1. 电磁波的传播速度
麦克斯韦方程组推导出的电磁波（光）在真空中的速度为： \[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 3 \times 10^8 , \text{m/s}, \] 这是严格等于光速的，符合相对论要求。
2. 电场与磁场的相互激发
时变电场和磁场的相互激发（如电磁波中）是通过麦克斯韦方程组中的两项实现的： \[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. \] 这种耦合作用以光速传播，不会超光速。
3. 表观超光速的例外情况
某些场景下可能出现看似超光速的现象，但实际不传递信息或能量：
- 相速度超光速：在色散介质中，电磁波的相速度可能超过 \( c \)，但群速度（信息传递速度）仍低于 \( c \)。
- 量子纠缠：虽与麦克斯韦方程无关，但量子纠缠中的关联看似超光速，实际不传递信息。
- 截止波导中的衰减场：近场（倏逝波）可能表现出指数衰减的“瞬时”效应，但无法携带能量超光速。
4. 相对论的约束
任何物理信息的传递速度（如电场突变引发的磁场响应）必须通过电磁波传播，其速度受麦克斯韦方程和相对论共同限制为 \( c \)。
结论
麦克斯韦方程组本身不包含真实的超光速物理过程。电场和磁场的相互转换以光速传播，而表观超光速现象（如相速度）不违反因果律。若观察到超光速效应，通常需检查是否混淆了相速度与群速度，或忽略了场的局域性。
-
全反射（Total Internal Reflection, TIR）
- 当光从高折射率介质（如玻璃）斜入射到低折射率介质（如空气）时，若入射角大于临界角，会发生全反射。
- 虽然反射光能量完全返回高折射率介质，但在低折射率介质一侧仍存在一个倏逝波场，其强度随穿透深度指数衰减。
- 穿透深度（Penetration Depth）：通常为波长量级（~100 nm 可见光波段）。
-
波导与近场光学
- 在亚波长结构（如纳米光波导、近场扫描光学显微镜 NSOM）中，倏逝波携带高频空间信息，但无法传播到远场。
- 通过耦合（如表面等离子体激元）可短暂增强倏逝波，但仍受限于衰减特性。
-
量子隧穿与微波/声学类比
- 量子力学中的势垒隧穿与倏逝波数学形式类似，均表现为指数衰减解。
- 微波或声学超材料中也可设计类似倏逝波的行为。
关键特性
- 超光速相速度（Phase Velocity）：倏逝波的相速度可能超过真空光速 \( c \)，但群速度（能量传播速度）为零，因此不违反相对论。
- 无能量传输：倏逝波本身不携带净能量（时间平均能流为零），除非通过外部耦合（如受抑全反射）。
- 近场局域性：仅存在于界面附近约一个波长范围内，无法辐射到远场。
应用举例
- 近场显微技术（NSOM）：突破衍射极限，实现纳米级分辨率成像。
- 光纤通信：利用倏逝波耦合实现光分束或传感器设计。
- 量子光学：研究光子隧穿和Casimir效应等。
与超光速的关系
倏逝波的相速度超光速并不传递信息，因此与相对论兼容。真正的信息传输仍受光速限制，而倏逝波仅代表一种局域场的快速振荡衰减行为。
\[
v_p = \frac{\omega}{k},
\]
其中 \(\omega\) 是角频率，\(k\) 是波数。
1. 真空中的电磁波（无介质）
对于真空中的光波，色散关系为 \(\omega = c k\)，因此相速度恒为光速：
\[
v_p = c.
