1. 作用量的定义
场论中，作用量 \( S \) 是拉格朗日密度 \( \mathcal{L} \) 的时空积分： \[ S = \int \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi, x^\mu) , d^4x \] 其中 \( \phi(x^\mu) \) 是场量，\( \partial_\mu \phi \) 是其导数，\( d^4x = dt , dx , dy , dz \) 是四维时空体积元。
2. 变分原理
物理路径（场的演化）使作用量取极值，即 \( \delta S = 0 \)。对场 \( \phi \) 作微小变分 \( \phi \to \phi + \delta \phi \)，并要求边界变分为零（\( \delta \phi \) 在边界消失），得到： \[ \delta S = \int \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta (\partial_\mu \phi) \right) d^4x = 0 \] 利用 \( \delta (\partial_\mu \phi) = \partial_\mu (\delta \phi) \)，并对第二项分部积分： \[ \delta S = \int \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) \right] \delta \phi , d^4x + \text{边界项} = 0 \] 边界项为零，故被积函数必须恒为零：
3. 欧拉-拉格朗日方程
\[ \boxed{ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) = 0 } \] 这是场论中的运动方程，适用于标量场、旋量场、矢量场等。
关键点说明
- 无穷多自由度：场 \( \phi(x^\mu) \) 在每个时空点 \( x^\mu \) 是一个独立自由度，连续分布的自由度导致偏微分方程（PDE）。
- 对比质点力学：有限自由度系统的欧拉-拉格朗日方程为常微分方程（ODE）： \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 \] 场论中，时间导数推广为时空导数 \( \partial_\mu \)。
示例：克莱因-戈登场
拉格朗日密度为： \[ \mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2) \] 代入欧拉-拉格朗日方程，得到克莱因-戈登方程： \[ (\partial_\mu \partial^\mu + m^2) \phi = 0 \]
推广到多场
若拉格朗日密度依赖多个场 \( \phi_i \)，对每个场有独立的方程： \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_i} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi_i)} \right) = 0 \]
场论的欧拉-拉格朗日方程是经典场动力学的基础，也是量子场论中路径积分方法的起点。
1. 数学含义
拉格朗日密度 \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi, x^\mu)\) 是场量 \(\phi\)、其导数 \(\partial_\mu \phi\) 和时空坐标 \(x^\mu\) 的多元函数。偏导数 \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\) 的含义是：
- 将 \(\mathcal{L}\) 表达式中的 \(\phi\) 视为独立变量，而忽略 \(\phi\) 本身是 \(x^\mu\) 的函数（即不考虑 \(\phi = \phi(x^\mu)\) 的依赖性）。
- 类似多元微积分中对某个变量的偏导，例如 \(f(x,y)\) 对 \(x\) 的偏导 \(\frac{\partial f}{\partial x}\)。
例子：
若 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2)\)，则： \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = -m^2 \phi, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \partial^\mu \phi. \]
2. 与泛函导数的区别
- 偏导数 \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\)：仅对 \(\mathcal{L}\) 表达式中显式出现的 \(\phi\) 求导，不考虑 \(\phi\) 的时空依赖性。
- 泛函导数 \(\frac{\delta S}{\delta \phi}\)：是对作用量 \(S = \int \mathcal{L} , d^4x\) 的变分，结果给出欧拉-拉格朗日方程的整体项（包含 \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\)）。
3. 为什么可以这样求导？
在推导欧拉-拉格朗日方程时，假设场量 \(\phi\) 和其导数 \(\partial_\mu \phi\) 在拉格朗日密度中是独立的变量。这种处理类似于经典力学中将广义坐标 \(q\) 和速度 \(\dot{q}\) 视为独立变量。实际上：
