psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi(\mathbf{r}, t) \] 以下是详细的求解步骤：
1. 分离变量法（定态解）
假设波函数可分离为空间部分和时间部分： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = \psi(\mathbf{r}) \cdot T(t) \] 代入薛定谔方程： \[ i \hbar \psi(\mathbf{r}) \frac{dT(t)}{dt} = -\frac{\hbar^2}{2m} T(t) \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) \] 两边除以 \( \psi(\mathbf{r}) T(t) \)： \[ \frac{i \hbar}{T(t)} \frac{dT(t)}{dt} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\psi(\mathbf{r})} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) \] 左边仅依赖 \( t \)，右边仅依赖 \( \mathbf{r} \)，因此两边必须等于同一常数 \( E \)（能量）： \[ \begin{cases} i \hbar \frac{dT(t)}{dt} = E T(t) & \text{(时间方程)} \ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) & \text{(空间方程)} \end{cases} \]
2. 解时间方程
时间方程的解为指数函数： \[ T(t) = C e^{-i \frac{E}{\hbar} t} \] 其中 \( C \) 是常数，通常取 \( C = 1 \)（归一化后不影响物理结果）。
3. 解空间方程（亥姆霍兹方程）
空间方程是自由粒子的定态薛定谔方程： \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) \] 其解为 平面波，形式为： \[ \psi(\mathbf{r}) = A e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \] 其中：
- \( A \) 是归一化常数，
- \( \mathbf{k} \) 是波矢，满足： \[ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}, \quad k = |\mathbf{k}| \]
- 动量 \( \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} \)，因此能量也可写为 \( E = \frac{p^2}{2m} \)。
4. 完整的含时解
将空间解和时间解结合，得到自由粒子的含时波函数： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = A e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}, \quad \omega = \frac{E}{\hbar} = \frac{\hbar k^2}{2m} \]
5. 物理意义
- 动量本征态：平面波 \( e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \) 是动量算符 \( \hat{\mathbf{p}} = -i \hbar \nabla \) 的本征态，本征值为 \( \hbar \mathbf{k} \)。
- 能量-动量关系：\( E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \)，与经典动能一致。
- 概率密度：\( |\Psi|^2 = |A|^2 \) 为常数，说明粒子在空间各处均匀分布（需波包描述局域粒子）。
6. 归一化问题
平面波在无限空间中无法归一化（\( \int |\Psi|^2 d^3\mathbf{r} \) 发散），常用两种方法处理：
(1) 箱归一化
假设粒子在边长为 \( L \) 的立方体中，归一化条件： \[ \int_0^L \int_0^L \int_0^L |\Psi|^2 dx dy dz = 1 \implies A = \frac{1}{L^{3/2}} \]
(2) 波包表示
叠加不同动量的平面波： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = \int \phi(\mathbf{k}) e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} d^3\mathbf{k} \] 其中 \( \phi(\mathbf{k}) \) 是动量空间波包（如高斯分布）。
7. 一维自由粒子的解
在一维情况下，解为： \[ \Psi(x, t) = A e^{i (k x - \omega t)} + B e^{-i (k x + \omega t)} \]
- 第一项表示向右传播的波（动量 \( +p = \hbar k \)），
- 第二项表示向左传播的波（动量 \( -p = -\hbar k \)）。
8. 复共轭解
平面波的复共轭： \[ \Psi^*(\mathbf{r}, t) = A^* e^{-i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \] 满足薛定谔方程的复共轭形式： \[ -i \hbar \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi^* \]
总结