\]
此时，相速度的理论最大值就是 \(c\)，与相对论一致。
2. 色散介质中的相速度
在介质中，电磁波的相速度可能超过 \(c\)，甚至趋于无穷大或为负值，具体取决于介质的色散关系 \(\omega(k)\)。
（1）正常色散与反常色散
- 正常色散（如可见光在玻璃中）：\(v_p > v_g\)（群速度），但通常 \(v_p\) 仍接近 \(c\)。
- 反常色散（如吸收峰附近）：\(v_p\) 可能显著超过 \(c\)，甚至发散（\(v_p \to \infty\)）。
（2）极端情况：截止波导或等离子体
在某些系统中，如波导的截止频率以下或等离子体中，波数 \(k\) 变为虚数（\(k = i\kappa\)），波动方程的解变为倏逝波，其相速度：
\[
v_p = \frac{\omega}{k} \to \infty \quad (\text{因为 } k \to 0).
\]
但这时的波并不能传播能量，仅代表局域振荡。
3. 理论最大值：趋于无穷大
从数学上看，相速度的理论最大值可以趋于无穷大，例如：
- 当 \(k \to 0\)（长波长极限），\(v_p = \omega/k \to \infty\)。
- 在某些负折射率超材料中，\(v_p\) 甚至可以为负值（反向传播）。
但需注意：
- 相速度超光速不违反相对论，因为它不携带信息或能量。
- 信息传递速度由群速度 \(v_g\) 或信号速度决定，这些始终受 \(c\) 限制。
4. 量子场论中的相速度
在量子电动力学（QED）中，光子在真空中的相速度严格为 \(c\)。但在某些理论模型（如 tachyons 快子）中，假设存在 \(v_p > c\) 的粒子，但这类粒子未被实验证实，且与因果律冲突。
结论
- 经典波动理论中，相速度的理论最大值可以趋于无穷大（如倏逝波、截止波导情况）。
- 在物理可实现系统中，\(v_p\) 可以远大于 \(c\)，但不传递任何信息或能量。
- 真正受相对论限制的是信号速度（群速度、前沿速度等），其最大值仍为 \(c\)。
因此，相速度的“超光速”只是一种数学现象，而非物理超光速。
1. 物质波的相速度定义
根据德布罗意波理论，一个自由粒子的物质波波长 \(\lambda\) 和频率 \(\nu\) 与粒子的动量 \(p\) 和能量 \(E\) 相关： \[ \lambda = \frac{h}{p}, \quad \nu = \frac{E}{h}, \] 其中 \(h\) 是普朗克常数。物质波的相速度 \(v_p\) 定义为： \[ v_p = \lambda \nu = \frac{E}{p}. \]
对于自由粒子（非相对论情况）
- 动能 \(E = \frac{p^2}{2m}\)（忽略静能 \(mc^2\)），因此：
\[
v_p = \frac{E}{p} = \frac{p}{2m} = \frac{v}{2},
\]
其中 \(v = p/m\) 是粒子的经典速度。
结论：相速度是粒子速度的一半。
对于自由粒子（相对论情况）
- 总能量 \(E = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}\)，相速度为：
\[
v_p = \frac{E}{p} = \frac{\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}}{p} = c \sqrt{1 + \frac{m^2c^2}{p^2}}.