- \(\partial_\mu \phi\) 的物理含义依赖于 \(\phi(x^\mu)\)，但在数学变分过程中，\(\phi\) 和 \(\partial_\mu \phi\) 被当作独立的“参数”。
4. 类比有限自由度系统
在质点力学中，拉格朗日函数 \(L(q, \dot{q}, t)\) 对广义坐标 \(q\) 的偏导数 \(\frac{\partial L}{\partial q}\) 也是类似操作：
- 将 \(q\) 和 \(\dot{q}\) 视为独立变量，仅对 \(L\) 表达式中显式的 \(q\) 求导。
5. 常见误区
- 误区1：认为 \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\) 需要对 \(\phi(x^\mu)\) 的时空依赖性求导。
纠正：这是泛函导数的思想，而此处是普通的多元函数偏导。 - 误区2：混淆 \(\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right)\) 和 \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\)。
纠正：前者是对时空坐标的导数，后者是对场量的偏导。
示例计算
考虑克莱因-戈登场的拉格朗日密度： \[ \mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2) \]
- 对 \(\phi\) 的偏导：\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = -m^2 \phi\) （仅对显式 \(\phi\) 求导）。
- 对 \(\partial_\mu \phi\) 的偏导：\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \partial^\mu \phi\)。
最终欧拉-拉格朗日方程为： \[ -m^2 \phi - \partial_\mu \partial^\mu \phi = 0 \quad \Rightarrow \quad (\partial_\mu \partial^\mu + m^2)\phi = 0. \]
总结
\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\) 是拉格朗日密度作为多元函数对场量 \(\phi\) 的偏导，无需考虑 \(\phi\) 作为时空函数的依赖性。这是场论中变分法的基础操作，与泛函导数（变分导数）有明确区别。
1. 定义与关系
-
\(\partial_\mu\)（协变导数）：
定义为对时空坐标 \(x^\mu\) 的偏导数的协变形式： \[ \partial_\mu \equiv \frac{\partial}{\partial x^\mu} = \left( \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right). \] 在 \((+,-,-,-)\) 度规下，具体分量为： \[ \partial_\mu = \left( \frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right) = \left( \partial_t, \partial_x, \partial_y, \partial_z \right). \] -
\(\partial^\mu\)（逆变导数）：
通过度规 \(g^{\mu\nu}\) 提升指标得到： \[ \partial^\mu = g^{\mu\nu} \partial_\nu. \] 在 \((+,-,-,-)\) 度规下： \[ \partial^\mu = \left( \partial_t, -\nabla \right) = \left( \partial_t, -\partial_x, -\partial_y, -\partial_z \right). \]
2. 具体运算示例
（1）对标量场的作用
对标量场 \(\phi(x^\mu)\)，导数算符的作用如下： \[ \partial_\mu \phi = \left( \partial_t \phi, \nabla \phi \right), \quad \partial^\mu \phi = \left( \partial_t \phi, -\nabla \phi \right). \]
（2）缩并运算
导数算符的缩并（如达朗贝尔算符 \(\Box\)）： \[ \partial_\mu \partial^\mu = \partial_t^2 - \nabla^2 = \Box. \] 这是波动方程中的算符，例如克莱因-戈登方程： \[ (\partial_\mu \partial^\mu + m^2)\phi = 0 \quad \Rightarrow \quad (\Box + m^2)\phi = 0. \]
3. 与经典物理的对比
- 时间导数：\(\partial_t = \frac{\partial}{\partial t}\) 对应经典力学中的时间导数。
- 空间导数：\(\nabla\) 是梯度算符，但在四维形式中通过度规调整符号。
4. 关键点总结
- 协变与逆变：\(\partial_\mu\) 和 \(\partial^\mu\) 的区别源于时空的几何结构（度规）。