自由粒子薛定谔方程的解是 平面波： \[ \Psi(\mathbf{r}, t) = A e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}, \quad \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} \] 关键点：
- 分离变量法 将方程拆分为时间和空间部分。
- 空间解 是动量本征态（平面波），时间解 是相位振荡。
- 平面波需通过 箱归一化 或 波包 处理实际物理问题。
- 解的直接物理意义是 具有确定动量的量子态。
解自由粒子的空间薛定谔方程（亥姆霍兹方程）的详细步骤
自由粒子的 定态薛定谔方程（空间部分）为： \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) \] 这是一个 本征值问题，我们需要求解波函数 \(\psi(\mathbf{r})\) 和能量 \(E\)。以下是详细求解过程：
1. 方程整理
将方程改写为标准形式： \[ \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) + k^2 \psi(\mathbf{r}) = 0, \quad \text{其中} \quad k^2 = \frac{2m E}{\hbar^2} \] 这是 亥姆霍兹方程（Helmholtz Equation），其解取决于坐标系的选择（直角坐标、球坐标等）。自由粒子通常用 直角坐标系 求解。
2. 直角坐标系下的分离变量
在直角坐标系 \((x, y, z)\) 中，假设波函数可分离变量： \[ \psi(\mathbf{r}) = X(x) Y(y) Z(z) \] 代入亥姆霍兹方程： \[ \frac{1}{X} \frac{d^2 X}{dx^2} + \frac{1}{Y} \frac{d^2 Y}{dy^2} + \frac{1}{Z} \frac{d^2 Z}{dz^2} + k^2 = 0 \] 每一项仅依赖一个变量，因此必须为常数。设： \[ \frac{1}{X} \frac{d^2 X}{dx^2} = -k_x^2, \quad \frac{1}{Y} \frac{d^2 Y}{dy^2} = -k_y^2, \quad \frac{1}{Z} \frac{d^2 Z}{dz^2} = -k_z^2 \] 其中 \(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = k^2\)（由方程一致性决定）。
3. 解一维方程
每个方向满足相同的微分方程形式，以 \(X(x)\) 为例： \[ \frac{d^2 X}{dx^2} + k_x^2 X = 0 \] 这是 简谐振动方程，通解为： \[ X(x) = A_x e^{i k_x x} + B_x e^{-i k_x x} \] 同理： \[ Y(y) = A_y e^{i k_y y} + B_y e^{-i k_y y}, \quad Z(z) = A_z e^{i k_z z} + B_z e^{-i k_z z} \]
4. 组合三维解
将各方向解组合，得到三维波函数： \[ \psi(\mathbf{r}) = \left( A_x e^{i k_x x} + B_x e^{-i k_x x} \right) \left( A_y e^{i k_y y} + B_y e^{-i k_y y} \right) \left( A_z e^{i k_z z} + B_z e^{-i k_z z} \right) \] 通常选择 行波解（单一方向传播），即： \[ \psi(\mathbf{r}) = A e^{i (k_x x + k_y y + k_z z)} = A e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \] 其中：
- \(\mathbf{k} = (k_x, k_y, k_z)\) 是波矢，
- \(A = A_x A_y A_z\) 是归一化常数。
5. 能量本征值
由 \(k^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2\) 和 \(k^2 = \frac{2m E}{\hbar^2}\)，得能量： \[ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{\hbar^2 (k_x^2 + k_y^2 + k_z^2)}{2m} \] 对应动量 \(\mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}\)，因此 \(E = \frac{p^2}{2m}\)（与经典一致）。
6. 边界条件与归一化
(1) 无限空间（平面波）
- 解为 \( \psi(\mathbf{r}) = A e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \)，但 \( \int |\psi|^2 d^3\mathbf{r} \) 发散。
- 需 箱归一化 或 波包表示（见下文）。
(2) 箱归一化
假设粒子在边长为 \(L\) 的立方体中，周期性边界条件： \[ \psi(x+L, y, z) = \psi(x, y, z) \implies e^{i k_x L} = 1 \implies k_x = \frac{2\pi n_x}{L}, \quad n_x \in \mathbb{Z} \] 同理 \(k_y = \frac{2\pi n_y}{L}\)，\(k_z = \frac{2\pi n_z}{L}\)。归一化后： \[ \psi(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{L^3}} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}, \quad A = \frac{1}{\sqrt{L^3}} \]