\]
- 当 \(p \gg mc\)（超相对论极限），\(v_p \approx c\)。
- 当 \(p \to 0\)（低能极限），\(v_p \to \infty\)。
结论：相速度可以超过光速 \(c\)，但无物理矛盾（见下文）。
2. 物质波相速度的超光速问题
尽管 \(v_p\) 可能超过 \(c\)，但需明确以下几点：
- 相速度不传递信息或能量
物质波的相位传播不携带可观测的物理量，实际物理效应（如概率幅的传播）由群速度 \(v_g = d\omega/dk\) 决定。 - 群速度与粒子速度一致
对于自由粒子，群速度 \(v_g = \frac{dE}{dp} = v\)（粒子经典速度），始终满足 \(v_g \leq c\)。 - 量子态的演化受相对论约束
在量子场论中，局域算符的因果性由类空间隔保证，不会出现超光速信号传递。
3. 物质波相速度的物理意义
- 波函数的相位振荡
\(v_p\) 描述的是波函数 \(\psi(x,t)\) 中相位因子 \(e^{i(kx-\omega t)}\) 的传播速度，而非概率密度 \(|\psi|^2\) 的传播。 - 干涉与衍射现象
在双缝实验中，相速度决定了干涉条纹的间距，但观测到的粒子到达时间由群速度决定。
4. 极端情况分析
（1）零动量极限（\(p \to 0\)）
- 非相对论：\(v_p = \frac{v}{2} \to 0\)。
- 相对论：\(v_p \to \infty\)（静质量粒子波函数的相速度发散）。
此时波函数退化为静态分布（无传播）。
（2）高能极限（\(p \gg mc\)）
- 相速度 \(v_p \approx c\)，与光子类似。
5. 实验验证
- 电子衍射实验
观测到的电子干涉图案与德布罗意波长 \(\lambda = h/p\) 一致，间接验证了相速度关系。 - 玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）
超冷原子气体中可直接测量物质波的 \(v_p\) 和 \(v_g\)，证实两者差异。
结论
- 物质波的相速度 \(v_p\) 可以超过光速（尤其在低动量时），但这不违反相对论，因为不涉及能量或信息的超光速传递。
- 实际物理观测（如粒子位置、干涉条纹移动）由群速度 \(v_g\) 主导，其值等于粒子速度且满足 \(v_g \leq c\)。
- 物质波的相速度是量子力学波动性的数学表现，而非可观测的“超光速”现象。
简言之，物质波的相速度无理论上限，但无物理矛盾，因为量子力学与相对论通过群速度和因果性保持一致。
1. 量子纠缠的基本概念
- 纠缠态：两个或多个粒子处于不可分离的量子态，测量其中一个粒子会立即影响另一个粒子的状态（即使相隔遥远）。
- 非局域性：量子力学预言，纠缠粒子的关联性无法用经典局域理论解释（即贝尔不等式被违背）。
- 超光速关联：测量一个粒子会瞬间（超光速）影响另一个粒子的状态，但无法传递可控信息，因此不违反相对论。
2. 关键实验验证
（1）贝尔不等式实验（1972年–2020年代）
- 目的：检验量子力学是否完备，或是否存在隐变量理论（局域实在论）。
- 实验原理：
- 制备纠缠粒子对（如光子自旋、电子自旋等）。
- 对两个粒子分别进行独立测量（测量方向可随机选择）。
- 统计测量结果的关联性，检验是否违反贝尔不等式。
- 结果：
- 所有高精度实验（如Aspect实验, 1982；Zeilinger实验, 1998；Loophole-free实验, 2015–2020）均显示贝尔不等式被显著违反，支持量子力学的非局域性预言。
- 超光速关联：测量结果的关联性无法用光速以下的经典通信解释，但无法主动操控这种关联来传递信息。
（2）延迟选择实验（Delayed-Choice Experiment）
- 目的：验证量子纠缠的“非局域性”是否依赖于测量顺序。
- 实验设计：
- 在纠缠光子对中，对一个光子的测量延迟到另一个光子已被测量之后。
- 结果仍显示完美关联，证明纠缠效应与时间顺序无关（即超光速关联）。
- 意义：进一步排除了“隐藏信号”传递的可能性。
（3）墨子号量子卫星实验（2017）
- 地星量子纠缠分发：
- 中国“墨子号”卫星向相距1200公里的两个地面站分发纠缠光子对。