- 物理意义：\(\partial_\mu \phi\) 是场的四维梯度，而 \(\partial^\mu \phi\) 是其对偶形式。
- 缩并规则：\(\partial_\mu \partial^\mu\) 给出四维拉普拉斯算符（达朗贝尔算符）。
常见问题
Q1：为什么 \(\partial^\mu\) 的空间分量带负号？
A1：这是由度规 \(g^{\mu\nu} = \text{diag}(+1,-1,-1,-1)\) 决定的。提升指标时，空间部分的度规为 \(-1\)。
Q2：在欧几里得时空（如量子统计）中如何表示？
A2：欧几里得度规下（如 \((+,+,+,+)\)），\(\partial^\mu = \partial_\mu\)，无符号差异。
理解 \(\partial_\mu\) 和 \(\partial^\mu\) 的差异是场论中处理相对性效应的基础。
克莱因-戈登方程（Klein-Gordon Equation）
克莱因-戈登方程是描述零自旋标量场（如 Higgs 场、π 介子场）的经典运动方程，也是量子场论中最基本的相对论性波动方程之一。它可以从狭义相对论的能量-动量关系出发导出，或者通过欧拉-拉格朗日方程从拉格朗日密度得到。
1. 从相对论能量-动量关系导出
在狭义相对论中，自由粒子的能量-动量关系为： \[ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 \] 采用自然单位制（\(\hbar = c = 1\)），并用量子力学算符替换： \[ E \to i \frac{\partial}{\partial t}, \quad p \to -i \nabla \] 代入后得到： \[ \left( i \frac{\partial}{\partial t} \right)^2 \phi = \left( -i \nabla \right)^2 \phi + m^2 \phi \] 整理后即得克莱因-戈登方程： \[ \boxed{ \left( \partial_\mu \partial^\mu + m^2 \right) \phi = 0 } \] 其中：
- \(\partial_\mu \partial^\mu = \partial_t^2 - \nabla^2 = \Box\) 是达朗贝尔算符（d’Alembertian）。
- \(\phi(x^\mu)\) 是标量场（如 Higgs 场）。
2. 从拉格朗日密度导出
克莱因-戈登场的拉格朗日密度为： \[ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \left( \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2 \right) \] 利用欧拉-拉格朗日方程： \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) = 0 \] 计算各项：
- 对 \(\phi\) 的偏导： \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = -m^2 \phi \]
- 对 \(\partial_\mu \phi\) 的偏导： \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \partial^\mu \phi \]
- 对 \(\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right)\) 求导： \[ \partial_\mu \left( \partial^\mu \phi \right) = \partial_\mu \partial^\mu \phi = \Box \phi \] 代入欧拉-拉格朗日方程，得到： \[ -m^2 \phi - \Box \phi = 0 \quad \Rightarrow \quad \left( \Box + m^2 \right) \phi = 0 \] 与之前的结果一致。
3. 克莱因-戈登方程的解
(1) 平面波解
方程的解可以写成平面波叠加的形式： \[ \phi(x^\mu) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_p}} \left( a_p e^{-i p \cdot x} + a_p^\dagger e^{i p \cdot x} \right) \] 其中：
- \( p \cdot x = E_p t - \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} \)
- \( E_p = \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2} \)（相对论性能量）
- \( a_p \) 和 \( a_p^\dagger \) 是量子场论中的产生-湮灭算符。
(2) 经典静态解（Yukawa 势）
如果场不随时间变化（\(\partial_t \phi = 0\)），方程退化为： \[ \left( \nabla^2 - m^2 \right) \phi = 0 \] 其解为 Yukawa 势（短程力场）： \[ \phi(r) \sim \frac{e^{-m r}}{r} \] 这在核力（π 介子交换）中有重要应用。
4. 物理意义
- 相对论性波动方程
克莱因-戈登方程是薛定谔方程的相对论推广，适用于自旋为 0 的粒子（如 Higgs 玻色子、π 介子）。 - 量子场论的基础