7. 物理意义
- 动量本征态：\(\psi(\mathbf{r}) = e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}\) 是动量算符 \(\hat{\mathbf{p}} = -i \hbar \nabla\) 的本征态，本征值为 \(\hbar \mathbf{k}\)。
- 概率密度：\(|\psi|^2 = \text{常数}\)，说明粒子在空间均匀分布（需波包描述局域粒子）。
8. 一维情况示例
在一维空间中，解简化为： \[ \psi(x) = A e^{i k x} + B e^{-i k x} \]
- \(A e^{i k x}\) 对应向右运动的粒子（动量 \(+\hbar k\)），
- \(B e^{-i k x}\) 对应向左运动的粒子（动量 \(-\hbar k\)）。
总结
- 分离变量法 将三维亥姆霍兹方程拆分为三个一维方程。
- 行波解 \(e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}\) 是动量本征态，能量 \(E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\)。
- 边界条件 决定 \(k\) 的取值（如箱归一化时离散化）。
- 平面波需进一步处理（波包）才能描述实际粒子。
为什么不将自由粒子的解写成 \(A \sin(kx) + B \cos(kx)\) 的形式？
在量子力学中，自由粒子的薛定谔方程的解通常用 复指数形式（\(e^{i k x}\)）表示，而非 三角函数形式（\(\sin(kx)\) 或 \(\cos(kx)\)）。以下是详细解释：
1. 数学上等价，但物理意义不同
(1) 两种形式的数学等价性
由欧拉公式 \(e^{i k x} = \cos(kx) + i \sin(kx)\)，复指数解可以展开为： \[ \psi(x) = C e^{i k x} + D e^{-i k x} = (C + D) \cos(kx) + i (C - D) \sin(kx) \] 因此，三角函数形式 \(A \sin(kx) + B \cos(kx)\) 和复指数形式 \(C e^{i k x} + D e^{-i k x}\) 是 完全等价的，只是线性组合不同。
(2) 物理意义的区别
-
复指数形式：直接对应 动量本征态
- \(e^{i k x}\) 是动量算符 \(\hat{p} = -i \hbar \frac{d}{dx}\) 的本征函数，本征值为 \(+\hbar k\)（向右运动的粒子）。
- \(e^{-i k x}\) 对应动量 \(-\hbar k\)（向左运动的粒子）。
- 物理上更直观，直接体现自由粒子的 动量-能量关系 \(E = \frac{p^2}{2m}\)。
-
三角函数形式：是驻波解
- \(\sin(kx)\) 和 \(\cos(kx)\) 是 \(e^{i k x}\) 和 \(e^{-i k x}\) 的线性组合，描述 驻波（无净动量）。
- 适用于 束缚态问题（如无限深势阱），但不自然描述自由粒子的运动。
2. 自由粒子 vs. 无限深势阱的解
(1) 自由粒子（无边界条件）
- 解为 行波 \(e^{\pm i k x}\)，表示粒子可自由运动（动量确定）。
- 无需边界条件，波函数在无限空间延展（需波包归一化）。
(2) 无限深势阱（有边界条件）
- 边界条件要求 \(\psi(0) = \psi(L) = 0\)，因此解必须为 驻波：
\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right), \quad n = 1, 2, 3, \dots \] - 此时 \(\sin(kx)\) 和 \(\cos(kx)\) 更直接满足边界条件（\(\cos(kx)\) 在 \(x=0\) 不为零，故被排除）。
3. 为什么自由粒子不用 \(\sin/\cos\) 形式？
-
动量本征态的直观性
复指数 \(e^{i k x}\) 直接对应动量本征值，而 \(\sin(kx)\) 和 \(\cos(kx)\) 是动量本征态的叠加（无确定动量）。 -
边界条件的缺失
自由粒子无边界限制，无需强制波函数在某点为零（如势阱问题），因此无需驻波解。 -
扩展性
复指数形式易于推广到：- 三维情况（\(\psi(\mathbf{r}) = e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}\)），
- 含电磁场的情况（\(\psi \sim e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t + \frac{e}{\hbar} \chi)}\)）。
-
计算简便性
微分和积分运算中，\(e^{i k x}\) 比 \(\sin(kx)\) 更易处理（例如求导后仍为指数形式）。
4. 何时用三角函数形式？
- 束缚态问题（如无限深势阱、谐振子）：需满足边界条件，驻波解更直接。
- 反射对称性分析：若问题具有对称性（如势阱中心为 \(x=0\)），\(\sin(kx)\)（奇函数）和 \(\cos(kx)\)（偶函数）可分类讨论。
总结
| 形式 | 适用场景 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| 复指数 \(e^{\pm i k x}\) | 自由粒子、动量本征态 | 直接对应动量，易于推广到多维 | 需波包或箱归一化 |
| 三角函数 \(\sin/\cos\) | 束缚态（如无限深势阱） | 自然满足边界条件 | 无法直接描述动量，计算复杂 |
自由粒子的解优先用复指数形式，因其物理意义清晰且计算方便；而束缚态问题（如无限深势阱）因边界条件限制，需用三角函数形式。两者本质等价，但适用场景不同。