- 测量结果显示贝尔不等式被违反，且关联速度远超光速（实验验证了至少比光速快4个数量级）。
- 结论：量子纠缠的非局域性在宇宙学尺度上依然成立。
3. 为什么这不违反相对论？
尽管量子纠缠表现出超光速关联，但无法实现超光速通信，原因如下：
- 不可操控性：测量结果是随机的，无法通过操控一个粒子来控制另一个粒子的状态。
- 无信息传递：接收方无法仅通过测量自己的粒子获知发送方的操作（需要经典通信辅助）。
- 相对论因果性：量子态坍缩是“表观”超光速，但实际信息传递仍需经典信道（遵守光速限制）。
4. 实验技术难点
- 探测效率：早期实验存在“探测漏洞”（未检测所有粒子），2015年后实现无漏洞实验。
- 随机数生成：需保证测量基的选择完全随机（避免局域性漏洞）。
- 距离限制：远距离纠缠需克服光子损耗（如墨子号卫星使用太空-地面链路）。
5. 当前共识
- 量子纠缠的超光速关联已被实验证实，但这是量子力学非局域性的体现，而非实际信息超光速传递。
- 量子通信（如量子隐形传态）仍需经典信道，因此不违反相对论。
总结
量子纠缠的“超光速”本质是非局域关联性，而非可用的超光速通信。实验通过违背贝尔不等式、延迟选择、远距离纠缠分发等验证了这一特性，但所有信息传递仍受光速限制。这一现象揭示了量子力学与经典物理的根本差异，但并未挑战相对论的因果律。
1. EPR 纠缠对实验（Einstein-Podolsky-Rosen Paradox）
实验设定
- 制备一对处于自旋单态（Spin Singlet State）的纠缠粒子（如电子或光子）： \[ |\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |\uparrow\rangle_A |\downarrow\rangle_B - |\downarrow\rangle_A |\uparrow\rangle_B \right). \]
- 将粒子A和B分离到相距很远的两个地点（如数光年）。
测量过程
- 对粒子A的自旋进行测量（假设测得 \(|\uparrow\rangle_A\)）。
- 瞬间效应：粒子B的状态会立即坍缩到与A相关的本征态（即 \(|\downarrow\rangle_B\)），无论B距离A多远。
- 超光速表现：这种坍缩是瞬时的，似乎违反了相对论的局域性（无超光速影响的原则）。
关键点
- 无信息传递：虽然坍缩是瞬时的，但实验者无法通过这种方式传递信息，因为A的测量结果是随机的（50%概率 \(|\uparrow\rangle_A\) 或 \(|\downarrow\rangle_A\)）。
- 量子非局域性：这种现象被称为“量子非局域性”，已被贝尔不等式实验（如Aspect实验）严格验证。
2. 量子隐形传态（Quantum Teleportation）
实验设定
- 利用三粒子纠缠态（Alice、Bob和纠缠源），Alice想将一个未知量子态 \(|\psi\rangle\) 传给Bob。
- Alice和Bob共享一对纠缠粒子（A和B），Alice对 \(|\psi\rangle\) 和A进行联合测量。
超光速表现
- Alice的测量会导致Bob的粒子B瞬间坍缩到一个与 \(|\psi\rangle\) 相关的态（但需经典信息修正才能还原 \(|\psi\rangle\)）。
- 坍缩过程是瞬时的，但最终态的重构需要Alice通过经典信道（光速限制）发送信息给Bob。
意义
- 量子态本身的关联是超光速的，但有效信息传递仍受光速限制，因此不违反相对论。
3. 延迟选择实验（Delayed-Choice Experiment）
实验设定
- 在双缝实验中，是否插入探测器（观测粒子路径）可以延迟到粒子已通过双缝之后决定。
- 量子系统似乎“提前知道”是否会被观测，从而调整行为（波动性或粒子性）。
超光速表现
- 观测行为的选择（延迟）似乎能“回溯性”影响粒子之前的量子态演化。
- 这种非局域性暗示量子系统的历史依赖于未来的测量方式。
4. 宇宙学尺度的纠缠验证（墨子号卫星）
- 实验：中国“墨子号”卫星向相距1200公里的两个地面站分发纠缠光子对。
- 结果：测量结果显示，即使在地球尺度上，纠缠态的坍缩仍是瞬时的（关联速度远超光速）。
- 意义：证明量子非局域性在宏观距离上依然成立。
为什么这不违反相对论？
- 无信息传递：坍缩的结果是随机的，无法被操控来编码信息。
