拉格朗日密度（Lagrangian Density）详解
拉格朗日密度 \(\mathcal{L}\) 是场论的核心概念，用于描述场的动力学行为。它是经典力学中拉格朗日函数 \(L\) 在场论中的推广，通过对其变分可以得到场的运动方程（欧拉-拉格朗日方程）。以下是系统总结：
1. 基本定义
拉格朗日密度是场的广义坐标、导数及时空坐标的函数： \[ \mathcal{L} = \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi, x^\mu) \] 其中：
- \(\phi(x^\mu)\) 是场量（标量场、旋量场、矢量场等）。
- \(\partial_\mu \phi\) 是场的四维导数。
- 作用量 \(S\) 是 \(\mathcal{L}\) 的时空积分： \[ S = \int \mathcal{L} , d^4x \]
2. 常见场的拉格朗日密度
(1) 自由实标量场（克莱因-戈登场）
\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \]
- 第一项：动能项（\(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi = \dot{\phi}^2 - |\nabla \phi|^2\)）。
- 第二项：质量项（势能）。
(2) 电磁场（麦克斯韦场）
\[ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} - J^\mu A_\mu \]
- \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\) 是电磁场张量。
- \(J^\mu\) 是外源四维电流。
(3) 狄拉克场（自旋-1/2费米子）
\[ \mathcal{L} = \bar{\psi} (i \gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi \]
- \(\psi\) 是旋量场，\(\bar{\psi} = \psi^\dagger \gamma^0\)。
- \(\gamma^\mu\) 是狄拉克矩阵。
3. 欧拉-拉格朗日方程
通过最小作用量原理 \(\delta S = 0\)，可得场的运动方程： \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) = 0 \]
示例：对克莱因-戈登场，直接导出： \[ (\partial_\mu \partial^\mu + m^2) \phi = 0 \]
4. 对称性与守恒量（Noether定理）
若 \(\mathcal{L}\) 在某种变换下不变，则存在守恒流： \[ \partial_\mu j^\mu = 0, \quad j^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta \phi - \mathcal{L} \delta x^\mu \]
- 时空平移对称性 → 能量-动量张量 \(T^{\mu\nu}\)。
- 内部对称性（如相位变换） → 电荷守恒。
5. 哈密顿密度
通过勒让德变换定义共轭动量密度 \(\pi\) 和哈密顿密度 \(\mathcal{H}\)： \[ \pi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_0 \phi)}, \quad \mathcal{H} = \pi \partial_0 \phi - \mathcal{L} \] 示例：克莱因-戈登场的哈密顿密度： \[ \mathcal{H} = \frac{1}{2} \pi^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \]
6. 量子化中的应用
在量子场论中，拉格朗日密度是构造路径积分和正则量子化的起点：
- 路径积分：\( Z = \int \mathcal{D}\phi , e^{i S[\phi]} \)。
- 正则量子化：将场 \(\phi\) 和共轭动量 \(\pi\) 提升为算符，满足对易关系。
7. 关键点总结
| 概念 | 描述 |
|---|---|
| 拉格朗日密度 | 场的动力学由 \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi)\) 描述 |
| 运动方程 | 欧拉-拉格朗日方程 \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) = 0\) |
| 对称性与守恒量 | Noether 定理将对称性映射到守恒流 |
| 量子化 | 拉格朗日密度是路径积分和算符量子化的基础 |
常见问题
Q1：如何选择拉格朗日密度？
A1：需满足对称性（如洛伦兹不变性、规范不变性）并重现已知经典方程（如麦克斯韦方程、狄拉克方程）。
Q2：拉格朗日密度是否唯一？
A2：不唯一，可通过添加全导数项 \(\partial_\mu K^\mu\) 或场重定义改变形式，但不影响运动方程。
总结
拉格朗日密度 \(\mathcal{L}\) 是场论的“动力学密码”：
- 经典场论：通过变分原理导出运动方程。
- 量子场论：作为路径积分的权重和量子化的出发点。
- 统一框架：从电磁场到希格斯机制，均以 \(\mathcal{L}\) 为核心构建理论。