它是标量场量子化的起点，后续可推广到 Dirac 方程（自旋 1/2）和 Maxwell 方程（自旋 1）。 - 负能量问题
由于 \(E = \pm \sqrt{p^2 + m^2}\)，方程允许负能量解，这导致 Dirac 提出反粒子的概念。
5. 与薛定谔方程的关系
在非相对论极限（\(E \approx m + \frac{p^2}{2m}\)），克莱因-戈登方程可以退化为薛定谔方程： \[ i \partial_t \psi = -\frac{\nabla^2}{2m} \psi \] （通过场重新定义 \(\phi = e^{-i m t} \psi\) 并忽略高阶项）
6. 应用
- Higgs 机制：Higgs 场满足 Klein-Gordon 方程。
- 介子物理：π 介子（pion）作为自旋 0 粒子，其动力学由该方程描述。
- 宇宙学：暴胀场（inflation field）的演化也类似 Klein-Gordon 方程。
总结
克莱因-戈登方程是：
- 相对论性标量场的运动方程（自旋 0）。
- 由 \(E^2 = p^2 + m^2\) 或拉格朗日密度导出。
- 解包括平面波（量子场论）和 Yukawa 势（经典场）。
- 是量子场论的基础，但存在负能量问题（需二次量子化解决）。
1. 符号定义
- \(\partial_\mu \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x^\mu}\) 是场的协变导数（4维梯度），分量形式为： \[ \partial_\mu \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial t}, \nabla \phi \right) = (\partial_t \phi, \partial_x \phi, \partial_y \phi, \partial_z \phi). \]
- \(\partial^\mu \phi\) 是导数的逆变形式，通过度规 \(g^{\mu\nu}\) 提升指标得到： \[ \partial^\mu \phi = g^{\mu\nu} \partial_\nu \phi. \] 在 \((+,-,-,-)\) 度规下： \[ \partial^\mu \phi = (\partial_t \phi, -\nabla \phi) = (\partial_t \phi, -\partial_x \phi, -\partial_y \phi, -\partial_z \phi). \]
2. 缩并运算
表达式 \(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\) 是 爱因斯坦求和约定 下的缩并： \[ \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi = \sum_{\mu=0}^3 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi = \partial_t \phi \partial_t \phi - \nabla \phi \cdot \nabla \phi. \] 具体展开为： \[ \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi = (\partial_t \phi)^2 - (\partial_x \phi)^2 - (\partial_y \phi)^2 - (\partial_z \phi)^2. \] 这类似于四维矢量 \(A_\mu B^\mu\) 的点积，但这里是导数的“自缩并”。
3. 物理意义
这一项代表 场的动能密度（Kinetic Term），描述场在时空中的变化强度：
- \((\partial_t \phi)^2\)：场随时间变化的贡献（时间导数项）。
- \(-|\nabla \phi|^2\)：场随空间变化的贡献（空间导数项），负号源于度规约定。
在拉格朗日密度中，\(\frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\) 是自由场动能项，类比经典力学中的 \(\frac{1}{2} m \dot{q}^2\)。
4. 与达朗贝尔算符的关系
缩并 \(\partial_\mu \partial^\mu \phi\) 给出 达朗贝尔算符 \(\Box \phi\)（波动算符）： \[ \partial_\mu \partial^\mu \phi = \Box \phi = \partial_t^2 \phi - \nabla^2 \phi. \] 但 \(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\) 是导数的平方，而非对场求二阶导。
5. 示例：克莱因-戈登方程
克莱因-戈登场的拉格朗日密度为： \[ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2. \] 其中 \(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\) 是动能项，\(m^2 \phi^2\) 是质量项。
6. 对比其他表达式
- 标量场的动能：\(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\)（洛伦兹不变形式）。
- 经典动能：\(\frac{1}{2} (\partial_t \phi)^2\)（非相对论近似下保留的时间导数项）。
7. 为什么这样构造？