- 需经典通信：任何实际信息传递（如量子隐形传态）仍需经典信道辅助。
- 因果性保护：相对论禁止的是“可观测的超光速因果影响”，而量子坍缩是不可观测的（无能量或信息传递）。
争议与未解问题
- 坍缩是否真实存在：一些解释（如多世界诠释）认为坍缩是表象，实际是量子退相干。
- 动态坍缩理论（如GRW模型）：试图将坍缩描述为物理过程，但仍未实验验证。
结论
波函数坍缩的“超光速”特性是量子力学非局域性的核心表现，但因其无法传递信息，与相对论兼容。实验（如EPR、量子隐形传态、墨子号）均证实了这种非局域关联的存在，但真正的信息传递速度从未超过光速。这一现象揭示了量子理论与经典时空观的深刻冲突，也为量子通信和计算提供了理论基础。
1. 纠缠态的波函数（指数形式）
考虑一个自旋单态（Spin Singlet State）的纠缠粒子对（如电子或光子）： \[ |\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |\uparrow\rangle_A |\downarrow\rangle_B - |\downarrow\rangle_A |\uparrow\rangle_B \right), \] 其中：
- \(|\uparrow\rangle\) 和 \(|\downarrow\rangle\) 分别代表自旋向上和向下。
- 下标 \(A\) 和 \(B\) 表示两个粒子，可能相隔任意距离（如 1 光年）。
我们可以用 指数相位因子 表示这个态（假设粒子 A 和 B 的相位差为 \(\pi\)）： \[ |\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( e^{i0} |\uparrow\rangle_A |\downarrow\rangle_B - e^{i\pi} |\downarrow\rangle_A |\uparrow\rangle_B \right). \] （这里 \(e^{i0}=1\)，\(e^{i\pi}=-1\)，体现了量子纠缠的相位相干性。）
2. 测量粒子 A 导致波函数坍缩
假设 Alice 测量粒子 A 的自旋，有两种可能结果：
情况 1：测得 \(|\uparrow\rangle_A\)
- 坍缩后的波函数： \[ |\Psi\rangle \rightarrow |\uparrow\rangle_A |\downarrow\rangle_B. \]
- 粒子 B 的态：立即坍缩到 \(|\downarrow\rangle_B\)，无论它距离 A 多远（如 1 光年外）。
- 超光速表现：粒子 B 的状态变化是 瞬时的，似乎违反相对论。
情况 2：测得 \(|\downarrow\rangle_A\)
- 坍缩后的波函数： \[ |\Psi\rangle \rightarrow |\downarrow\rangle_A |\uparrow\rangle_B. \]
- 粒子 B 的态：立即坍缩到 \(|\uparrow\rangle_B\)，同样不受距离限制。
3. 为什么这不违反相对论？
尽管坍缩是“超光速”的，但 无法用于超光速通信，因为：
- 测量结果是随机的（50% \(|\uparrow\rangle_A\) 或 \(|\downarrow\rangle_A\)），无法人为控制。
- Bob 无法知道 Alice 是否测量了 A，除非 Alice 通过经典通信（光速限制）告诉他。
- 无能量或信息传递，只是量子关联的瞬时更新。
4. 实验验证（贝尔不等式）
- Aspect 实验（1982）：验证了纠缠光子对的关联性违反贝尔不等式，证明量子非局域性。
- 墨子号卫星（2017）：在 1200 公里尺度上观测到超光速关联，但无法用于通信。
结论
- 波函数坍缩的“超光速” 体现在量子纠缠的 非局域关联 上。
- 数学表达（指数形式）： \[ |\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( e^{i0} |\uparrow\rangle_A |\downarrow\rangle_B - e^{i\pi} |\downarrow\rangle_A |\uparrow\rangle_B \right). \]