- 洛伦兹不变性：\(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\) 在时空坐标变换下保持不变。
- 能量正定性：在拉格朗日量中，动能项通常要求为正，但相对论性理论中空间导数带负号，整体仍保证能量有界。
总结
\(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\) 是：
- 场导数的四维缩并，形式为 \((\partial_t \phi)^2 - |\nabla \phi|^2\)。
- 描述场的“动能”或变化率，是拉格朗日密度中的标准动能项。
- 保证相对论协变性，为构造场论运动方程（如克莱因-戈登方程）的基础。
用自由粒子波函数举例说明 \(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\)
在量子场论中，自由粒子的波函数可以用平面波解表示。我们以克莱因-戈登场为例，说明如何计算 \(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\)，并解释其物理意义。
1. 自由标量场的平面波解
克莱因-戈登方程的解可以写成平面波叠加的形式。我们考虑一个单色平面波解： \[ \phi(x) = A e^{-i p \cdot x} \] 其中：
- \( p \cdot x = p_\mu x^\mu = E t - \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} \)（四维动量与坐标的点积）
- \( p^\mu = (E, \mathbf{p}) \) 是四维动量，满足 \( E^2 = \mathbf{p}^2 + m^2 \)
- \( A \) 是归一化常数（在量子场论中通常取 \( A = \frac{1}{\sqrt{2E}} \)）
2. 计算 \(\partial_\mu \phi\) 和 \(\partial^\mu \phi\)
(1) 计算协变导数 \(\partial_\mu \phi\)
\[ \partial_\mu \phi = \frac{\partial}{\partial x^\mu} \left( A e^{-i p \cdot x} \right) = -i p_\mu \phi \] 即： \[ \partial_\mu \phi = -i p_\mu \phi \] 分量形式： \[ \partial_t \phi = -i E \phi, \quad \nabla \phi = i \mathbf{p} \phi \]
(2) 计算逆变导数 \(\partial^\mu \phi\)
利用度规 \( g^{\mu\nu} = \text{diag}(+1, -1, -1, -1) \)： \[ \partial^\mu \phi = g^{\mu\nu} \partial_\nu \phi = -i g^{\mu\nu} p_\nu \phi = -i p^\mu \phi \] 分量形式： \[ \partial^t \phi = -i E \phi, \quad \partial^i \phi = +i p^i \phi \quad (i=x,y,z) \]
3. 计算 \(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\)
现在计算缩并： \[ \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi = (-i p_\mu \phi)(-i p^\mu \phi) = (-i)^2 p_\mu p^\mu \phi^2 = - p_\mu p^\mu \phi^2 \] 由于 \( p_\mu p^\mu = E^2 - \mathbf{p}^2 = m^2 \)（相对论能量-动量关系），所以： \[ \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi = -m^2 \phi^2 \]
4. 物理意义
-
\(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\) 代表场的“动能”贡献
在拉格朗日密度中，这一项通常写作： \[ \mathcal{L}_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi \] 对于平面波解，它给出： \[ \mathcal{L}_{\text{kin}} = -\frac{1}{2} m^2 \phi^2 \] 这说明自由粒子的“动能”实际上与质量相关。 -
为什么是 \(-m^2 \phi^2\)？
由于平面波解是自由粒子，其动能项 \(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\) 最终由质量 \(m\) 决定，符合克莱因-戈登方程： \[ (\partial_\mu \partial^\mu + m^2) \phi = 0 \] 其中 \(\partial_\mu \partial^\mu \phi = -m^2 \phi\)（因为 \(\partial_\mu \partial^\mu e^{-i p \cdot x} = -p_\mu p^\mu e^{-i p \cdot x} = -m^2 \phi\)）。 -
与经典力学的对比
- 经典力学中，动能 \( T = \frac{1}{2} m v^2 \) 直接与速度平方成正比。
- 在场论中，\(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\) 是相对论协变的“动能”形式，最终与粒子的质量 \(m\) 相关。
5. 更一般的情况
如果场是多个平面波的叠加（如量子场论中的傅里叶展开）： \[ \phi(x) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_p}} \left( a_p e^{-i p \cdot x} + a_p^\dagger e^{i p \cdot x} \right) \] 则 \(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\) 的计算会涉及交叉项，但最终仍会给出动能项和质量项的组合。
总结
- \(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\) 是标量场的“四维动能项”，在平面波解下计算得到 \(-m^2 \phi^2\)。
- 物理意义：描述场的变化率，在拉格朗日密度中贡献动能部分。
- 与克莱因-戈登方程的关系：\(\partial_\mu \partial^\mu \phi = -m^2 \phi\) 是波动方程的核心部分。
这个例子展示了如何从自由粒子波函数出发，计算 \(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi\)，并理解其在相对论场论中的作用。
算符替换 \( E \to i \partial_t \)、\( \mathbf{p} \to -i \nabla \) 的来源
是的，量子力学中的算符替换规则： \[ E \to i \frac{\partial}{\partial t}, \quad \mathbf{p} \to -i \nabla \] 最初正是从单色平面波的数学形式中自然导出的，同时也是量子力学基本假设的一部分。以下是详细解释：
1. 从德布罗意平面波出发
德布罗意（de Broglie）提出，任何粒子都具有波动性，其物质波的表达式为： \[ \psi(x, t) = A e^{i (\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} - E t)} \] 其中：
- \( \mathbf{p} \) 是粒子的动量，\( E \) 是能量。
- 这是一个单色平面波解，波矢 \( \mathbf{k} = \mathbf{p}/\hbar \)，角频率 \( \omega = E/\hbar \)。
对平面波作用算符
-
时间偏导： \[ i \frac{\partial}{\partial t} \psi = i (-i E) \psi = E \psi \] 即算符 \( i \partial_t \) 提取出能量 \( E \)。
-
空间梯度： \[ -i \nabla \psi = -i (i \mathbf{p}) \psi = \mathbf{p} \psi \] 即算符 \( -i \nabla \) 提取出动量 \( \mathbf{p} \)。
结论：
平面波的数学形式直接暗示了算符替换：
\[
E \to i \frac{\partial}{\partial t}, \quad \mathbf{p} \to -i \nabla
\]
2. 推广到一般波函数
量子力学进一步假设：即使波函数不是平面波，这些算符仍然适用。例如：
- 对任意波函数 \( \psi(x,t) \)，其动量期望值由 \( \langle \mathbf{p} \rangle = \int \psi^* (-i \nabla) \psi , d^3x \) 给出。
- 薛定谔方程 \( i \partial_t \psi = \hat{H} \psi \) 正是基于 \( E \to i \partial_t \) 的推广。
3. 相对论量子力学中的推广
在相对论情况下（如克莱因-戈登方程或狄拉克方程），算符替换依然成立：
-
从相对论能量-动量关系出发： \[ E^2 = \mathbf{p}^2 + m^2 \quad \Rightarrow \quad (i \partial_t)^2 \psi = (-i \nabla)^2 \psi + m^2 \psi \] 这直接导出克莱因-戈登方程： \[ (\partial_t^2 - \nabla^2 + m^2) \psi = 0 \quad \text{（即 } \Box \psi + m^2 \psi = 0). \]
-
狄拉克方程：
通过线性化能量-动量关系，引入旋量波函数，但算符替换规则不变。
4. 物理意义
- 波粒二象性：算符替换体现了粒子性（\(E, \mathbf{p}\)）与波动性（\( \partial_t, \nabla \)）的统一。
- 量子化规则：这是经典物理量（如能量、动量）过渡到量子算符的核心步骤。
- 洛伦兹协变性：在相对论场论中，算符 \( \partial_\mu \) 自动保证协变性。
5. 对比经典力学
经典力学中，能量和动量是可观测的数值，而量子力学中它们是作用在波函数上的算符。这种替换是量子理论区别于经典理论的关键。
总结
- 算符替换 \( E \to i \partial_t \)、\( \mathbf{p} \to -i \nabla \) 最初源于平面波分析，但推广为量子力学的基本假设。
- 平面波的数学结构直接揭示了这一替换的必然性。
- 在相对论量子场论中，该规则依然适用，并保证理论的协变性。