- 物理限制：无法传递信息，与相对论兼容。
这种超光速坍缩是量子力学最奇特的现象之一，也是量子信息科学（如量子隐形传态）的基础。
1. 洛伦兹变换的基本形式
洛伦兹变换描述了时空坐标 \((t, x, y, z)\) 从一个惯性系 \(S\) 变换到另一个以速度 \(v\) 运动的惯性系 \(S’\)： \[ \begin{cases} t’ = \gamma \left( t - \frac{vx}{c^2} \right), \ x’ = \gamma (x - vt), \ y’ = y, \ z’ = z, \end{cases} \] 其中 \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\) 是洛伦兹因子。
关键限制
- 速度 \(v\) 必须满足 \(v < c\)：若 \(v \geq c\)，则 \(\gamma\) 变为虚数或无穷大，失去物理意义。
- 光速 \(c\) 是极限：任何有质量物体的速度 \(v\) 只能无限接近 \(c\)，但无法达到或超越。
2. 洛伦兹变换如何禁止超光速？
（1）速度叠加公式
若一个物体在参考系 \(S’\) 中以速度 \(u’\) 运动，则在 \(S\) 系中的速度 \(u\) 为： \[ u = \frac{u’ + v}{1 + \frac{u’v}{c^2}}. \]
- 当 \(u’ = c\)（如光子）：\(u = c\)，光速不变。
- 若 \(u’ > c\) 或 \(v > c\)：分母可能为零或负值，导致无物理意义的解。
（2）因果性与类空间隔
- 若某事件超光速传播（\(v > c\)），会导致时序反转（\(t’\) 与 \(t\) 的因果关系混乱），违背因果律。
- 洛伦兹变换保证：类时间隔（\( \Delta s^2 = c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 > 0 \)）的事件顺序在所有参考系中一致。
3. 表观“超光速”现象与洛伦兹变换
某些现象看似超光速，但不违反洛伦兹变换的限制：
（1）相速度（Phase Velocity）
- 电磁波或物质波的相速度 \(v_p = \frac{\omega}{k}\) 可以超过 \(c\)，但不传递信息或能量。
- 洛伦兹变换仅限制群速度（信号速度 \(v_g = \frac{d\omega}{dk} \leq c\)）。
（2）量子纠缠
- 纠缠态的坍缩是瞬时的（非局域性），但无法传递信息（需经典通信辅助），因此与洛伦兹变换兼容。
（3）膨胀的宇宙
- 宇宙膨胀可使遥远星系退行速度 \(v > c\)，但这是时空本身的膨胀，而非物体在空间中的运动，不违背洛伦兹变换。
4. 若强行假设 \(v > c\) 会怎样？
数学上可以引入虚数速度（\(v > c \implies \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{i}{| \gamma |}\)），但会导致：
- 虚数时间/空间坐标：失去物理可观测性。
- 快子（Tachyon）假说：
- 假设存在始终以 \(v > c\) 运动的粒子，但其存在会导致因果悖论（如向过去发送信号），且未被实验证实。
- 洛伦兹变换下，快子的能量 \(E = \frac{mc^2}{\sqrt{v^2/c^2 - 1}}\) 为虚数，无物理意义。
5. 实验验证
- 粒子加速器：质子、电子等粒子可被加速至 \(v \approx 0.999999991 c\)（LHC），但永远无法达到 \(c\)。
- 中微子实验（2011年 OPERA 误报超光速）：最终发现是测量误差，再次验证 \(v < c\)。
结论
洛伦兹变换本身不支持超光速运动，而是严格限制了所有物理过程的速度上限为光速 \(c\)。任何表观“超光速”现象（如相速度、量子纠缠）均不传递信息或能量，因此与相对论兼容。
数学核心：
\[
\lim_{v \to c^-} \gamma = +\infty, \quad \text{而} \quad v \geq c \implies \gamma \text{ 无物理意义。}
\]
简言之，洛伦兹变换是光速极限的数学保障，而非超光速的通道。