这一规则不仅是量子力学的基石，也是连接经典物理与量子世界的桥梁。
1. 非相对论自由粒子（薛定谔方程）
对于非相对论自由粒子（如电子在无外场中），其物质波的色散关系为： \[ \omega = \frac{\hbar |\mathbf{k}|^2}{2m} \] 推导：
- 德布罗意关系给出动量 \(\mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}\)，动能 \(E = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}\)。
- 代入 \(E = \hbar \omega\)（普朗克关系），得到： \[ \hbar \omega = \frac{(\hbar \mathbf{k})^2}{2m} \quad \Rightarrow \quad \omega = \frac{\hbar |\mathbf{k}|^2}{2m}. \]
物理意义：
非相对论粒子的频率与波矢平方成正比，表现出二次色散。
2. 相对论自由粒子（克莱因-戈登方程）
对于相对论性自由粒子（如无自旋玻色子），色散关系为： \[ \omega = \sqrt{c^2 |\mathbf{k}|^2 + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}} \] 推导：
- 相对论能量-动量关系 \(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\)。
- 代入德布罗意关系 \(E = \hbar \omega\)、\(\mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}\)： \[ (\hbar \omega)^2 = (\hbar \mathbf{k})^2 c^2 + m^2 c^4 \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{c^2 |\mathbf{k}|^2 + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}}. \]
物理意义：
- 当 \(m=0\)（如光子），退化为线性关系 \(\omega = c |\mathbf{k}|\)。
- 当 \(|\mathbf{k}| \ll mc/\hbar\)（非相对论极限），近似为： \[ \omega \approx \frac{mc^2}{\hbar} + \frac{\hbar |\mathbf{k}|^2}{2m}, \] 其中第一项是静止能量贡献，第二项与非相对论结果一致。
3. 电磁波（光子）
对于无质量粒子（如光子），色散关系为线性：
\[
\omega = c |\mathbf{k}|
\]
推导：
直接来自电磁波的真空波动方程，或相对论关系 \(E = pc\) 结合 \(E = \hbar \omega\)、\(\mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}\)。
4. 一般情况（含势场或相互作用）
若粒子处于势场 \(V(\mathbf{x})\) 中，色散关系会修正。例如：
- 薛定谔方程下： \[ \hbar \omega = \frac{\hbar^2 |\mathbf{k}|^2}{2m} + V(\mathbf{x}). \]
- 固体物理中的电子能带结构会给出更复杂的 \(\omega(\mathbf{k})\) 关系。
5. 物理意义总结
| 情况 | 色散关系 | 特点 |
|---|---|---|
| 非相对论自由粒子 | \(\omega = \frac{\hbar |\mathbf{k}|^2}{2m}\) | 二次色散，低频长波主导 |
| 相对论自由粒子 | \(\omega = \sqrt{c^2 |\mathbf{k}|^2 + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}}\) | 高速时趋近线性，低速还原为非相对论 |
| 无质量粒子（光子） | \(\omega = c |\mathbf{k}|\) | 严格的线性关系 |
6. 实验验证
- 电子衍射（Davisson-Germer 实验）：验证了 \(\mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}\)。
- Compton 散射：验证了光子的 \(\omega = c |\mathbf{k}|\) 和相对论性能量-动量关系。
数学补充
在量子场论中，色散关系直接关联到**传播子（propagator）**的极点。例如，克莱因-戈登场的费曼传播子： \[ \Delta_F(p) \propto \frac{1}{p^2 - m^2 + i\epsilon}, \] 其极点 \(p^2 = m^2\) 即对应 \(\omega^2 = c^2 |\mathbf{k}|^2 + m^2 c^4 / \hbar^2\)。
结论
物质波的 \(\omega\) 和 \(\mathbf{k}\) 的关系由体系的动力学决定：
- 非相对论粒子：\(\omega \propto |\mathbf{k}|^2\)。
- 相对论粒子：\(\omega \propto \sqrt{|\mathbf{k}|^2 + m^2}\)。
- 光子：严格的 \(\omega = c |\mathbf{k}|\)。
这一关系是量子力学波动性描述的核心，也是波粒二象性的直接体现。